Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д29 C2 № 29048
i

На го­ноч­ных ав­то­трас­сах ис­поль­зу­ют так на­зы­ва­е­мые «вы­ве­ден­ные» по­во­ро­ты, на ко­то­рых до­рож­ное по­лот­но на­кло­не­но под не­ко­то­рым углом альфа к го­ри­зон­ту внутрь по­во­ро­та. Из­вест­но, что при опре­де­лен­ном угле альфа ав­то­мо­биль может дви­гать­ся с по­сто­ян­ной ско­ро­стью V  =  120 км/⁠ч по по­во­ро­ту с ра­ди­у­сом R  =  300 м таким об­ра­зом, что пол­ная сила ре­ак­ции по­лот­на до­ро­ги все время пер­пен­ди­ку­ляр­на по­лот­ну, то есть у этой силы нет со­став­ля­ю­щих, па­рал­лель­ных по­лот­ну. При какой ско­ро­сти Vм ав­то­мо­биль нач­нет сколь­зить по­пе­рек трас­сы и может быть «вы­ки­нут» с нее на­ру­жу по­во­ро­та, если ко­эф­фи­ци­ент тре­ния колес о трас­су равен \mu=0,8? Счи­тай­те, что в мо­мент на­ча­ла сколь­же­ния у силы тре­ния нет со­став­ля­ю­щей в на­прав­ле­нии дви­же­ния.

Какие за­ко­ны Вы ис­поль­зо­ва­ли для опи­са­ния дви­же­ния ав­то­мо­би­ля? Обос­нуй­те их при­ме­ни­мость к дан­но­му слу­чаю.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обос­но­ва­ние.

Будем счи­тать си­сте­му от­сче­та, свя­зан­ную с по­лот­ном до­ро­ги, инер­ци­аль­ной, ав­то­мо­биль  — ма­те­ри­аль­ной точ­кой, дви­жу­щей­ся по оси по­лот­на трас­сы на по­во­ро­те из­вест­но­го ра­ди­у­са с по­сто­ян­ной по мо­ду­лю ско­ро­стью. При таких пред­по­ло­же­ни­ях можно поль­зо­вать­ся за­ко­на­ми ди­на­ми­ки (2-⁠м и 3-⁠м за­ко­на­ми Нью­то­на) и урав­не­ни­я­ми ки­не­ма­ти­ки для вра­ща­тель­но­го дви­же­ния, а также свой­ства­ми силы су­хо­го тре­ния. В рам­ках про­стей­шей мо­де­ли (закон Ку­ло­на  — Аман­то­на) эта сила яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной со­став­ля­ю­щей силы пол­ной ре­ак­ции опоры и на­прав­ле­на про­ти­во­по­лож­но на­прав­ле­нию сме­ще­ния (дей­стви­тель­но­го или воз­мож­но­го) тела от­но­си­тель­но опоры. Мо­дуль силы су­хо­го тре­ния не может пре­вы­шать \mu N где \mu  — ко­эф­фи­ци­ент су­хо­го тре­ния, N  — мо­дуль силы нор­маль­ной ре­ак­ции опоры.

 

Пе­рей­дем к ре­ше­нию.

Рас­смот­рим вна­ча­ле пер­вый слу­чай, когда пол­ная сила ре­ак­ции по­лот­на до­ро­ги на­прав­ле­на пер­пен­ди­ку­ляр­но ему и не имеет па­рал­лель­ных со­став­ля­ю­щих (сил тре­ния).

1.  На ав­то­мо­биль, дви­жу­щий­ся по на­клон­но­му по­лот­ну до­ро­ги, дей­ству­ют сила тя­же­сти m\vecg (здесь m  — масса ав­то­мо­би­ля), сила ре­ак­ции опоры \vecN, ко­то­рая по усло­вию долж­на быть пер­пен­ди­ку­ляр­на по­лот­ну до­ро­ги, и силы со­про­тив­ле­ния дви­же­нию, ко­то­рые нас не ин­те­ре­су­ют, по­сколь­ку они на­прав­ле­ны вдоль по­сто­ян­ной ско­ро­сти ав­то­мо­би­ля \vecV пер­пен­ди­ку­ляр­но силам m\vecg и \vecN.

2.  Ин­те­ре­су­ю­щие нас силы, скла­ды­ва­ясь по пра­ви­лу па­рал­ле­ло­грам­ма, дают в сумме цен­тро­стре­ми­тель­ную силу \vecF=m\vecg плюс \vecN, ко­то­рая обес­пе­чи­ва­ет дви­же­ние ав­то­мо­би­ля по го­ри­зон­таль­ной дуге окруж­но­сти ра­ди­у­сом R (см. рис.; ско­рость \vecV на­прав­ле­на за его плос­кость).

Как сле­ду­ет из ри­сун­ка, мо­дуль цен­тро­стре­ми­тель­ной силы равен:

F=N умно­жить на синус альфа , а N= дробь: чис­ли­тель: mg, зна­ме­на­тель: ко­си­нус альфа конец дроби , от­ку­да F=mg умно­жить на тан­генс альфа .

3.  Со­глас­но вто­ро­му за­ко­ну Нью­то­на с уче­том вы­ра­же­ния для цен­тро­стре­ми­тель­но­го уско­ре­ния имеем:

ma_цс= дробь: чис­ли­тель: mV в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: R конец дроби =F=mg умно­жить на tg альфа , от­ку­да альфа = арк­тан­генс левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: V в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка Rg пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

4.  Под­став­ляя числа из усло­вия, по­лу­ча­ем (1 м/⁠с  =  3,6 км/⁠час):

альфа = арк­тан­генс левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 120, зна­ме­на­тель: 3,6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 300 умно­жить на 10 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \approx арк­тан­генс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1111,11, зна­ме­на­тель: 3000 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \approx арк­тан­генс левая круг­лая скоб­ка 0,3704 пра­вая круг­лая скоб­ка \approx 20,33 гра­ду­сов .

Далее рас­смот­рим вто­рой слу­чай, когда сила су­хо­го тре­ния покоя, удер­жи­ва­ю­щая ав­то­мо­биль от сколь­же­ния на­ру­жу по­пе­рек до­ро­ги, до­сти­га­ет сво­е­го мак­си­маль­но­го зна­че­ния F_тр=\mu N при най­ден­ном угле альфа \approx 20,33 гра­ду­сов.

5.  Снова изоб­ра­зим на ри­сун­ке силы, дей­ству­ю­щие на ав­то­мо­биль. При этом новые обо­зна­че­ния для из­ме­нив­ших­ся сил снаб­дим ин­дек­сом «н»:

6.  Сум­мар­ная цен­тро­стре­ми­тель­ная сила, обес­пе­чи­ва­ю­щая дви­же­ние ав­то­мо­би­ля по го­ри­зон­таль­ной дуге окруж­но­сти ра­ди­у­сом R, равна те­перь \vecF_н=m\vecg плюс \vecN_н плюс \vecF_тр, где F_тр=\mu N_н.

7.  Сло­жим вна­ча­ле век­то­ры \vecN_н и \vecF_тр, а затем левая круг­лая скоб­ка \vecN_н плюс \vecF_тр пра­вая круг­лая скоб­ка и m\vecg. Как видно из по­стро­е­ния на ри­сун­ке:

тан­генс гамма = дробь: чис­ли­тель: F_тр, зна­ме­на­тель: N_н конец дроби = дробь: чис­ли­тель: \mu N_н, зна­ме­на­тель: N_н конец дроби =\mu=0,8,

от­ку­да гамма = арк­тан­генс \mu\approx 38,68 гра­ду­сов. Угол между век­то­ра­ми \vecF_н и левая круг­лая скоб­ка \vecN_н плюс \vecF_тр пра­вая круг­лая скоб­ка равен:

бета =90 гра­ду­сов минус альфа минус гамма \approx 90 гра­ду­сов минус 20,33 гра­ду­сов минус 38,68 гра­ду­сов \approx 31 гра­ду­сов,

а тан­генс бета \approx 0,6003.

8.  По­сколь­ку F_н= дробь: чис­ли­тель: mg, зна­ме­на­тель: тан­генс \betta конец дроби = дробь: чис­ли­тель: mV в квад­ра­те _м, зна­ме­на­тель: R конец дроби , то:

V_м= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: gR, зна­ме­на­тель: тан­генс бета конец дроби конец ар­гу­мен­та \approx ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 10 умно­жить на 300, зна­ме­на­тель: 0,6003 конец дроби конец ар­гу­мен­та \approx 70,7м/с \approx 254км/час.

Ответ: V_м= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: gR, зна­ме­на­тель: тан­генс бета конец дроби конец ар­гу­мен­та \approx 70,7м/с \approx 254км/час; здесь бета =90 гра­ду­сов минус арк­тан­генс левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: V в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка Rg пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка минус арк­тан­генс \mu\approx 31 гра­ду­сов.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Кри­те­рий 1

Верно обос­но­ва­на воз­мож­ность ис­поль­зо­ва­ния за­ко­нов (за­ко­но­мер­но­стей). В дан­ном слу­чае: ИСО, ма­те­ри­аль­ная точка, усло­вия при­ме­не­ния за­ко­нов Нью­то­на, мо­дель для силы су­хо­го тре­ния.

1

В обос­но­ва­нии воз­мож­но­сти ис­поль­зо­ва­ния за­ко­нов (за­ко­но­мер­но­стей) до­пу­ще­на ошиб­ка.

ИЛИ

Обос­но­ва­ние от­сут­ству­ет.

0
Кри­те­рий 2
При­ве­де­но пол­ное ре­ше­ние, вклю­ча­ю­щее сле­ду­ю­щие эле­мен­ты:

I)  за­пи­са­ны по­ло­же­ния тео­рии и фи­зи­че­ские за­ко­ны, за­ко­но­мер­но­сти, при­ме­не­ние ко­то­рых не­об­хо­ди­мо для ре­ше­ния за­да­чи вы­бран­ным спо­со­бом (в дан­ном слу­чае: вы­ра­же­ния для мо­мен­тов сил от­но­си­тель­но оси вра­ще­ния, усло­вия рав­но­ве­сия твер­до­го тела в ИСО и закон Ар­хи­ме­да);

II)  опи­са­ны все вновь вво­ди­мые в ре­ше­нии бук­вен­ные обо­зна­че­ния фи­зи­че­ских ве­ли­чин (за ис­клю­че­ни­ем обо­зна­че­ний кон­стант, ука­зан­ных в ва­ри­ан­те КИМ, обо­зна­че­ний ве­ли­чин, ис­поль­зу­е­мых в усло­вии за­да­чи, и стан­дарт­ных обо­зна­че­ний ве­ли­чин, ис­поль­зу­е­мых при на­пи­са­нии фи­зи­че­ских за­ко­нов);

III)  про­ве­де­ны не­об­хо­ди­мые ма­те­ма­ти­че­ские пре­об­ра­зо­ва­ния и рас­че­ты, при­во­дя­щие к пра­виль­но­му чис­ло­во­му от­ве­ту (до­пус­ка­ет­ся ре­ше­ние «по ча­стям» с про­ме­жу­точ­ны­ми вы­чис­ле­ни­я­ми);

IV)  пред­став­лен пра­виль­ный ответ с ука­за­ни­ем еди­ниц из­ме­ре­ния ис­ко­мой ве­ли­чи­ны.

3
Пра­виль­но за­пи­са­ны все не­об­хо­ди­мые по­ло­же­ния тео­рии, фи­зи­че­ские за­ко­ны, за­ко­но­мер­но­сти, и про­ве­де­ны не­об­хо­ди­мые пре­об­ра­зо­ва­ния. Но име­ют­ся один или не­сколь­ко из сле­ду­ю­щих не­до­стат­ков. За­пи­си, со­от­вет­ству­ю­щие пунк­ту II, пред­став­ле­ны не в пол­ном объ­е­ме или от­сут­ству­ют.

И (ИЛИ)

В ре­ше­нии име­ют­ся лиш­ние за­пи­си, не вхо­дя­щие в ре­ше­ние (воз­мож­но, не­вер­ные), ко­то­рые не от­де­ле­ны от ре­ше­ния (не за­черк­ну­ты; не за­клю­че­ны в скоб­ки, рамку и т. п.).

И (ИЛИ)

В не­об­хо­ди­мых ма­те­ма­ти­че­ских пре­об­ра­зо­ва­ни­ях или вы­чис­ле­ни­ях до­пу­ще­ны ошиб­ки, и (или) в ма­те­ма­ти­че­ских пре­об­ра­зо­ва­ни­ях/⁠вы­чис­ле­ни­ях про­пу­ще­ны ло­ги­че­ски важ­ные шаги.

И (ИЛИ)

От­сут­ству­ет пункт IV, или в нем до­пу­ще­на ошиб­ка (в том числе в за­пи­си еди­ниц из­ме­ре­ния ве­ли­чи­ны).

2
Пред­став­ле­ны за­пи­си, со­от­вет­ству­ю­щие од­но­му из сле­ду­ю­щих слу­ча­ев.

Пред­став­ле­ны толь­ко по­ло­же­ния и фор­му­лы, вы­ра­жа­ю­щие фи­зи­че­ские за­ко­ны, при­ме­не­ние ко­то­рых не­об­хо­ди­мо для ре­ше­ния дан­ной за­да­чи, без каких-⁠либо пре­об­ра­зо­ва­ний с их ис­поль­зо­ва­ни­ем, на­прав­лен­ных на ре­ше­ние за­да­чи.

ИЛИ

В ре­ше­нии от­сут­ству­ет ОДНА из ис­ход­ных фор­мул, не­об­хо­ди­мая для ре­ше­ния дан­ной за­да­чи (или утвер­жде­ние, ле­жа­щее в ос­но­ве ре­ше­ния), но при­сут­ству­ют ло­ги­че­ски вер­ные пре­об­ра­зо­ва­ния с име­ю­щи­ми­ся фор­му­ла­ми, на­прав­лен­ные на ре­ше­ние за­да­чи.

ИЛИ

В ОДНОЙ из ис­ход­ных фор­мул, не­об­хо­ди­мых для ре­ше­ния дан­ной за­да­чи (или в утвер­жде­нии, ле­жа­щем в ос­но­ве ре­ше­ния), до­пу­ще­на ошиб­ка, но при­сут­ству­ют ло­ги­че­ски вер­ные пре­об­ра­зо­ва­ния с име­ю­щи­ми­ся фор­му­ла­ми, на­прав­лен­ные на ре­ше­ние за­да­чи.

1
Все слу­чаи ре­ше­ния, ко­то­рые не со­от­вет­ству­ют вы­ше­ука­зан­ным кри­те­ри­ям вы­став­ле­ния оце­нок в 1, 2, 3 балла.0
Мак­си­маль­ный балл4

Аналоги к заданию № 29048: 29098 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: 1.2.4 Вто­рой закон Нью­то­на: для ма­те­ри­аль­ной точки в ИСО
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026