Ракета движется по инерции вдали от небесных тел со скоростью
Если реактивный двигатель ракеты в любой момент времени будет выбрасывать продукты сгорания топлива в направлении перпендикулярном скорости (показано на рисунке жирной стрелкой), то вектор скорости ракеты
1) начнет уменьшаться по модулю, не меняясь по направлению
2) начнет увеличиваться по модулю, не меняясь по направлению
3) начнет поворачиваться влево (←), не меняясь по модулю
4) начнет поворачиваться вправо (→), не меняясь по модулю
Согласно закону сохранения импульса, поскольку топливо выбрасывается ракетой направо, сама ракета должна получать компоненту скорости, направленную налево. То есть в результате работы реактивных двигателей, ракета будет поворачиваться налево. Определиться с тем, что происходит у модулем скорости ракеты, уже не так просто. Конечно, сразу хочется сказать, что так как топливо выбрасывается перпендикулярно движению ракеты, то это приводит только к повороту вектора скорости, но не к изменению его величины. И детальный анализ, который приведен ниже, действительно это показывает. Таким образом, верно утверждение 3.
Ответ: 3.
Формула Мещерского.
Ракета представляет собой объект с переменной массой, а потом для описания ее движения нельзя использовать обычную формулировку второго закона Ньютона: 
(в этой формуле предполагается, что масса тела постоянна). Выведем формулу, при помощи которой можно описывать движение тел с переменной массой на примере ракеты.
Принцип действия ракеты очень прост. Ракета с большой скоростью выбрасывает вещество (газы), воздействуя на него с большой силой. Выбрасываемое вещество с той же, но противоположно направленной силой, в свою очередь, действует на ракету и сообщает ей ускорение в противоположном направлении.
Если нет внешних сил, то ракета вместе с выброшенным веществом является замкнутой системой. Импульс такой системы не может меняться во времени. На этом положении и основана теория движения ракет. Формулу будем выводить следующим образом: приравняем полный импульс системы в два близких момента времени.
Пусть 
— масса ракеты в произвольный момент времени t, a 
— ее скорость в тот же момент. Импульс ракеты в этот момент времени будет 
Спустя малое время dt масса и скорость ракеты получат приращения dm и 
(величина dm отрицательна!). Импульс ракеты станет равным 
Сюда надо добавить импульс движения газов, образовавшихся за время 
Он равен 
где 
— масса газов, образовавшихся за время dt, a 
— их скорость. Приравнивая импульс в моменты времени t и 
имеем:
Поскольку нас интересует два очень близких момента времени можно считать, что все приращения, 
dm малы, а потому, раскрывая скобки, можно отбросить произведение 
как произведение малых. Ввиду сохранения массы, 
Наконец, вводя скорость истекания газов относительно ракеты, 
и деля на dt получаем окончательную формулу:
— по сути, скорость расхода топлива. Существенно, что в этом уравнении, в отличие от привычного масса зависит от времени.
Главное, что нужно из этой формулы для ответа на вопрос, как изменяется скорость ракеты, это тот факт, что вектор ускорения ракеты направлен противоположно скорости истечения продуктов сгорания топлива. Тем самым, в нашем случае, ускорение ракеты все время направлено перпендикулярно скорости ракеты, а значит, это ускорение приводит только к повороту вектора скорости, но не к изменению его величины (подобно тому, как это происходит при вращении тела по окружности).
Замечание.
Обратите также внимание на то, что для вывода этой формулы важным этапом была возможность отбросить слагаемое это законно для случая непрерывного истечения газов, когда устремляя dt мы можем сделать и изменение массы, и изменение скорости сколь угодно малым. Но это будет несправедливо, если кто-то выкидывает «кирпич» из ракеты, чтобы изменить ее скорость. В результате такого «броска» скорость ракеты изменится как по величине, так и по направлению.
Просмотрев все задания А4, увидел, что авторы этих задач (Я, конечно, понимаю, что они взяты из разных задачников) зачастую не дружат с языком векторов. То есть они часто не отличают вектор от проекции и проекцию от модуля. Они "могут" изобразить силу или импульс на на графике. И это не их беда. К сожалению эта галиматья заложена в наших учебниках. Так, например, Кикоин в своем учебнике сначала утверждает, что скорость - величина векторная, и в конце этого же параграфа задает вопрос: "Один автомобиль движется со скоростью 10 м/с, а второй - 45 км/час. У какого автомобиля скорость больше?". При этом его не волнует что векторы отношения сравнения не имеют. Там же сначала утверждается, что всякое криволинейное движение ускоренное, а через полторы страницы рассматривает равномерное движение по окружности.
При таком подходе методика становится наукой о том, как понятно объяснить ученику, то чего сам не понимаешь.
Таких задач я насчитал 22 штуки Их нужно либо исправлять, либо выбрасывать. Я удивлен, что Вы их пытаетесь решать, "догадываясь", что автор имел в виду.
Добрый день!
Хочу сразу поблагодарить Вас за большой проделанный труд по прочтению всех задач.
К вопросу о векторах, проекциях, модулях могу сказать следующее. Действительно, можно причесать все задачи, доведя терминологию до идеальной. Но мне кажется, что тексты условий и решений тогда станут черезчур перегруженными. Такое редуцирование терминологии, по-моему, допустимо, когда оно не приводит к двусмысленности. Подтверждением этому является то, что тысячи пользователей сайта без проблем справлялась с решением задач, без труда понимая, смысл вопроса.
В любом случае спасибо, я обязательно подумаю над Вашим предложением, возможно все-таки стоит все поправить.
Предлагаем руководствоваться следующим.
1. Не следует перегружать формулировки, если смысл понятен по контексту. Высказывание «Напротив угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы» предпочтительнее высказывания «Напротив угла, градусная мера которого равна 30°, лежит катет, длина которого равна половине длины гипотенузы».
2. Если сложивашаяся языковая реальность допускает использование различных терминов, смысл которых понятен, то не имеет смысла переводить все задачи на некий «правильный» язык. От этого окружающая языковая реальность не изменится.
Милейший! У Вас явно проблемы со сложением векторов! То есть вы хотите сказать, что при сложении перпендикулярных векторов их сумма по модулю равна одному из низ? Гениальный вывод!
Добрый день!
Никаких проблем со сложением векторов нет. Обратите внимание, что здесь говорится о прибавлении к вектору бесконечно малого, перпендикулярного ему вектора. Существенно, что этот добавочный вектор очень мал, что и отмечается в решении. Предлагаю Вам вспомнить равномерное движение тела по окружности, скажем, что-то раскручивают на гладком горизонтальном столе за веревочку. При этом, как известно, на тело действует центростремительное ускорение, которое в каждый момент времени перпендикулярно скорости. По определению, ускорение позволяет определить скорость через бесконечно малый интервал времени:
. Вот она сумма двух перпендикулярных векторов, но тем не менее у Вас, надеюсь, не вызывает сомнения, что модуль новой скорости будет совпадать с модулем старой, на то оно и равномерное движение по окружности.
Условия данной задачи на мой взгляд некорректны, совершенно непонятно всегда ли двигатель ракеты выбрасывает газы перпендикулярно вектору скорости ракеты, либо имеется ввиду, что двигатель выбрасывает газы перпендикулярно начальному направлению движения ракеты. С точки зрения здравого смысла для того чтобы двигатель все время выбрасывал газы перпендикулярно вектору скорости нужно либо вращать двигатель, либо придавать вращательное движение ракете. В итоге вся задача сводится к тому, что необходимо разобраться в условиях задачи, которые написаны как ребус, и хотя из вариантов ответов следует, что двигатель ракеты постоянно выбрасывает газы перпендикулярно мгновенному вектору скорости ракеты, но представить здравомыслящему человеку вращающийся вокруг ракеты двигатель на мой взгляд сложно.
Добрый день!
В данной задаче действительно описывается ситуация, когда продукты сгорания топлива выбрасываются в каждый момент времени перпендикулярно вектору мгновенной скорости.
Вращение двигателя вокруг ракеты действительно представить сложно. Так что технически, условие данной задачи, по-видимому, реализуется при помощи второго из предложенных Вами способов. Сопло двигателя ориентируется перпендикулярно скорости, а сама ракета постоянно подворачивается некоторыми боковыми стабилизаторами так, чтобы ее положение относительно вектора скорости не изменялось.
Для тела переменного состава вполне подойдёт теорема об изменении импульса в форме: d(mv)/dt = F, где v-вектор скорости, а F-равнодействующая всех внешних сил, действующих на ракету (тоже вектор, которые в данном комментарии ставить не умею). Она по условию задачи равна нулю из-за отсутствия внешнего воздействия на ракету. Тогда, раскрывая производную произведения, имеем:
vdm/dt+mdv/dt = 0. m-переменная масса ракеты. Над значками v стоят векторы. Спроецируем данное уравнение на плоскую систему координат, учитывая условие задачи. Получим уже без векторов:
vxdm+mdvx=0; vydm+mdvy=0. Попутно я избавился от дифференциала времени, умножив на него левые и правые части уравнений. Поскольку они (уравнения) одинаковы, работаю с одним из них: разделим уравнение на произведение дифференциалов: dmdvx:
vx/dvx+m/dm=0. Далее воспользуемся формулой: x/dx = d(lnx): d(lnvx)+d(lnm)=0 или d(lnvx+lnm)=0 или d(ln(vxm))=0. Интегрируем это уравнение : vxm= C1, где С1 - константа. Аналогично vym=C2. Выразим в явном виде компоненты вектора скорости ракеты: vx=C1/m; vy=C2/m и определим модуль скорости из теоремы Пифагора: v=(C1^2/m^2+C2^2/m^2)^0,5=(C1^2+C2^2)^0,5/m. Становится очевидным, что числитель этой дроби является постоянным, а знаменатель - переменным.
Добрый день!
Математические преобразования верны. Однако основное Ваше утверждение, из которого Вы исходите, не справедливо для данной ситуации. Если Вы внимательно читали приведенное выше решение, то, наверное, обратили внимание, что там также используется закон сохранения импульса, однако ответ получается иной. Причина в том, что Вы в своем варианте решения забываете про импульс, уносимый газами, а этого делать нельзя.
Если учесть этот вклад, то производная от массы у Вас уйдет, и все получится.
Не убедили. Настаиваю на своём решении. Вы сами не понимаете, чего требуете, поскольку речь идёт о ракете, а не об уносимых газом элементов массы. Вы пытаетесь доказать, что при этом не изменится скорость механической системы ракета-газ. Но это итак очевидно - внешние силы на систему не действуют, следовательно, и её скорость не изменится. Скорость самой ракеты изменится однозначно, что неопреовержимо было доказано правильным её решением по отношению к ракете. За Ваше решение я получил бы неуд. в курсе теоретической механики. Вы математическими выводами, а не переопределением терминов докажите обратное, если, конечно, сможете.
Да, простите, не заметил Вашего решения. Давайте поговорим о содержашихся там ошибкам. Не обращаю внимание на то, что v/dt в Вашей финальной формуле - это недоразумение, поскольку это- бесконечность. Видимо, забыт знак диффернециала в числителе. Но Ваш вывод о том, что ускорение направлено противоположно скорости истечения продуктов сгорания, просто чудовищный!!! Вы это делаете из соотношения: ma=udm/dt??? где a и u, разумеется, векторы. Но u имеет как иксовую проекцию за счёт скорости истечения газа, так и игрековую за счёт скорости самой ракеты!!! Насколько я понял из Вашего решения u=vгаза-v, где v как раз та самая злополучная скорость ракеты! А теперь попробуйте объяснить, глядя на Ваше равенство ma=udm/dt как это вектор u имеет и иксовую и игрековую проекции, а ускорение - только иксовую??? Извините, если черезчур эмоционален...
Добрый день!
Дифференциал добавил, спасибо.
Ответ на Ваш комментарий заключается именно в том, что
. Вектор 
обозначает вектор скорости газов относительно ракеты, а не скорости газов относительно неподвижного наблюдателя. (Кстати, если бы 
обозначал не относительную скорость газов, то это было бы вообще абсурдное утверждение, поскольку оно не было бы галилеево инвариантным).
По условию, газы выбрасываются все время перпендикулярно скорости ракеты, сопло двигателя направлено перпендикулярно движению. Это означает, что вектор скорости газов относительно ракеты
всегда направлен перпендикулярно скорости ракеты, то есть, если в некоторый момент времени скорость ракеты имеет только "игрековую" составляющую, скорость 
имеет только "иксовую" составляющую. Таким образом, ускорение всегда перпендикулярно вектору мгновенной скорости ракеты.
Да, я Вас понял. Работая в системе координат, связанной с ракетой, мы, действительно, получим, то на чём Вы настаиваете, т.е. перпендикулярность относительной скорости и ускорения. Но в этом случае, вследствие вращения Вашей системы координат, появится нормальное ускорение, которое символизирует отличие неинерциальной связанной системы отсчёта от инерциальной, причём это нормальное ускорение будет направлено аккурат по скорости ракеты, не находите?!
Добрый день!
Давайте еще раз поясню, здесь нет перехода в неинерциальную систему отсчета. Все вычисления (вывод формулы) производятся в обычной лабораторной инерциальной системе отсчета. Наблюдатель видит вектор скорости ракеты
, видит вектор скорости газов 
. Используя эти вектора он может построить вектор скорости газов относительно ракеты 
. Он видит, что этот вектор всегда перпендикулярен вектору мгновенной скорости ракеты. На основе этого он делает вывод, что ускорение перпендикулярно скорости. Все.
Я думаю, что если писать уравнение, как Вы предполагали, в сопутствующей системе координат, то действительно появится вклад от неинерциональности системы. Но, как Вы и говорите, это будет нормальное ускорение, оно также будет нормально скорости ракеты, а значит по-прежнему ускорение будет направлено перпендикулярно скорости ракеты.
Приведенное решение противоречит принципу относительности. Если (а так сформулировано в условии) продукты сгорания выбрасываются перпендикулярно вектору скорости относительно ракеты, то при переходе в ИСО, движущуюся со скоростью v (с которой ракета "летит по инерции"), получаем первоначально покоящуюся ракету, выбрасывающую топливо в право, и получающую импульс направленный влево. Перпендикулярного приращения импульса нет и быть не может. В таком случае скорость v меняться не будет. Если направление выброса продуктов сгорания задано в лабораторной СО (что, кстати, не совсем ясно из условия задачи), то вертикальная компонента скорости не просто должна оставаться неизменной (как в предыдущем случае), а еще и увеличиваться.
Добрый день!
Здесь все в порядке. Ознакомьтесь с уравнением Мещерского.
Газы выбрасываются так, что они относительно ракеты всегда вылетают перпендикулярно. Ситуация аналогична той, которая происходит при вращении тела на веревке. Сила не меняет модуль скорости, а только приводит к повороту вектора.
В таком случае действительно все в порядке. Сбивает, честно говоря, картинка.
"двигатель ракеты будет выбрасывать продукты сгорания топлива в направлении перпендикулярном скорости" - из этого (+рисунок) условия не ясно, что двигатель выбрасывает газы В КАЖДЫЙ момент времени перпендикулярно скорости. Дана скорость v - начальная, и перпендикулярно ей же (то есть начальной скорости) выбрасываются газы, согласно условию и рисунку. В таком случае, пожалуйста, поставьте индекс "0" в условии у символа v, обозначающем начальную скорость, а на рисунке оставьте, как есть.
Добрый день!
Ну и славно, что мы разобрались. На картинке нарисовано все хорошо, там как раз нарисована ракета, которая "выплевывает топливо вбок", а едет вперед. Это просто картинка в некоторый момент времени.
Здравствуйте. Объясните пожалуйста почему вектор скорости ракеты начнет поворачиваться влево, а не вправо? Заранее спасибо!
Добрый день!
Проще всего понять так, если Вы что-то кинете направо, то по закону сохранения импульса сами отлетите налево. В данном случае примерно так и получается.
Я одного не могу понять: каким образом скорость ракеты направлена вперед, когда продукты сгорания вылетают вправо, она должна лететь влево.
Откуда ракета взяла такое направление?
Добрый день!
Естественно, эту ракету прежде разогнали до скорости
. При этом двигатели работали "назад". А потом направили сопло перпендикулярно скорости и оно стало двигаться по "загибающейся" траектории. В принципе движение по такой траектории и есть это ваше движение "влево". Просто к нему добавляется движение "вперед", и оба эти направления постоянно меняются.
В предлагаемой задаче следовало бы указать, что изменением массы ракеты нужно пренебречь. Одновременно необходимо отказаться и от утверждения постоянства
модуля скорости. Аналогия с движением по кругу тела, удерживаемого нитью, противоположный конец которой закреплен в фиксированной точке, не проходит, поскольку масса тела перемена и, следовательно, будет переменным модуль силы натяжения нити, но тяга ракетного двигателя предполагается как раз постоянной по модулю. В остальном, для строгого решения задачи в её данной формулировке, необходимо рассматривать наряду с движением ракеты и движение струи отходящих газов замыкая систему и применяя к ней все законы сохранения, а не только формулу Мещерского. Если, как Вы утверждаете, получается круг, то где лежит его центр?
Добрый день!
С окружностью, это я, конечно, заврался. Спасибо
Вначале просто приводил это как пример ситуации, когда скорость и ускорение всегда перпендикулярны, а потом сам поверил, что траектория будет окружностью.
А в целом, все неплохо. Для материальной точки переменной массы, у которой ускорение всегда перпендикулярно скорости (
), модуль скорости не изменяется.
Дополню ранее сделанные замечания следующими: сама формулировка модели исходной задачи явно груба, что подтверждает её обсуждение. По умолчанию предполагаются выполненными весьма существенные условия, в числе которых совмещение центра масс и точки приложения силы тяги, которые не расходятся при выгорании топлива. Лексика также неудачна, поскольку понятие "ракета" ассоциируется с массивным и размерным неоднородным твердым телом, динамика которого школьникам неизвестна. Реально все пишут уравнения для материальной точки с переменной массой. Полезно также обратить внимание на логическую связь между условиями движения и его формой. Обыкновенно материальная точка, масса которой постоянна, принуждается к равномерному вращению по кругу и испытывает ускорение. Если масса изменяется , то следует изменять и условия принуждения, с тем, чтобы траектория оставалась прежней. Изменение вектора тяги предполагается только по направлению, но не по модулю, а этого недостаточно. Думается, крайне желательно "щетильней" формулировать задачи.
Спасибо за ценные Комментарии!
Задача не имеет отношения к движению тела по окружности, поскольку при таком движении центростремительная сила постоянно меняет своё направление, тогда как в в задаче направление силы тяги остаётся постоянным (если, конечно, ракета "правильная" и вектор тяги проходит через центр масс). Другими словами мы имеем дело с экзотическим вариантом задачи о теле брошенном горизонтально с неокторого возвышения. Отсюда следует, что ракета будет участвовать в двух независимых движениях, а именно: в равномерном прямолинейном движении по инерции (для горизонтально брошенного тела - это горизонтальное движение по инерции) и ускоренного прямолинейного движения ракеты под действием силы реактивной тяги ( для горизонтально брошенного тела - это равноускоренное движение под действием силы тяжести). В обоих случаях направления движений образуют прямой угол. Разница в задачах только в том, что ракета движется со всё возрастающим ускорением, а брошенное тело - с постоянным ускорением g.
А теперь хотелось бы узнать как А. Малышев сможет объяснить при помощи "бесконечно малого перпендикулярного вектора", что у тела брошенного горизонтально вектор начальной скорости поворачивается и не изменяется по модулю!?
Кстати, при бесконечно малом приращении вектора в перпендикулярном направлении, результирующий вектор повернётся и увеличится также на бесконечно малую величину.
Добрый день!
Я уже написал выше, что чересчур увлекся аналогией с движением по окружности. Эта аналогия здесь, конечно, полностью не работает, так как ускорение в общем случае меняется и по величине. Этот пример приводился мной исключительно с той целью, чтобы показать, что всем нам хорошо знакома ситуация, когда тело двигается с ускорением, но тем не менее модуль его скорости не изменяется.
То, что Вы здесь пишете про случай "экзотического падения тела", не верно. В Вашем рассмотрении ускорение всегда направлено перпендикулярно начальной скорости. При таком движении, несомненно, будет меняться как направление скорости, так и ее величина. Но в данной задаче ускорение устроено так, что оно в любой момент времени перпендикулярно вектору мгновенной скорости. Я уже показывал выше, как из факта перпендикулярности векторов скорости и ускорения в любой момент времени строго доказать постоянство модуля вектора скорости.
На всякий случай, повторяю:
Можно и на языке бесконечно малых (здесь, как всегда предполагается, что мы пренебрегаем бесконечно малыми более высоких порядков)
Пусть
— скорость в некоторый момент времени, 
— изменение скорости, при этом 
и 
. Тогда модуль нового вектора скорости равен
Вот и все!
Добрый день, Алексей Малышев!
Прошу прощения за то, что я не представился в первый раз. Меня зовут Сергей Игнатьевич. Живу в Зеленограде. Инженер-физик на пенсии.
1. Из приведенного условия задачи не следует, что вектор тяги в любой момент времени перпендикулярен вектору скорости, так что аналогия с движением горизонтально брошенного тела, в пределах указанных мной различий, верна и соответствует условию задачи.
2. Даже если допустить, что вектор тяги для любого момента времени перпендикулярен вектору скорости, то все равно модуль вектора скорости будет увеличиваться. Ракета будет двигаться по раскручивающейся спирали со все возрастающими по модулю векторами скорости и ускорения.
3. В первом из приводимых Вами доказательств отсутствует достаточное основании для вывода о постоянстве модуля скорости. Поскольку скалярное произведение ортогональных векторов тождественно равно нулю, постольку значения модулей векторов не могут быть определены (т. е. могут как угодно изменяться во времени, что не противоречит изложенному в п. 2).
4. В доказательстве с бесконечно малыми Вы допустили неточность. В последнем выражении необходимо добавить перед бесконечно малой второго порядка множитель 0.5. Однако, в данном случае это не существенно. Существенным является то, что отбросить бесконечно малую второго порядка нельзя за отсутствием бесконечно малых первого порядка! Поскольку бесконечно малое увеличение модуля скорости произошло за бесконечно малый интервал времени, то за конечный интервал времени увеличение произойдет бесконечное число раз и, в итоге, станет конечным и, более того, все время возрастающим с увеличением интервала времени. Это опять таки не противоречит п. 2.
5. Хочу сказать, что данная задача не требует использования математики. Эта задача на понимание принципов механики. Существует единственный случай движения при котором ортогональные векторы скорости и ускорения не изменяются по модулю – это, так называемое, равномерное движение по окружности. При этом ортогональность является следствием внешней связи, ограничивающей степени свободы тела и вынуждающей его к движению по окружности. Даже если бы в приведенной задаче ускорение ракеты было постоянно ортогональным вектору скорости, модуль скорости все равно увеличивался бы, а ,из-за постоянства модуля ускорения, отношение квадрата мгновенной скорости к мгновенному радиусу кривизны оставалось бы постоянным . При таком положении увеличение модуля скорости в 2 раза приводил бы к увеличению радиуса кривизны в 4 раза. Другими словами, ракета двигалась бы по раскручивающейся спирали (о чем сказано в п. 2). А связано все это с тем что ракета не имеет ограничивающих ее движения связей, т. е. ракета, как Вини Пух, – абсолютно свободна!
6. В заключение хочу привести шутливую фразу Поля Дирака о том, что математика нужна физикам для того, чтобы объяснять физику тем, кто ее не понимает. От себя добавлю: сначала физика (т. е. опыт, обобщенный в физических принципах), потом – математика. Если математика противоречит физике, значит неверно использована математика!
Еще раз, здравствуйте, Алексей Малышев!
Я оказался неправ! Приношу свои извинения. При условии, что вектор тяги в любой момент времени будет ортогонален вектору скорости (хотя не могу представить как это можно сделать. Пусть это будет развлечением космонавтов), модуль скорости действительно будет оставаться постоянным, а траектория, с учетом роста ускорения, будет представлять собой закручивающуюся спираль, так как рост ускорения при постоянном квадрате модуля скорости может быть обеспечен только уменьшением радиуса кривизны. При постоянном ускорении ракета будет двигаться по окружности. Роль ограничивающей свободу связи будет выполнять сила тяги, которая, непостижимым для меня образом, будет мгновенно реагировать на изменением вектора скорости.
Задача, в таком случае, становится неоправданно искусственной.
Еще раз хочу отметить, что из условия задачи не следует постоянной ортогональности векторов ускорения и скорости. Поэтому правильного варианта в предлагаемых ответах нет.
Что касается доказательств с использованием бесконечно малых, то мои рассуждения ошибочны поскольку модуль скорости изменяется на величину второго порядка малости за интервал времени имеющий первый порядок малости, поэтому, когда интервал времени станет конечным, величина приращения модуля скорости останется бесконечно малой величиной первого порядка, т. е. модуль скорости не изменится.
С уважением С.И.
Добрый день, Сергей Игнатьевич!
Рад знакомству с Вами. Также рад тому, что мы поняли друг друга.
1. Движение, действительно будет происходить по спирали, которую можно превратить в окружность, очень специальным образом подбирая скорость истекания газов, обеспечивая постоянство ускорения
2. На счет искусственности задачи. Мне она представляется вполне реальной. Единственное предположение здесь, как раз то, на которое Вы указывали: "вектор тяги проходит через центр масс". Для того чтобы реализовать такое движение достаточно лишь направить сопло перпендикулярно вектору скорости ракеты, при этом ось сопла должна проходить в точности через центр масс. Другое дело, что по мере растраты топлива центр масс, видимо, будет смещаться, но это уже точно забота космонавтов.
3. Что касается текста условия задачи.
Там сказано "Если реактивный двигатель ракеты будет выбрасывать продукты сгорания топлива в направлении перпендикулярном скорости...". Для меня этот текст читается вполне однозначно, но чтобы полностью исключить возможность иного прочтения, предлагаю изменить текст на "Если реактивный двигатель ракеты будет выбрасывать продукты сгорания топлива ВСЕ ВРЕМЯ в направлении перпендикулярном скорости..."
4. На счет математики и высказывания Дирака, я с Вами полностью согласен
С уважением, Алексей.
Добрый день, Алексей!
Рад еще раз пообщаться с Вами!
Алексей, убедительно прошу Вас внимательно прочитать этот текст!
На этот я раз прочитал все комментарии и, наконец-то, понял причину возникшего недопонимания между нами, а также между Вами и другими участниками дискуссии, которую кратко можно выразить словами Тютчева: …«мысль изреченная есть ложь...». А теперь, по порядку.
Из ответа Гостю (16.10.2012 13:39) следует, что Вы убеждены в том, что если в некоторый момент времени включить двигатель так, как показано на рисунке, то вектор тяги будет «автоматически» и синхронно поворачиваться вслед за вектором скорости, сохраняя перпендикулярность. Уважаемый Алексей, это в корне не верно!
Все будет происходить именно так, как я написал в своем комментарии от 19.02.2013 23:09. В противном случае Вы вступаете в противоречие с одним из фундаментальных принципов механики движения абсолютно свободного тела, - принципом независимости движений, который является следствием тождественности всех инерциальных систем отсчета по отношению к законам физики.
Попытаюсь это доказать.
Очевидно, что изменение направления силы тяги вслед за изменением направления скорости, означает, что ракета вращается вокруг центра масс (надеюсь, что этого Вы отрицать не станете). Поскольку вращение не является прямолинейным и равномерным движением, постольку оно должно наблюдаться в любой инерциальной системе отсчета! С этим, утверждением, я надеюсь, Вы тоже не будете спорить! Тем не менее, в инерциальной системе отсчета, движущейся с той же скорость, что и ракета до момента включения двигателя, она будет неподвижной (и не вращающейся, что ясно из условия задачи). Поэтому, после включения двигателя она станет двигаться ускоренно и прямолинейно и не существует причин, которые могли бы привести ее во вращение! С этим тоже невозможно не согласиться! Именно по этому я употребил выражение «правильная ракета».
А теперь попробуем понять, как же будет выглядеть движение ракеты и продуктов сгорания в системе отсчета, сохраняющей условия задачи в том виде, в котором они содержатся в тесте.
В системе отсчета с неподвижной в начальный момент времени ракетой движение будет происходить вдоль прямой определяемой направлением вектора тяги, а продукты сгорания, - в противоположном направлении. Так как ракета движется с ускорением, наступит момент времени, когда скорость ракеты и скорость истечения продуктов сгорания станут равными по модулю. Это значит, что скорость выброшенных продуктов сгорания в этот момент станет равной нулю! Так что, Все частицы, выброшенные до этой точки, будут двигаться в право, а все частицы левее этой точки, - в лево.
Поскольку до включения двигателя импульс вдоль этой прямой был равен нулю, то суммарный импульс частиц движущихся в право будет равен суммарному импульсу ракеты и частиц движущихся в лево.
Теперь легко представить, как это будет выглядеть в системе отсчета, в которой сформулирована задача. Вся прямая, о которой шла речь выше, будет равномерно двигаться в направлении перпендикулярном самой себе, с указанной в условии задачи начальной скоростью. При этом траектория ракеты будет кривой, напоминающей параболу, а за небольшой промежуток времени, ее движение в точности соответствовало бы траектории тела, брошенного горизонтально. Траектория частиц выброшенных продуктов сгорания будет представлять собой лучи, каждый из которых начинается в точке выброса. Наклон каждого луча к прямой будет определяться отношением модуля начальной скорости ракеты и модулем скорости частицы (с учетом знака направления вдоль прямой) в момент выброса из ракеты.
Именно поэтому я настаивал на изменении условия задачи, чтобы привести его к тому ответу, который указан как правильный. В противном случае задача не содержит правильного варианта ответа. Именно поэтому, я и иронизировал по поводу «развлекающихся космонавтов». Дело в том, что для сохранения требуемой ортогональности, необходимо принудительное вращение вектора тяги. Однако, мгновенное реагирование на изменение вектора скорости изменением вектора тяги, является технически не выполнимой задачей именно из-за мгновенности обратной связи, что невозможно физически. Однако, для тестовой задачи это нормально, поскольку ее назначением является иллюстрация некоторого физического принципа или закономерности, знание которых и должен продемонстрировать испытуемый, а вовсе не поиск ответа на вопрос как это можно сделать.
Поэтому, для устранения всех недоразумений по поводу этой задачи предлагаю изменить текст следующим образом:
Ракета движется вдали от небесных тел со скоростью V. Если реактивный двигатель ракеты будет выбрасывать продукты сгорания (см. рисунок) так, что прямой угол между вектором скорости ракеты и направлением выбросы продуктов сгорания будет сохраняться с течением времени, то вектор скорости ракеты…
В этом случае задача, как я уже говорил, решается без привлечения какой-либо математики и, в том числе, уравнения Мешерского (которое в данном случае просто неуместно), и имеет простой физический смысл. Для решения требуется только второй закон Ньютона и представление о свойствах векторов.
Согласно второму закону Ньютона вектор ускорения тела, на которое действует некоторая сила, пропорционален вектору этой силы и обратно пропорционален массе тела. По условию обсуждаемой задачи вектор тяги с течением времени остается перпендикулярным вектору скорости ракеты. Это значит, что проекция вектора тяги на направление вектора скорости, равна нулю, и с течением времени таковой остается. А это означает отсутствие сил, которые могли бы изменить модуль вектора скорости. Поскольку сила тяги сообщает ракете ускорение, а ускорение изменяет вектор скорости, то единственной возможностью к изменению является изменение направления (поворот). Таким образом, вектор скорости будет поворачиваться, оставаясь неизменным по модулю. Вот и все доказательство.
Именно это рассуждение (только на языке математики) и записано в приводимом Вами точном доказательстве. Однако оно требует более глубокого знания математики (хотя, проверка этих знаний у выпускников средних школ также является одной из задач экзамена по физике).
Пока писал этот текст придумал к этой задаче вопрос: можно ли на такой ракете совершать дальние космические путешествия, если ускорение ракеты будет постоянным?
Для того, чтобы условие постоянства ускорения соблюдалось будем считать, что скорость выбрасываемых продуктов сгорания имеет релятивистские значения. В этом случае изменением массы ракеты можно пренебречь.
Кажется, что задача не имеет положительного решения, поскольку при постоянном ускорении ракета должна двигаться по окружности! Однако существует очень простое и красивое решение, не требующее применения математики!
Всего доброго, Алексей!
С уважением, С.И.
Добрый день!
Сергей Игнатьевич, спасибо за столь обширный комментарий. Признаю свою ошибку.
В голове почему-то представлялась картинка, на которой ракета постоянно подворачивается таким образом, что ее "ось" всегда сонаправлена с вектором скорости (т.е. у ракеты действительно есть некоторые стабилизирующие, поворачивающие ее двигатели). По-видимому, это представление возникло у меня еще во время написания решения, а потом я не уделял этому вопросу особого внимания. Поэтому я и писал, что достаточно один раз направить сопло перпендикулярно скорости, а потом его больше не трогать. Так что комментарий Гостя от (16.10.2012 13:39) полностью законный. Большое Вам спасибо за то, что обнаружили эту неточность в истории комментариев к данной задаче. Просто об эту задачу уже столько копий сломано, что я порой не с полным вниманием подходил к ее обсуждению, постараюсь исправиться. В общем, признаю свою неправоту.
Чтобы закончить обсуждение:
1) Условие я уже немного переделал. Правда по-своему. Но вроде оно читается теперь вполне однозначно.
2) С Вашего позволения я подкорректирую свой ответ на вопрос Гостя от (16.10.2012 13:39). Мне кажется, что мало кто захочет читать все комментарии к этой задаче, но для некоторых это может оказаться полезным. Чтобы не путать людей, лучше я поправлю, так как поднятый там вопрос важен.
Так же я надеюсь на продолжение нашего общения. Всегда важен взгляд со стороны. Было бы здорово, если бы Вы зарегистрировались, так было бы проще сразу Вас идентифицировать ))
Добрый день Алексей!
Задача с ракетой Вызвала огромное количество обсуждений людей, достаточно осведомленных в механике.
Как говорится, копий сломано немало.
Тут тебе и дифференциальные уравнения и прочие премудрости, недоступные школьнику.Только некоторые авторы робко отмечают, что условие "не совсем корректно". Дело в том, что высказывание в классической логике может быть либо истинным, либо ложным и третьего не дано (аксиома исключенного третьего).
В условии задания на мой взгляд допущены две ошибки.
1. В условии задания речь идет о ракете, а предполагается, что к ней будут применены законы динамики материальной точки. Это характерная беда школьной физики. Материальная точка это тело, размерами которого мы пренебрегли при решении конкретной задачи. И как только мы пренебрегли этот объект по законам русского (и не только русского) языка уже телом не является.
Если жеребца кастрировать, то он становится мерином, и никто его жеребцом уже не называет. Так девушка, вышедшая замуж становится женщиной, масса, деленная на объем становится плотностью, перемещение деленное на время становится скоростью и так далее. На этой "небольшой некорректности" возникают вопросы о вращении ракеты вокруг своей оси.
2. Вторая "небольшая" некорректность состоит в том, что в задании не фигурирует система отсчета в которой задана начальная скорость ракеты. Движение это все-таки изменение взаимного расположения тел. Других тел в задании просто нет. Они удалены в пределе на бесконечно большие расстояния. В этом случае при конечном изменении координаты координата снова становится бесконечной.То есть бессмысленно говорить о скорости в системе отсчета, в которой точка удалена от начала отсчета на бесконечность.
Если в задаче приходится "догадываться" что имел ввиду автор, по это не задача по физике, а в лучшем случае загадка, то есть литературное произведение, не имеющее никакого отношения к физике.