Ре­ше­ние. Со­глас­но за­ко­ну со­хра­не­ния им­пуль­са, по­сколь­ку топ­ли­во вы­бра­сы­ва­ет­ся ра­ке­той на­пра­во, сама ра­ке­та долж­на по­лу­чать ком­по­нен­ту ско­ро­сти, на­прав­лен­ную на­ле­во. То есть в ре­зуль­та­те ра­бо­ты ре­ак­тив­ных дви­га­те­лей, ра­ке­та будет по­во­ра­чи­вать­ся на­ле­во. Опре­де­лить­ся с тем, что про­ис­хо­дит у мо­ду­лем ско­ро­сти ра­ке­ты, уже не так про­сто. Ко­неч­но, сразу хо­чет­ся ска­зать, что так как топ­ли­во вы­бра­сы­ва­ет­ся пер­пен­ди­ку­ляр­но дви­же­нию ра­ке­ты, то это при­во­дит толь­ко к по­во­ро­ту век­то­ра ско­ро­сти, но не к из­ме­не­нию его ве­ли­чи­ны. И де­таль­ный ана­лиз, ко­то­рый при­ве­ден ниже, дей­стви­тель­но это по­ка­зы­ва­ет. Таким об­ра­зом, верно утвер­жде­ние 3.

Ответ: 3.

Фор­му­ла Ме­щер­ско­го.

Ра­ке­та пред­став­ля­ет собой объ­ект с пе­ре­мен­ной мас­сой, а потом для опи­са­ния ее дви­же­ния нель­зя ис­поль­зо­вать обыч­ную фор­му­ли­ров­ку вто­ро­го за­ко­на Нью­то­на: (в этой фор­му­ле пред­по­ла­га­ет­ся, что масса тела по­сто­ян­на). Вы­ве­дем фор­му­лу, при по­мо­щи ко­то­рой можно опи­сы­вать дви­же­ние тел с пе­ре­мен­ной мас­сой на при­ме­ре ра­ке­ты.

Прин­цип дей­ствия ра­ке­ты очень прост. Ра­ке­та с боль­шой ско­ро­стью вы­бра­сы­ва­ет ве­ще­ство (газы), воз­дей­ствуя на него с боль­шой силой. Вы­бра­сы­ва­е­мое ве­ще­ство с той же, но про­ти­во­по­лож­но на­прав­лен­ной силой, в свою оче­редь, дей­ству­ет на ра­ке­ту и со­об­ща­ет ей уско­ре­ние в про­ти­во­по­лож­ном на­прав­ле­нии.

Если нет внеш­них сил, то ра­ке­та вме­сте с вы­бро­шен­ным ве­ще­ством яв­ля­ет­ся за­мкну­той си­сте­мой. Им­пульс такой си­сте­мы не может ме­нять­ся во вре­ме­ни. На этом по­ло­же­нии и ос­но­ва­на тео­рия дви­же­ния ракет. Фор­му­лу будем вы­во­дить сле­ду­ю­щим об­ра­зом: при­рав­ня­ем пол­ный им­пульс си­сте­мы в два близ­ких мо­мен­та вре­ме­ни.

Пусть   —  масса ра­ке­ты в про­из­воль­ный мо­мент вре­ме­ни t, a   —  ее ско­рость в тот же мо­мент. Им­пульс ра­ке­ты в этот мо­мент вре­ме­ни будет Спу­стя малое время dt масса и ско­рость ра­ке­ты по­лу­чат при­ра­ще­ния dm и (ве­ли­чи­на dm от­ри­ца­тель­на!). Им­пульс ра­ке­ты ста­нет рав­ным Сюда надо до­ба­вить им­пульс дви­же­ния газов, об­ра­зо­вав­ших­ся за время Он равен где   — масса газов, об­ра­зо­вав­ших­ся за время dt, a   — их ско­рость. При­рав­ни­вая им­пульс в мо­мен­ты вре­ме­ни t и имеем:

По­сколь­ку нас ин­те­ре­су­ет два очень близ­ких мо­мен­та вре­ме­ни можно счи­тать, что все при­ра­ще­ния, dm малы, а по­то­му, рас­кры­вая скоб­ки, можно от­бро­сить про­из­ве­де­ние как про­из­ве­де­ние малых. Ввиду со­хра­не­ния массы, На­ко­нец, вводя ско­рость ис­те­ка­ния газов от­но­си­тель­но ра­ке­ты, и деля на dt по­лу­ча­ем окон­ча­тель­ную фор­му­лу:

Глав­ное, что нужно из этой фор­му­лы для от­ве­та на во­прос, как из­ме­ня­ет­ся ско­рость ра­ке­ты, это тот факт, что век­тор уско­ре­ния ра­ке­ты на­прав­лен про­ти­во­по­лож­но ско­ро­сти ис­те­че­ния про­дук­тов сго­ра­ния топ­ли­ва. Тем самым, в нашем слу­чае, уско­ре­ние ра­ке­ты все время на­прав­ле­но пер­пен­ди­ку­ляр­но ско­ро­сти ра­ке­ты, а зна­чит, это уско­ре­ние при­во­дит толь­ко к по­во­ро­ту век­то­ра ско­ро­сти, но не к из­ме­не­нию его ве­ли­чи­ны (по­доб­но тому, как это про­ис­хо­дит при вра­ще­нии тела по окруж­но­сти).

За­ме­ча­ние.

Об­ра­ти­те также вни­ма­ние на то, что для вы­во­да этой фор­му­лы важ­ным эта­пом была воз­мож­ность от­бро­сить сла­га­е­мое это за­кон­но для слу­чая не­пре­рыв­но­го ис­те­че­ния газов, когда устрем­ляя dt мы можем сде­лать и из­ме­не­ние массы, и из­ме­не­ние ско­ро­сти сколь угод­но малым. Но это будет не­спра­вед­ли­во, если кто-⁠то вы­ки­ды­ва­ет «кир­пич» из ра­ке­ты, чтобы из­ме­нить ее ско­рость. В ре­зуль­та­те та­ко­го «брос­ка» ско­рость ра­ке­ты из­ме­нит­ся как по ве­ли­чи­не, так и по на­прав­ле­нию.