Ре­ше­ние. Обос­но­ва­ние. В усло­ви­ях дан­ной за­да­чи мяч можно счи­тать ма­те­ри­аль­ной точ­кой. Так как мы можем пре­не­бречь дей­стви­ем силы со­про­тив­ле­ния воз­ду­ха, то дви­же­ние мяча про­ис­хо­дит толь­ко под дей­стви­ем силы тя­же­сти с уско­ре­ни­ем сво­бод­но­го па­де­ния, ко­то­рое на­прав­ле­но вер­ти­каль­но вниз и равно 10 м/с². При вы­бо­ре си­сте­мы от­сче­та 0xy ось 0x на­прав­ле­на го­ри­зон­таль­но, ось 0y на­прав­ле­на вер­ти­каль­но вверх. Тогда про­ек­ция век­то­ра уско­ре­ния на ось 0x равна 0, по­это­му для опи­са­ния дви­же­ния по го­ри­зон­та­ли можно ис­поль­зо­вать за­ко­ны пря­мо­ли­ней­но­го рав­но­мер­но­го дви­же­ния. Про­ек­ция век­то­ра уско­ре­ния на ось 0y равна  — g, по­это­му для опи­са­ния дви­же­ния по вер­ти­ка­ли можно ис­поль­зо­вать за­ко­ны пря­мо­ли­ней­но­го рав­но­уско­рен­но­го дви­же­ния. Пуля также счи­та­ет­ся ма­те­ри­аль­ной точ­кой. Дви­же­ние пули про­ис­хо­дит с боль­шой ско­ро­стью, по­это­му за малый про­ме­жу­ток вре­ме­ни можно счи­тать ее дви­же­ние пря­мо­ли­ней­ным и рав­но­мер­ным и при­ме­нять за­ко­ны дан­но­го дви­же­ния.

 

Пе­рей­дем к ре­ше­нию.

1.  Вве­дем пря­мо­уголь­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат ХОY, где ось ОХ го­ри­зон­таль­на, ось ОY вер­ти­каль­на, а на­ча­ло ко­ор­ди­нат на­хо­дит­ся в точке бро­са­ния и вы­стре­ла.

2.  Как сле­ду­ет из фор­мул ки­не­ма­ти­ки для дви­же­ния тела, бро­шен­но­го под углом к го­ри­зон­ту, мячик после брос­ка до­стиг­нет верх­ней точки тра­ек­то­рии с ко­ор­ди­на­той

за время

и сме­стит­ся по го­ри­зон­та­ли со ско­ро­стью до ко­ор­ди­на­ты

3.  В этот мо­мент про­изой­дет вы­стрел  — пуля вы­ле­тит со ско­ро­стью V под углом к го­ри­зон­ту, и оба тела нач­нут сво­бод­но па­дать вниз с уско­ре­ни­ем g.

4.  Из­ме­не­ния вер­ти­каль­ной ко­ор­ди­на­ты y за счет этого па­де­ния будут у обоих тел оди­на­ко­вы и равны если время t от­счи­ты­вать от мо­мен­та вы­стре­ла. По­это­му для про­сто­ты рас­че­та можно пе­рей­ти в си­сте­му от­сче­та, сво­бод­но па­да­ю­щую вниз с уско­ре­ни­ем g.

5.  В этой си­сте­ме мячик летит по го­ри­зон­таль­ной пря­мой с по­сто­ян­ной ско­ро­стью из на­чаль­ной точки с ко­ор­ди­на­та­ми в ко­то­рой он на­хо­дил­ся при t  =  0, до встре­чи с пулей в мо­мент T. Пуля же летит по пря­мой с по­сто­ян­ной ско­ро­стью V  =  120 м/с из на­чаль­ной точки x₀  =  y₀  =  0 под углом к го­ри­зон­ту до по­па­да­ния в мячик.

6.  В мо­мент T ко­ор­ди­на­ты мя­чи­ка и пули долж­ны сов­па­дать: x_м =  x_п  =  x_в, y_м =  y_п  =  y_в, и по фор­му­лам для ки­не­ма­ти­ки рав­но­мер­но­го пря­мо­ли­ней­но­го дви­же­ния по­лу­ча­ем си­сте­му урав­не­ний: решая ко­то­рую (проще   — при по­мо­щи мик­ро­каль­ку­ля­то­ра ме­то­дом под­бо­ра, сразу ис­поль­зуя чис­лен­ные зна­че­ния ве­ли­чин), можно найти

 

При­ме­ча­ние.

Для ре­ше­ния можно также вос­поль­зо­вать­ся ме­то­дом под­бо­ра угла, при ко­то­ром будут вы­пол­нять­ся со­от­но­ше­ния, при­ве­ден­ные в дан­ной си­сте­ме ки­не­ма­ти­че­ских урав­не­ний. Для на­ча­ла за­ме­тим, что пути, прой­ден­ные пулей и мячом до их столк­но­ве­ния, от­ли­ча­ют­ся в раз. По­стро­им тра­ек­то­рии тел на ри­сун­ке (см.).

Если бы стре­лок не делал «упре­жде­ния», а це­лил­ся прямо в мячик под углом то пуля про­ле­те­ла бы рас­сто­я­ние где

и про­шла сзади мя­чи­ка. Чтобы в него по­пасть, надо умень­шить угол на малый угол ко­то­рый, как видно из ри­сун­ка, равен

Весь путь пули равен где рас­сто­я­ние пуля про­хо­дит за время и

По­сколь­ку

то

Те­перь можно за­нять­ся под­бо­ром зна­че­ния ко­то­рое, оче­вид­но, может от­ли­чать­ся от толь­ко на малое число гра­ду­сов. Ра­зум­но вы­брать и про­ве­рить по­оче­ред­но зна­че­ния 40°, 39°, 38°  — при каком из них будут лучше сов­па­дать левые и пра­вые части урав­не­ний из за­пи­сан­ной выше си­сте­мы. Берем, на­при­мер,

Далее про­ве­ря­ем:

  — тоже хо­ро­шо,

  — хо­ро­шо,

и на­ко­нец,

  — все хо­ро­шо со­гла­су­ет­ся!

Легко убе­дить­ся, что для и 39° со­гла­сие го­раз­до хуже. Окон­ча­тель­ный ре­зуль­тат:

 

Ответ: