Ре­ше­ние.

Обос­но­ва­ние.

1.  Вы­бе­рем инер­ци­аль­ную си­сте­му отсчёта, свя­зан­ную с Землёй. За на­ча­ло отсчёта ко­ор­ди­нат при­мем пер­во­на­чаль­ное по­ло­же­ние пер­во­го ша­ри­ка.

2.  Ша­ри­ки будем счи­тать ма­те­ри­аль­ны­ми точ­ка­ми.

3.  Так как со­про­тив­ле­ни­ем воз­ду­ха можно пре­не­бречь, то дви­же­ние ша­ри­ков можно счи­тать сво­бод­ным па­де­ни­ем.

4.  Счи­та­ем время вза­и­мо­дей­ствия ша­ри­ков при не­упру­гом столк­но­ве­нии малым. Сле­до­ва­тель­но, им­пуль­сом внеш­ней силы (силы тя­же­сти) за это время можно пре­не­бречь. Зна­чит, им­пульс си­сте­мы двух ша­ри­ков при столк­но­ве­нии со­хра­ня­ет­ся.

Пе­рей­дем к ре­ше­нию.

1.  Пер­вый шарик на­чи­на­ет дви­же­ние из на­ча­ла ко­ор­ди­нат, а вто­рой  — из точки A. До и после столк­но­ве­ния, про­ис­хо­дя­ще­го в точке B, ша­ри­ки сво­бод­но па­да­ют. Сле­до­ва­тель­но, до столк­но­ве­ния для пер­во­го ша­ри­ка

а для вто­ро­го ша­ри­ка

2.  Ша­ри­ки стал­ки­ва­ют­ся в мо­мент t₁, при этом им­пульс си­сте­мы двух ша­ри­ков со­хра­ня­ет­ся: а ско­рость ша­ри­ков после удара со­глас­но усло­вию го­ри­зон­таль­на. Сле­до­ва­тель­но,

3.  Столк­но­ве­ние ша­ри­ков про­ис­хо­дит на вы­со­те

4.  Ско­рость ша­ри­ков после удара го­ри­зон­таль­на, по­это­му ин­тер­вал вре­ме­ни τ от столк­но­ве­ния ша­ри­ков до их па­де­ния на Землю на­хо­дит­ся из усло­вия от­ку­да Таким об­ра­зом,

Ответ:

Обос­но­ва­ние.

Си­сте­му от­сче­та, свя­зан­ную с Зем­лей, будем счи­тать инер­ци­аль­ной. Тела дви­жут­ся по­сту­па­тель­но, по­это­му их дви­же­ние можно опи­сы­вать мо­де­лью ма­те­ри­аль­ной точки. На груз дей­ству­ют сила тя­же­сти сила на­тя­же­ния нити сила тре­ния сила ре­ак­ции опоры под дей­стви­ем ко­то­рых груз дви­жет­ся с уско­ре­ни­ем На верх­ний бру­сок дей­ству­ют сила тя­же­сти сила на­тя­же­ния нити сила упру­го­сти на ниж­ний бру­сок дей­ству­ют сила тя­же­сти сила упру­го­сти под дей­стви­ем ко­то­рых брус­ки дви­жут­ся с уско­ре­ни­ем по­сколь­ку длина пру­жи­ны во время дви­же­ния не ме­ня­ет­ся. Нить не­ве­со­ма и не­рас­тя­жи­ма, по­это­му силы на­тя­же­ния и уско­ре­ния тел по мо­ду­лю оди­на­ко­вы, то есть и Пру­жи­на лег­кая, по­это­му В ИСО можно при­ме­нить вто­рой закон Нью­то­на.

Пе­рей­дем к ре­ше­нию.

За­пи­шем вто­рой закон Нью­то­на для каж­до­го тела:

В про­ек­ции на вы­бран­ные оси:

Учи­ты­вая, что сила тре­ния где x  — удли­не­ние пру­жи­ны, при объ­еди­не­нии урав­не­ний по­лу­ча­ем:

Учи­ты­вая, что удли­не­ние пру­жи­ны на­хо­дим:

Ответ: 72 Н/м.

Обос­но­ва­ние.

1.  Рас­смот­рим за­да­чу в си­сте­ме отсчёта, свя­зан­ной с Землёй. Будем счи­тать эту си­сте­му отсчёта инер­ци­аль­ной  — ИСО.

2.  Опи­шем рычаг мо­де­лью аб­со­лют­но твёрдого тела  — форма и раз­ме­ры тела не­из­мен­ны, рас­сто­я­ние между лю­бы­ми двумя точ­ка­ми тела остаётся не­из­мен­ным.

3.  Сумма при­ло­жен­ных к аб­со­лют­но твёрдому телу внеш­них сил равна нулю, так как тело не со­вер­ша­ет по­сту­па­тель­но­го дви­же­ния.

4.  Сумма мо­мен­тов внеш­них сил от­но­си­тель­но осей, про­хо­дя­щих через точки O₁ и O₂ пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ри­сун­ка, равна нулю, так как тело не со­вер­ша­ет вра­ща­тель­но­го дви­же­ния.

5.  Грузы на нитях могут дви­гать­ся по­сту­па­тель­но, по­это­му опи­шем грузы мо­де­лью ма­те­ри­аль­ной точки и ис­поль­зу­ем вто­рой закон Нью­то­на.

6.  Нити не­ве­со­мы, по­это­му на­тя­же­ние нити всюду оди­на­ко­во.

7.  Со­глас­но тре­тье­му за­ко­ну Нью­то­на силы, с ко­то­ры­ми вза­и­мо­дей­ству­ют грузы, нити и рычаг, равны по мо­ду­лю и на­прав­ле­ны в про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны.

Ре­ше­ние.

1.  На­чаль­ное усло­вие рав­но­ве­сия где   — силы, с ко­то­ры­ми нити дей­ству­ют на рычаг, l_i  — плечи ры­ча­га.

На каж­дый груз дей­ству­ют толь­ко сила тя­же­сти и сила ре­ак­ции под­ве­са Нити не­ве­со­мы, по­это­му по тре­тье­му за­ко­ну Нью­то­на Сле­до­ва­тель­но,

2.  Когда грузы на­хо­дят­ся в воде, на них дей­ству­ет ар­хи­ме­до­ва сила и в рав­но­ве­сии от­ку­да

3.  Под дей­стви­ем сил и рычаг на­хо­дил­ся в рав­но­ве­сии. В ре­зуль­та­те по­гру­же­ния гру­зов в воду обе силы умень­ши­лись на одну и ту же ве­ли­чи­ну. Сле­до­ва­тель­но, бо́льшая сила из­ме­ни­лась на мень­шую от­но­си­тель­ную ве­ли­чи­ну. Таким об­ра­зом, для со­хра­не­ния рав­но­ве­сия ры­ча­га в новых усло­ви­ях надо умень­шить плечо боль­шей силы.

Усло­вие рав­но­ве­сия ры­ча­га в ко­неч­ном со­сто­я­нии: или

где F_Арх  — ар­хи­ме­до­ва сила,

4.  Из урав­не­ний 1 и 2 на­хо­дим вы­ра­же­ние для плеча l₁:

Ответ: