Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 26 № 51477

Пла­сти­ли­но­вый шарик в мо­мент t  =  0 бро­са­ют с го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти Земли под углом α к го­ри­зон­ту. Од­но­вре­мен­но с не­ко­то­рой вы­со­ты над по­верх­но­стью Земли на­чи­на­ет па­дать из со­сто­я­ния покоя дру­гой такой же шарик. Ша­ри­ки аб­со­лют­но не­упру­го стал­ки­ва­ют­ся в воз­ду­хе. Сразу после столк­но­ве­ния ско­рость ша­ри­ков на­прав­ле­на го­ри­зон­таль­но. Время от столк­но­ве­ния ша­ри­ков до их па­де­ния на Землю равно τ. С какой на­чаль­ной ско­ро­стью υ0 был бро­шен пер­вый шарик? Со­про­тив­ле­ни­ем воз­ду­ха пре­не­бречь.

ИЛИ

Бру­сок мас­сой М  =  600 г со­единён не­ве­со­мой и не­рас­тя­жи­мой нитью, пе­ре­ки­ну­той через глад­кий не­ве­со­мый блок, с гру­зом мас­сой m  =  200 г. К этому грузу на лёгкой пру­жи­не под­ве­шен вто­рой такой же груз. Длина не­рас­тя­ну­той пру­жи­ны l  =  12 см, ко­эф­фи­ци­ент тре­ния брус­ка о по­верх­ность стола μ  =  0,2.

Опре­де­ли­те жёсткость k пру­жи­ны, если при дви­же­нии гру­зов длина пру­жи­ны L по­сто­ян­на и равна 14 см. Сде­лай­те ри­су­нок с ука­за­ни­ем сил, дей­ству­ю­щих на бру­сок и грузы. Тре­ни­ем в оси блока и тре­ни­ем о воз­дух пре­не­бречь.

ИЛИ

К кон­цам не­ве­со­мо­го ры­ча­га под­ве­си­ли за не­ве­со­мые не­рас­тя­жи­мые нити два сплош­ных груза мас­са­ми 1,28 кг и 0,32 кг и при­ве­ли рычаг в со­сто­я­ние рав­но­ве­сия. Затем рычаг с гру­за­ми рас­по­ло­жи­ли над водой так, что оба груза це­ли­ком ока­за­лись под водой. В ре­зуль­та­те для со­хра­не­ния рав­но­ве­сия точку опоры при­ш­лось пе­ре­ме­стить на 10 см. Опре­де­ли­те пер­во­на­чаль­ное рас­сто­я­ние от более тяжёлого груза до точки опоры, если объёмы обоих гру­зов оди­на­ко­вы и равны 200 см3. Сде­лай­те ри­су­нок, на ко­то­ром ука­жи­те силы, дей­ству­ю­щие на рычаг (для двух слу­ча­ев), а также на по­гружённые в воду грузы.

Обос­нуй­те при­ме­ни­мость за­ко­нов, ис­поль­зу­е­мых для ре­ше­ния за­да­чи.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обос­но­ва­ние.

1.  Вы­бе­рем инер­ци­аль­ную си­сте­му отсчёта, свя­зан­ную с Землёй. За на­ча­ло отсчёта ко­ор­ди­нат при­мем пер­во­на­чаль­ное по­ло­же­ние пер­во­го ша­ри­ка.

2.  Ша­ри­ки будем счи­тать ма­те­ри­аль­ны­ми точ­ка­ми.

3.  Так как со­про­тив­ле­ни­ем воз­ду­ха можно пре­не­бречь, то дви­же­ние ша­ри­ков можно счи­тать сво­бод­ным па­де­ни­ем.

4.  Счи­та­ем время вза­и­мо­дей­ствия ша­ри­ков при не­упру­гом столк­но­ве­нии малым. Сле­до­ва­тель­но, им­пуль­сом внеш­ней силы (силы тя­же­сти) за это время можно пре­не­бречь. Зна­чит, им­пульс си­сте­мы двух ша­ри­ков при столк­но­ве­нии со­хра­ня­ет­ся.

 

Пе­рей­дем к ре­ше­нию.

1.  Пер­вый шарик на­чи­на­ет дви­же­ние из на­ча­ла ко­ор­ди­нат, а вто­рой  — из точки A. До и после столк­но­ве­ния, про­ис­хо­дя­ще­го в точке B, ша­ри­ки сво­бод­но па­да­ют. Сле­до­ва­тель­но, до столк­но­ве­ния для пер­во­го ша­ри­ка

y_1 левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка = v _0y t минус дробь: чис­ли­тель: gt в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = v _0 синус альфа умно­жить на t минус дробь: чис­ли­тель: gt в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

v _1y левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка = v _0 синус альфа минус gt,

а для вто­ро­го ша­ри­ка v _2y левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка = минус gt.

2.  Ша­ри­ки стал­ки­ва­ют­ся в мо­мент t1, при этом им­пульс си­сте­мы двух ша­ри­ков со­хра­ня­ет­ся: m \vec v _1 плюс m \vec v _2 = 2m \vecu_0, а ско­рость \vecu_0 ша­ри­ков после удара со­глас­но усло­вию го­ри­зон­таль­на. Сле­до­ва­тель­но,

v _1y левая круг­лая скоб­ка t_1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс v _2y левая круг­лая скоб­ка t_1 пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка v _0 синус альфа минус gt_1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка минус gt_1 пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 рав­но­силь­но t_1 = дробь: чис­ли­тель: v _0 синус альфа , зна­ме­на­тель: 2g конец дроби .

3.  Столк­но­ве­ние ша­ри­ков про­ис­хо­дит на вы­со­те

h = y_1 левая круг­лая скоб­ка t_1 пра­вая круг­лая скоб­ка = v _0 синус альфа умно­жить на t_1 минус дробь: чис­ли­тель: gt_1 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: v _0 в квад­ра­те синус в квад­ра­те альфа , зна­ме­на­тель: 2g конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: v _0 в квад­ра­те синус в квад­ра­те альфа , зна­ме­на­тель: 8g конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: v _0 в квад­ра­те синус в квад­ра­те альфа , зна­ме­на­тель: g конец дроби .

4.  Ско­рость \vecu_0 ша­ри­ков после удара го­ри­зон­таль­на, по­это­му ин­тер­вал вре­ме­ни τ от столк­но­ве­ния ша­ри­ков до их па­де­ния на Землю на­хо­дит­ся из усло­вия h = дробь: чис­ли­тель: g \tau в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , от­ку­да \tau = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 2h, зна­ме­на­тель: g конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на дробь: чис­ли­тель: v _0 синус альфа , зна­ме­на­тель: 2g конец дроби . Таким об­ра­зом, v _0 = дробь: чис­ли­тель: 2g \tau, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус альфа конец дроби .

 

Ответ: v _0 = дробь: чис­ли­тель: 2g \tau, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус альфа конец дроби .

ИЛИ

Обос­но­ва­ние.

Си­сте­му от­сче­та, свя­зан­ную с Зем­лей, будем счи­тать инер­ци­аль­ной. Тела дви­жут­ся по­сту­па­тель­но, по­это­му их дви­же­ние можно опи­сы­вать мо­де­лью ма­те­ри­аль­ной точки. На груз дей­ству­ют сила тя­же­сти M \vecg, сила на­тя­же­ния нити \overrightarrowT_1, сила тре­ния \overrightarrowF_тр, сила ре­ак­ции опоры \overrightarrowN, под дей­стви­ем ко­то­рых груз дви­жет­ся с уско­ре­ни­ем \veca_1. На верх­ний бру­сок дей­ству­ют сила тя­же­сти m \vecg, сила на­тя­же­ния нити \overrightarrowT_2, сила упру­го­сти \overrightarrowF_упр1, на ниж­ний бру­сок дей­ству­ют сила тя­же­сти m \vecg, сила упру­го­сти \overrightarrowF_упр2, под дей­стви­ем ко­то­рых брус­ки дви­жут­ся с уско­ре­ни­ем \veca_2, по­сколь­ку длина пру­жи­ны во время дви­же­ния не ме­ня­ет­ся. Нить не­ве­со­ма и не­рас­тя­жи­ма, по­это­му силы на­тя­же­ния и уско­ре­ния тел по мо­ду­лю оди­на­ко­вы, то есть T_1 = T_2 = T и a_1 = a_2 = a. Пру­жи­на лег­кая, по­это­му F_упр1 = F_упр2 = F_упр. В ИСО можно при­ме­нить вто­рой закон Нью­то­на.

 

Пе­рей­дем к ре­ше­нию.

За­пи­шем вто­рой закон Нью­то­на для каж­до­го тела:

M \veca = M \vecg плюс \overrightarrowN плюс \overrightarrowT плюс \overrightarrowF_тр,

m \veca = m \vecg плюс \overrightarrowT плюс \overrightarrowF_упр,

m \veca = m \vecg плюс \overrightarrowF_упр.

В про­ек­ции на вы­бран­ные оси:

Ma = T минус F_тр,

0 = N минус Mg,

ma = mg минус T плюс F_упр,

ma = mg минус F_упр.

Учи­ты­вая, что сила тре­ния F_тр = \mu N, F_упр = kx, где x  — удли­не­ние пру­жи­ны, при объ­еди­не­нии урав­не­ний по­лу­ча­ем:

a = дробь: чис­ли­тель: g левая круг­лая скоб­ка 2m минус \mu M пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: M плюс 2m конец дроби ,

k = дробь: чис­ли­тель: mMg левая круг­лая скоб­ка 1 плюс \mu пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: x левая круг­лая скоб­ка M плюс 2m пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

Учи­ты­вая, что удли­не­ние пру­жи­ны x = l минус l_0, на­хо­дим:

k = дробь: чис­ли­тель: Mmg левая круг­лая скоб­ка 1 плюс \mu пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка l минус l_0 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка M плюс 2m пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 0,6 умно­жить на 0,2 умно­жить на 10 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 1 плюс 0,2 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 0,14 минус 0,12 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 0,6 плюс 2 умно­жить на 0,2 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = 72 Н/м.

Ответ: 72 Н/м.

ИЛИ

Обос­но­ва­ние.

1.  Рас­смот­рим за­да­чу в си­сте­ме отсчёта, свя­зан­ной с Землёй. Будем счи­тать эту си­сте­му отсчёта инер­ци­аль­ной  — ИСО.

2.  Опи­шем рычаг мо­де­лью аб­со­лют­но твёрдого тела  — форма и раз­ме­ры тела не­из­мен­ны, рас­сто­я­ние между лю­бы­ми двумя точ­ка­ми тела остаётся не­из­мен­ным.

3.  Сумма при­ло­жен­ных к аб­со­лют­но твёрдому телу внеш­них сил равна нулю, так как тело не со­вер­ша­ет по­сту­па­тель­но­го дви­же­ния.

4.  Сумма мо­мен­тов внеш­них сил от­но­си­тель­но осей, про­хо­дя­щих через точки O1 и O2 пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ри­сун­ка, равна нулю, так как тело не со­вер­ша­ет вра­ща­тель­но­го дви­же­ния.

5.  Грузы на нитях могут дви­гать­ся по­сту­па­тель­но, по­это­му опи­шем грузы мо­де­лью ма­те­ри­аль­ной точки и ис­поль­зу­ем вто­рой закон Нью­то­на.

6.  Нити не­ве­со­мы, по­это­му на­тя­же­ние нити всюду оди­на­ко­во.

7.  Со­глас­но тре­тье­му за­ко­ну Нью­то­на силы, с ко­то­ры­ми вза­и­мо­дей­ству­ют грузы, нити и рычаг, равны по мо­ду­лю и на­прав­ле­ны в про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны.

Ре­ше­ние.

1.  На­чаль­ное усло­вие рав­но­ве­сия P_1 l_1 = P_2 l_2 левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , где \overrightarrowP_i  — силы, с ко­то­ры­ми нити дей­ству­ют на рычаг, li  — плечи ры­ча­га.

На каж­дый груз дей­ству­ют толь­ко сила тя­же­сти m \vecg и сила ре­ак­ции под­ве­са \overrightarrowN. Нити не­ве­со­мы, по­это­му по тре­тье­му за­ко­ну Нью­то­на P = T, T = N. Сле­до­ва­тель­но, P = mg.

2.  Когда грузы на­хо­дят­ся в воде, на них дей­ству­ет ар­хи­ме­до­ва сила \overrightarrowF_Арх, и в рав­но­ве­сии N' = mg минус F_Арх, от­ку­да

P' = mg минус F_Арх = P минус F_Арх.

3.  Под дей­стви­ем сил \overrightarrowP_1 и \overrightarrowP_2 рычаг на­хо­дил­ся в рав­но­ве­сии. В ре­зуль­та­те по­гру­же­ния гру­зов в воду обе силы умень­ши­лись на одну и ту же ве­ли­чи­ну. Сле­до­ва­тель­но, бо́льшая сила из­ме­ни­лась на мень­шую от­но­си­тель­ную ве­ли­чи­ну. Таким об­ра­зом, для со­хра­не­ния рав­но­ве­сия ры­ча­га в новых усло­ви­ях надо умень­шить плечо боль­шей силы.

Усло­вие рав­но­ве­сия ры­ча­га в ко­неч­ном со­сто­я­нии: P'_1 левая круг­лая скоб­ка l_1 минус \Delta l пра­вая круг­лая скоб­ка = P'_2 левая круг­лая скоб­ка l_2 плюс \Delta l пра­вая круг­лая скоб­ка , или

левая круг­лая скоб­ка P_1 минус F_Арх пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка l_1 минус \Delta l пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка P_2 минус F_Арх пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка l_2 плюс \Delta l пра­вая круг­лая скоб­ка , \qquad левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка

где FАрх  — ар­хи­ме­до­ва сила, F_Арх = \rho gV.

4.  Из урав­не­ний 1 и 2 на­хо­дим вы­ра­же­ние для плеча l1:

l_1 = дробь: чис­ли­тель: \Delta l левая круг­лая скоб­ка P_2 плюс P_1 минус 2F_Арх пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: F_Арх левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: P_1, зна­ме­на­тель: P_2 конец дроби минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: \Delta l левая круг­лая скоб­ка m_1 плюс m_2 минус 2 \rho V пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: \rho V левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: m_1, зна­ме­на­тель: m_2 конец дроби минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 0,1 левая круг­лая скоб­ка 1,28 плюс 0,32 минус 2 умно­жить на 10 в кубе умно­жить на 2 умно­жить на 10 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 10 в кубе умно­жить на 2 умно­жить на 10 в сте­пе­ни 4 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1,28, зна­ме­на­тель: 0,32 конец дроби минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = 0,2 м.

Ответ: l_1 = 0,2 м.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Кри­те­рий 1

Верно обос­но­ва­на воз­мож­ность ис­поль­зо­ва­ния за­ко­нов (за­ко­но­мер­но­стей)

1

В обос­но­ва­нии воз­мож­но­сти ис­поль­зо­ва­ния за­ко­нов (за­ко­но­мер­но­стей) до­пу­ще­на ошиб­ка.

ИЛИ

Обос­но­ва­ние от­сут­ству­ет

0
Кри­те­рий 2
При­ве­де­но пол­ное ре­ше­ние, вклю­ча­ю­щее сле­ду­ю­щие эле­мен­ты:

I) за­пи­са­ны по­ло­же­ния тео­рии и фи­зи­че­ские за­ко­ны, за­ко­но­мер­но­сти, при­ме­не­ние ко­то­рых не­об­хо­ди­мо для ре­ше­ния за­да­чи вы­бран­ным спо­со­бом (в дан­ном слу­чае: вто­рой и тре­тий за­ко­ны Нью­то­на, вы­ра­же­ние для силы тре­ния сколь­же­ния, усло­вие рав­но­ве­сия твёрдого тела);

II) опи­са­ны все вновь вво­ди­мые в ре­ше­нии бук­вен­ные обо­зна­че­ния фи­зи­че­ских ве­ли­чин (за ис­клю­че­ни­ем обо­зна­че­ний кон­стант, ука­зан­ных в ва­ри­ан­те КИМ, обо­зна­че­ний ве­ли­чин, ис­поль­зу­е­мых в усло­вии за­да­чи, и стан­дарт­ных обо­зна­че­ний ве­ли­чин, ис­поль­зу­е­мых при на­пи­са­нии фи­зи­че­ских за­ко­нов);

III) про­ве­де­ны не­об­хо­ди­мые ма­те­ма­ти­че­ские пре­об­ра­зо­ва­ния и расчёты, при­во­дя­щие к пра­виль­но­му чис­ло­во­му от­ве­ту (до­пус­ка­ет­ся ре­ше­ние «по ча­стям» с про­ме­жу­точ­ны­ми вы­чис­ле­ни­я­ми);

IV) пред­став­лен пра­виль­ный ответ с ука­за­ни­ем еди­ниц из­ме­ре­ния ис­ко­мой ве­ли­чи­ны

3
Пра­виль­но за­пи­са­ны все не­об­хо­ди­мые по­ло­же­ния тео­рии, фи­зи­че­ские за­ко­ны, за­ко­но­мер­но­сти, и про­ве­де­ны не­об­хо­ди­мые пре­об­ра­зо­ва­ния. Но име­ют­ся один или не­сколь­ко из сле­ду­ю­щих не­до­стат­ков.

За­пи­си, со­от­вет­ству­ю­щие пунк­ту II, пред­став­ле­ны не в пол­ном объёме или от­сут­ству­ют.

И (ИЛИ)

В ре­ше­нии име­ют­ся лиш­ние за­пи­си, не вхо­дя­щие в ре­ше­ние (воз­мож­но, не­вер­ные), ко­то­рые не от­де­ле­ны от ре­ше­ния (не зачёрк­ну­ты; не за­клю­че­ны в скоб­ки, рамку и т.п.).

И (ИЛИ)

В не­об­хо­ди­мых ма­те­ма­ти­че­ских пре­об­ра­зо­ва­ни­ях или вы­чис­ле­ни­ях до­пу­ще­ны ошиб­ки, и (или) в ма­те­ма­ти­че­ских

пре­об­ра­зо­ва­ни­ях/вы­чис­ле­ни­ях про­пу­ще­ны ло­ги­че­ски важ­ные шаги.

И (ИЛИ)

От­сут­ству­ет пункт IV, или в нём до­пу­ще­на ошиб­ка (в том числе в за­пи­си еди­ниц из­ме­ре­ния ве­ли­чи­ны)

2
Пред­став­ле­ны за­пи­си, со­от­вет­ству­ю­щие од­но­му из сле­ду­ю­щих слу­ча­ев.

Пред­став­ле­ны толь­ко по­ло­же­ния и фор­му­лы, вы­ра­жа­ю­щие фи­зи­че­ские за­ко­ны, при­ме­не­ние ко­то­рых не­об­хо­ди­мо для ре­ше­ния дан­ной за­да­чи, без каких-либо пре­об­ра­зо­ва­ний с их ис­поль­зо­ва­ни­ем, на­прав­лен­ных на ре­ше­ние за­да­чи.

ИЛИ

В ре­ше­нии от­сут­ству­ет ОДНА из ис­ход­ных фор­мул, не­об­хо­ди­мая для ре­ше­ния дан­ной за­да­чи (или утвер­жде­ние, ле­жа­щее в ос­но­ве ре­ше­ния), но при­сут­ству­ют ло­ги­че­ски вер­ные пре­об­ра­зо­ва­ния с име­ю­щи­ми­ся фор­му­ла­ми, на­прав­лен­ные на ре­ше­ние за­да­чи.

ИЛИ

В ОДНОЙ из ис­ход­ных фор­мул, не­об­хо­ди­мых для ре­ше­ния дан­ной за­да­чи (или в утвер­жде­нии, ле­жа­щем в ос­но­ве ре­ше­ния), до­пу­ще­на ошиб­ка, но при­сут­ству­ют ло­ги­че­ски вер­ные пре­об­ра­зо­ва­ния с име­ю­щи­ми­ся фор­му­ла­ми, на­прав­лен­ные на ре­ше­ние за­да­чи

1
Все слу­чаи ре­ше­ния, ко­то­рые не со­от­вет­ству­ют вы­ше­ука­зан­ным кри­те­ри­ям вы­став­ле­ния оце­нок в 1, 2, 3 балла0
Мак­си­маль­ный балл4
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026