Ре­ше­ние. Обос­но­ва­ние.

Будем счи­тать си­сте­му от­сче­та, свя­зан­ную с по­лот­ном до­ро­ги, инер­ци­аль­ной, ав­то­мо­биль  — ма­те­ри­аль­ной точ­кой, дви­жу­щей­ся по оси по­лот­на трас­сы на по­во­ро­те из­вест­но­го ра­ди­у­са с по­сто­ян­ной по мо­ду­лю ско­ро­стью. При таких пред­по­ло­же­ни­ях можно поль­зо­вать­ся за­ко­на­ми ди­на­ми­ки (2-⁠м и 3-⁠м за­ко­на­ми Нью­то­на) и урав­не­ни­я­ми ки­не­ма­ти­ки для вра­ща­тель­но­го дви­же­ния, а также свой­ства­ми силы су­хо­го тре­ния. В рам­ках про­стей­шей мо­де­ли (закон Ку­ло­на  — Аман­то­на) эта сила яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной со­став­ля­ю­щей силы пол­ной ре­ак­ции опоры и на­прав­ле­на про­ти­во­по­лож­но на­прав­ле­нию сме­ще­ния (дей­стви­тель­но­го или воз­мож­но­го) тела от­но­си­тель­но опоры. Мо­дуль силы су­хо­го тре­ния не может пре­вы­шать где   — ко­эф­фи­ци­ент су­хо­го тре­ния, N  — мо­дуль силы нор­маль­ной ре­ак­ции опоры.

Пе­рей­дем к ре­ше­нию.

Рас­смот­рим вна­ча­ле пер­вый слу­чай, когда пол­ная сила ре­ак­ции по­лот­на до­ро­ги на­прав­ле­на пер­пен­ди­ку­ляр­но ему и не имеет па­рал­лель­ных со­став­ля­ю­щих (сил тре­ния).

1.  На ав­то­мо­биль, дви­жу­щий­ся по на­клон­но­му по­лот­ну до­ро­ги, дей­ству­ют сила тя­же­сти (здесь m  — масса ав­то­мо­би­ля), сила ре­ак­ции опоры ко­то­рая по усло­вию долж­на быть пер­пен­ди­ку­ляр­на по­лот­ну до­ро­ги, и силы со­про­тив­ле­ния дви­же­нию, ко­то­рые нас не ин­те­ре­су­ют, по­сколь­ку они на­прав­ле­ны вдоль по­сто­ян­ной ско­ро­сти ав­то­мо­би­ля пер­пен­ди­ку­ляр­но силам и

2.  Ин­те­ре­су­ю­щие нас силы, скла­ды­ва­ясь по пра­ви­лу па­рал­ле­ло­грам­ма, дают в сумме цен­тро­стре­ми­тель­ную силу ко­то­рая обес­пе­чи­ва­ет дви­же­ние ав­то­мо­би­ля по го­ри­зон­таль­ной дуге окруж­но­сти ра­ди­у­сом R (см. рис.; ско­рость на­прав­ле­на за его плос­кость).

Как сле­ду­ет из ри­сун­ка, мо­дуль цен­тро­стре­ми­тель­ной силы равен:

3.  Со­глас­но вто­ро­му за­ко­ну Нью­то­на с уче­том вы­ра­же­ния для цен­тро­стре­ми­тель­но­го уско­ре­ния имеем:

4.  Под­став­ляя числа из усло­вия, по­лу­ча­ем (1 м/⁠с  =  3,6 км/⁠час):

Далее рас­смот­рим вто­рой слу­чай, когда сила су­хо­го тре­ния покоя, удер­жи­ва­ю­щая ав­то­мо­биль от сколь­же­ния на­ру­жу по­пе­рек до­ро­ги, до­сти­га­ет сво­е­го мак­си­маль­но­го зна­че­ния при най­ден­ном угле

5.  Снова изоб­ра­зим на ри­сун­ке силы, дей­ству­ю­щие на ав­то­мо­биль. При этом новые обо­зна­че­ния для из­ме­нив­ших­ся сил снаб­дим ин­дек­сом «н»:

6.  Сум­мар­ная цен­тро­стре­ми­тель­ная сила, обес­пе­чи­ва­ю­щая дви­же­ние ав­то­мо­би­ля по го­ри­зон­таль­ной дуге окруж­но­сти ра­ди­у­сом R, равна те­перь где

7.  Сло­жим вна­ча­ле век­то­ры и а затем и Как видно из по­стро­е­ния на ри­сун­ке:

а

8.  По­сколь­ку то:

Ответ: здесь