Ре­ше­ние. Ско­рость тела уве­ли­чи­лась в n раз:

Ско­рость умень­ши­лась в n раз:

Ско­рость уве­ли­чи­лась на 2 м/с:

Во сколь­ко раз уве­ли­чи­лась ско­рость?

Во сколь­ко раз умень­ши­лась ско­рость?

Как из­ме­ни­лась ско­рость?

На сколь­ко уве­ли­чи­лась ско­рость?

На сколь­ко умень­ши­лась ско­рость?

Тело до­стиг­ло наи­боль­шей вы­со­ты:

Тело про­шло по­ло­ви­ну рас­сто­я­ния:

Тело бро­са­ют с земли: (по­след­нее усло­вие часто усколь­за­ет из вида  — если у тела ско­рость равна нулю, на­при­мер у ручки, ле­жа­щей на столе, оно может по­ле­теть само вверх?), на­чаль­ная ско­рость на­прав­ле­на вверх.

Тело бро­са­ют вниз: на­чаль­ная ско­рость на­прав­ле­на вниз.

Тело бро­са­ют вверх: на­чаль­ная ско­рость на­прав­ле­на вверх.

В мо­мент па­де­ния на землю:

Тело вы­па­да­ет из аэро­ста­та (воз­душ­но­го шара): на­чаль­ная ско­рость равна ско­ро­сти аэро­ста­та (воз­душ­но­го шара) и на­прав­ле­на в ту же самую сто­ро­ну.

3.2.2. Как по гра­фи­ку ско­ро­сти опре­де­лить уско­ре­ние?

Закон из­ме­не­ния ско­ро­сти имеет вид (3.6):

Гра­фи­ком этого урав­не­ния яв­ля­ет­ся пря­мая линия. Так как a_x  — ко­эф­фи­ци­ент перед t, то a_x яв­ля­ет­ся уг­ло­вым ко­эф­фи­ци­ен­том пря­мой.

Для гра­фи­ка 1:

(3.50)

То, что гра­фик 1 «под­ни­ма­ет­ся вверх», озна­ча­ет  — про­ек­ция уско­ре­ния по­ло­жи­тель­на, то есть век­тор на­прав­лен в по­ло­жи­тель­ном на­прав­ле­нии оси Ox. Пе­ре­се­че­ние гра­фи­ка с осью  — из­ме­не­ние на­прав­ле­ния дви­же­ния на про­ти­во­по­лож­ное.

Для гра­фи­ка 2:

(3.51)

То, что гра­фик 2 «опус­ка­ет­ся вниз», озна­ча­ет  — про­ек­ция уско­ре­ния от­ри­ца­тель­на, то есть век­тор на­прав­лен в от­ри­ца­тель­ном на­прав­ле­нии оси Ox. Пе­ре­се­че­ние гра­фи­ка с осью  — из­ме­не­ние на­прав­ле­ния дви­же­ния на про­ти­во­по­лож­ное.

Для опре­де­ле­ния и вы­би­ра­ем такие точки на гра­фи­ке, в ко­то­рых можно точно опре­де­лить зна­че­ния, как пра­ви­ло, это точки, на­хо­дя­щи­е­ся в вер­ши­нах кле­ток.

3.2.3. Как по гра­фи­ку ско­ро­сти опре­де­лить прой­ден­ный путь и пе­ре­ме­ще­ние?

Как ска­за­но в пунк­те 3.1.6 путь можно как пло­щадь под гра­фи­ком за­ви­си­мо­сти ско­ро­сти от уско­ре­ния. Про­стой слу­чай по­ка­зан в пунк­те 3.1.6. Рас­смот­рим более слож­ный ва­ри­ант, когда гра­фик ско­ро­сти пе­ре­се­ка­ет ось вре­ме­ни.

На­пом­ним, что путь может толь­ко уве­ли­чи­вать­ся, по­это­му путь, ко­то­рый про­еха­ло тело в при­ме­ре на ри­сун­ке 9 равен:

(3.52)

где и   — пло­ща­ди фигур, за­кра­шен­ных на ри­сун­ке.

Для опре­де­ле­ния пе­ре­ме­ще­ния нужно за­ме­тить, что в точ­ках и тело ме­ня­ет на­прав­ле­ние дви­же­ния. Про­ез­жая путь тело дви­жет­ся в по­ло­жи­тель­ном на­прав­ле­нии оси Ox, так как гра­фик лежит над осью вре­ме­ни. Про­ез­жая путь тело дви­жет­ся в об­рат­ную сто­ро­ну, в от­ри­ца­тель­ном на­прав­ле­нии оси Ox так как гра­фик лежит под осью вре­ме­ни. Про­ез­жая путь тело дви­жет­ся в по­ло­жи­тель­ном на­прав­ле­нии оси Ox, так как гра­фик лежит над осью вре­ме­ни. Таким об­ра­зом, пе­ре­ме­ще­ние равно:

(3.53)

Еще раз об­ра­тим вни­ма­ние:

1)  пе­ре­се­че­ние с осью вре­ме­ни озна­ча­ет по­во­рот в об­рат­ную сто­ро­ну;

2)  пло­щадь гра­фи­ка, ле­жа­ще­го под осью вре­ме­ни по­ло­жи­тель­на и вхо­дит со зна­ком «+» в опре­де­ле­ние прой­ден­но­го пути, но со зна­ком «−» в опре­де­ле­нии пе­ре­ме­ще­ния.

3.2.4. Как из гра­фи­ка за­ви­си­мо­сти уско­ре­ния от вре­ме­ни опре­де­лить за­ви­си­мость ско­ро­сти от вре­ме­ни и ко­ор­ди­на­ты от вре­ме­ни?

Для того, чтобы опре­де­лить тре­бу­е­мые за­ви­си­мо­сти не­об­хо­ди­мы на­чаль­ные усло­вия  — зна­че­ния ско­ро­сти и ко­ор­ди­на­ты в мо­мент вре­ме­ни Без на­чаль­ных усло­вий ре­шить од­но­знач­но дан­ную за­да­чу не­воз­мож­но, по­это­му, как пра­ви­ло, в усло­вии за­да­чи они даны.

В дан­ном при­ме­ре по­ста­ра­ем­ся при­ве­сти все рас­суж­де­ния в бук­вах, для того, чтобы част­ном при­ме­ре (при под­ста­нов­ке цифр) не по­те­рять суть дей­ствий.

Пусть в мо­мент вре­ме­ни ско­рость тела равна нулю и на­чаль­ная ко­ор­ди­на­та

1)  От 0 до

На­чаль­ные зна­че­ния ско­ро­сти и ко­ор­ди­на­ты опре­де­ля­ем из на­чаль­ных усло­вий, а уско­ре­ние из гра­фи­ка:

сле­до­ва­тель­но, дви­же­ние рав­но­уско­рен­ное и закон из­ме­не­ния ско­ро­сти имеет вид:

(3.54)

(3.55)

К концу дан­но­го про­ме­жут­ка вре­ме­ни () ско­рость () и ко­ор­ди­на­та () будут равны (вме­сто вре­ме­ни в фор­му­лы (3.54) и (3.55) нужно под­ста­вить ):

(3.56)

(3.57)

2)  От до

На­чаль­ное зна­че­ние ско­ро­сти на этом про­ме­жут­ке долж­но быть равно ко­неч­но­му зна­че­нию на преды­ду­щем про­ме­жут­ке, на­чаль­ное зна­че­ние ко­ор­ди­на­ты равно ко­неч­но­му зна­че­нию ко­ор­ди­на­ты на преды­ду­щем про­ме­жут­ке, а уско­ре­ние опре­де­ля­ем из гра­фи­ка:

сле­до­ва­тель­но, дви­же­ние рав­но­уско­рен­ное и закон из­ме­не­ния ско­ро­сти имеет вид:

(3.58)

(3.59)

К концу дан­но­го про­ме­жут­ка вре­ме­ни () ско­рость () и ко­ор­ди­на­та () будут равны (вме­сто вре­ме­ни в фор­му­лы (3.58) и (3.59) нужно под­ста­вить ):

(3.60)

(3.61)

3)  От до

На­чаль­ное зна­че­ние ско­ро­сти на этом про­ме­жут­ке долж­но быть равно ко­неч­но­му зна­че­нию на преды­ду­щем про­ме­жут­ке, на­чаль­ное зна­че­ние ко­ор­ди­на­ты равно ко­неч­но­му зна­че­нию ко­ор­ди­на­ты на преды­ду­щем про­ме­жут­ке, а уско­ре­ние опре­де­ля­ем из гра­фи­ка:

(3.62)

сле­до­ва­тель­но, дви­же­ние рав­но­уско­рен­ное и закон из­ме­не­ния ско­ро­сти имеет вид:

(3.63)

(3.64)

К концу дан­но­го про­ме­жут­ка вре­ме­ни () ско­рость () и ко­ор­ди­на­та () будут равны (вме­сто вре­ме­ни в фор­му­лы (3.63) и (3.64) нужно под­ста­вить ):

(3.65)

(3.66)

Для луч­ше­го по­ни­ма­ния по­стро­им по­лу­чен­ные ре­зуль­та­ты на гра­фи­ке (см. рис. 11)

На гра­фи­ке ско­ро­сти:

1)  От 0 до пря­мая линия, «под­ни­ма­ю­ща­я­ся вверх» (так как );

2)  От до го­ри­зон­таль­ная пря­мая линия (так как );

3)  От до : пря­мая линия, «опус­ка­ю­ща­я­ся вниз» (так как ).

На гра­фи­ке ко­ор­ди­на­ты:

1)  От 0 до : па­ра­бо­ла, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх (так как );

2)  От до : пря­мая линия, под­ни­ма­ю­ща­я­ся вверх (так как );

3)  От до : па­ра­бо­ла, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вниз (так как ).

3.2.5. Как из гра­фи­ка за­ко­на дви­же­ния за­пи­сать ана­ли­ти­че­скую фор­му­лу за­ко­на дви­же­ния?

Пусть дан гра­фик рав­но­пе­ре­мен­но­го дви­же­ния.

Закон рав­но­пе­ре­мен­но­го дви­же­ния имеет вид (3.26):

В этой фор­му­ле три не­из­вест­ные ве­ли­чи­ны: и

Для опре­де­ле­ния до­ста­точ­но по­смот­реть на зна­че­ние функ­ции при Для опре­де­ле­ния двух дру­гих не­из­вест­ных вы­би­ра­ем две точки на гра­фи­ке, зна­че­ния ко­то­рых мы можем точно опре­де­лить  — вер­ши­ны кле­ток. По­лу­чим си­сте­му:

(3.67)

При этом счи­та­ем, что нам уже из­вест­но. Умно­жим 1-⁠ое урав­не­ние си­сте­мы на а 2-⁠ое урав­не­ние на :

(3.68)

Вы­чтем из 1-⁠го урав­не­ния 2-⁠ое, после чего по­лу­ча­ем:

(3.69)

По­лу­чен­ное из дан­но­го вы­ра­же­ния зна­че­ние a_x под­ста­вим в любое из урав­не­ний си­сте­мы (3.67) и решим по­лу­чен­ное урав­не­ние от­но­си­тель­но :

(3.70)

3.2.6. Как по из­вест­но­му за­ко­ну дви­же­ния опре­де­лить закон из­ме­не­ния ско­ро­сти?

Закон рав­но­пе­ре­мен­но­го дви­же­ния имеет вид (3.26):

Это его стан­дарт­ный вид для дан­но­го типа дви­же­ния и никак иначе он вы­гля­деть не может, по­это­му его стоит за­пом­нить.

В дан­ном за­ко­не ко­эф­фи­ци­ент перед t  — это зна­че­ние на­чаль­ной ско­ро­сти, ко­эф­фи­ци­ент пред   — это уско­ре­ние, де­лен­ное по­по­лам.

На­при­мер, пусть дан закон:

Тогда

И урав­не­ние ско­ро­сти имеет вид:

Таким об­ра­зом, для ре­ше­ния по­доб­ных задач, не­об­хо­ди­мо точно пом­нить вид за­ко­на рав­но­пе­ре­мен­но­го дви­же­ния (3.26) и смысл ко­эф­фи­ци­ен­тов, вхо­дя­щих в это урав­не­ние.

Од­на­ко, можно пойти и иным путем. Вспом­ним фор­му­лу (3.42):

(3.71)

В нашем при­ме­ре:

3.2.7. Как опре­де­лить место и время встре­чи?

Пусть даны за­ко­ны дви­же­ния двух тел:

В мо­мент встре­чи тела ока­зы­ва­ют­ся в одной ко­ор­ди­на­те, то есть и не­об­хо­ди­мо ре­шить урав­не­ние:

(3.72)

Пе­ре­пи­шем его в виде:

(3.73)

Это квад­рат­ное урав­не­ние, общее ре­ше­ние ко­то­ро­го при­во­дить не будем, в силу его гро­мозд­ко­сти. Квад­рат­ное урав­не­ние либо не имеет ре­ше­ний, что озна­ча­ет  — тела не встре­ти­лись; либо имеет одно ре­ше­ние  — одна един­ствен­ная встре­ча; либо имеет два ре­ше­ния  — две встре­чи тел.

По­лу­чен­ные ре­ше­ния не­об­хо­ди­мо про­ве­рять на фи­зи­че­скую ре­а­ли­зу­е­мость. Самое глав­ное усло­вие: и то есть время встре­чи долж­но быть по­ло­жи­тель­ным.

3.2.8. Как опре­де­лить путь за -ую се­кун­ду?

Пусть тело на­чи­на­ет дви­же­ние из со­сто­я­ния покоя, и за -ую се­кун­ду про­хо­дит путь Тре­бу­ет­ся найти какой путь про­хо­дит тело за n-ую се­кун­ду.

Для ре­ше­ния этой за­да­чи не­об­хо­ди­мо вос­поль­зо­вать­ся фор­му­лой (3.25):

Обо­зна­чим Тогда

(3.74)

(3.75)

По­де­лим урав­не­ние (3.74) на (3.75) и по­лу­чим:

(3.76)

3.2.9. Как дви­жет­ся тело, бро­шен­ное вверх с вы­со­ты h?

Тело, бро­ше­но вверх с вы­со­ты h со ско­ро­стью

Урав­не­ние ко­ор­ди­на­ты y в про­из­воль­ный мо­мент вре­ме­ни:

(3.77)

Урав­не­ние про­ек­ции ско­ро­сти в про­из­воль­ный мо­мент вре­ме­ни:

(3.78)

Время подъ­ема до наи­выс­шей точки по­ле­та опре­де­ля­ет­ся из усло­вия :

(3.79)

Для на­хож­де­ния мак­си­маль­ной вы­со­ты H не­об­хо­ди­мо в (3.77) не­об­хо­ди­мо под­ста­вить :

(3.80)

Время всего по­ле­та опре­де­ля­ет­ся из усло­вия По­лу­ча­ем урав­не­ние:

(3.81)

Это квад­рат­ное урав­не­ние, ко­то­рое имеет два ре­ше­ния, но в дан­ной за­да­че тело может ока­зать­ся в ко­ор­ди­на­те толь­ко один раз. По­это­му среди по­лу­чен­ных ре­ше­ний нужно одно «убрать». Глав­ный кри­те­рий от­се­ва  — время по­ле­та не может быть от­ри­ца­тель­ным:

(3.82)

Ско­рость в мо­мент па­де­ния:

(3.83)

3.2.10. Как дви­жет­ся тело, бро­шен­ное вниз с вы­со­ты h?

Тело, бро­ше­но вверх с вы­со­ты h со ско­ро­стью

Урав­не­ние ко­ор­ди­на­ты y в про­из­воль­ный мо­мент вре­ме­ни:

(3.84)

Урав­не­ние про­ек­ции ско­ро­сти в про­из­воль­ный мо­мент вре­ме­ни:

(3.85)

Время всего по­ле­та опре­де­ля­ет­ся из урав­не­ния:

(3.86)

Это квад­рат­ное урав­не­ние, ко­то­рое имеет два ре­ше­ния, но в дан­ной за­да­че тело может ока­зать­ся в ко­ор­ди­на­те толь­ко один раз. По­это­му среди по­лу­чен­ных ре­ше­ний нужно одно «убрать». Глав­ный кри­те­рий от­се­ва  — время по­ле­та не может быть от­ри­ца­тель­ным:

(3.87)

Ско­рость в мо­мент па­де­ния:

(3.88)

3.2.11. Как дви­жет­ся тело бро­шен­ное вверх с по­верх­но­сти земли?

Тело бро­ше­но вверх с по­верх­но­сти земли со ско­ро­стью

Урав­не­ние ко­ор­ди­на­ты y в про­из­воль­ный мо­мент вре­ме­ни:

(3.89)

Урав­не­ние про­ек­ции ско­ро­сти в про­из­воль­ный мо­мент вре­ме­ни:

(3.90)

Время подъ­ема до наи­выс­шей точки по­ле­та опре­де­ля­ет­ся из усло­вия

(3.91)

Для на­хож­де­ния мак­си­маль­ной вы­со­ты H не­об­хо­ди­мо в (3.89) не­об­хо­ди­мо под­ста­вить

(3.92)

Время всего по­ле­та опре­де­ля­ет­ся из усло­вия По­лу­ча­ем урав­не­ние:

(3.93)

Ско­рость в мо­мент па­де­ния:

(3.94)

За­меть­те, что что озна­ча­ет  — время подъ­ема равно вре­ме­ни па­де­ния на ту же вы­со­ту.

Также по­лу­чи­ли: то есть  — с какой ско­ро­стью бро­си­ли, с такой же ско­ро­стью тело упало. Знак «−» в фор­му­ле (3.94) ука­зы­ва­ет, что ско­рость в мо­мент па­де­ния на­прав­ле­на вниз, то есть про­тив оси Oy.

3.2.12. Тело по­бы­ва­ло на одной вы­со­те два­жды…

При бро­са­нии тела оно может два­жды ока­зать­ся на одной вы­со­те  — пер­вый раз при дви­же­нии вверх, вто­рой  — при па­де­нии вниз.

1)  Когда тело ока­зы­ва­ет­ся на вы­со­те h?

Для тела, бро­шен­но­го вверх с по­верх­но­сти земли спра­вед­лив закон дви­же­ния (3.89):

Когда тело ока­жет­ся на вы­со­те h его ко­ор­ди­на­та будет равна По­лу­ча­ем урав­не­ние:

(3.95)

ре­ше­ние ко­то­ро­го имеет вид:

(3.96)

(3.97)

2)  Из­вест­ны вре­ме­на и когда тело ока­за­лось на вы­со­те h. Когда тело ока­жет­ся на мак­си­маль­ной вы­со­те?

Время по­ле­та с вы­со­ты h назад до вы­со­ты h равно Как уже было по­ка­за­но, время подъ­ема равно вре­ме­ни па­де­ния до той же вы­со­ты, по­это­му время по­ле­та от вы­со­ты h до мак­си­маль­ной вы­со­ты равно:

(3.98)

Тогда время по­ле­та от на­ча­ла дви­же­ния до мак­си­маль­ной вы­со­ты:

(3.99)

3)  Из­вест­ны вре­ме­на и когда тело ока­за­лось на вы­со­те h. Чему равно время по­ле­та тела?

Все время по­ле­та равно:

(3.100)

4)  Из­вест­ны вре­ме­на и когда тело ока­за­лось на вы­со­те h. Чему равна мак­си­маль­ная вы­со­та подъ­ема?

(3.101)

3.2.13. Как дви­жет­ся тело, бро­шен­ное го­ри­зон­таль­но с вы­со­ты h?

Тело, бро­ше­но го­ри­зон­таль­но с вы­со­ты h со ско­ро­стью

Про­ек­ции на­чаль­ной ско­ро­сти на оси:

(3.102)

Про­ек­ции уско­ре­ния:

(3.103)

Про­ек­ции ско­ро­сти в про­из­воль­ный мо­мент вре­ме­ни t:

(3.104)

Мо­дуль ско­ро­сти в про­из­воль­ный мо­мент вре­ме­ни t:

(3.105)

Ко­ор­ди­на­ты тела в про­из­воль­ный мо­мент вре­ме­ни t:

(3.106)

Время по­ле­та опре­де­ля­ет­ся из усло­вия

(3.107)

Для опре­де­ле­ния даль­но­сти по­ле­та не­об­хо­ди­мо в урав­не­ние для ко­ор­ди­на­ты x вме­сто t под­ста­вить

(3.108)

Для опре­де­ле­ния ско­ро­сти тела в мо­мент па­де­ния не­об­хо­ди­мо в урав­не­ние (3.98) вме­сто t под­ста­вить

(3.109)

Угол, под ко­то­рым па­да­ет тело на землю:

(3.110)

3.2.14. Как дви­жет­ся тело, бро­шен­ное под углом α к го­ри­зон­ту с вы­со­ты h?

Тело, бро­ше­но под углом α к го­ри­зон­ту с вы­со­ты h со ско­ро­стью

Про­ек­ции на­чаль­ной ско­ро­сти на оси:

(3.111)

Про­ек­ции уско­ре­ния:

(3.112)

Про­ек­ции ско­ро­сти в про­из­воль­ный мо­мент вре­ме­ни t:

(3.113)

Мо­дуль ско­ро­сти в про­из­воль­ный мо­мент вре­ме­ни t:

(3.114)

Ко­ор­ди­на­ты тела в про­из­воль­ный мо­мент вре­ме­ни t:

(3.115)

Время по­ле­та до наи­выс­шей точки опре­де­ля­ет­ся из усло­вия

(3.116)

Ско­рость в наи­выс­шей точке по­ле­та

(3.117)

Мак­си­маль­ная вы­со­та H опре­де­ля­ет­ся при под­ста­нов­ке в закон из­ме­не­ния ко­ор­ди­на­ты y вре­ме­ни

(3.118)

Все время по­ле­та на­хо­дит­ся из усло­вия по­лу­ча­ем урав­не­ние:

(3.119)

Это квад­рат­ное урав­не­ние, ко­то­рое имеет два ре­ше­ния, но в дан­ной за­да­че тело может ока­зать­ся в ко­ор­ди­на­те толь­ко один раз. По­это­му среди по­лу­чен­ных ре­ше­ний нужно одно «убрать». Глав­ный кри­те­рий от­се­ва  — время по­ле­та не может быть от­ри­ца­тель­ным:

(3.120)

Если под­ста­вим в закон из­ме­не­ния ко­ор­ди­на­ты x время то по­лу­чим даль­ность по­ле­та L:

(3.121)

Ско­рость в мо­мент па­де­ния

(3.122)

Угол, ко­то­рый об­ра­зу­ет век­тор ско­ро­сти с го­ри­зон­та­лью в про­из­воль­ный мо­мент вре­ме­ни:

(3.123)

Угол па­де­ния:

(3.124)

3.2.15. Как дви­жет­ся тело, бро­шен­ное под углом α к го­ри­зон­ту земли?

Тело, бро­ше­но под углом α к го­ри­зон­ту с по­верх­но­сти земли со ско­ро­стью

Про­ек­ции на­чаль­ной ско­ро­сти на оси:

(3.125)

Про­ек­ции уско­ре­ния:

(3.126)

Про­ек­ции ско­ро­сти в про­из­воль­ный мо­мент вре­ме­ни t:

(3.127)

Мо­дуль ско­ро­сти в про­из­воль­ный мо­мент вре­ме­ни t:

(3.128)

Ко­ор­ди­на­ты тела в про­из­воль­ный мо­мент вре­ме­ни t:

(3.129)

Время по­ле­та до наи­выс­шей точки опре­де­ля­ет­ся из усло­вия

(3.130)

Ско­рость в наи­выс­шей точке по­ле­та

(3.131)

Мак­си­маль­ная вы­со­та H опре­де­ля­ет­ся при под­ста­нов­ке в закон из­ме­не­ния ко­ор­ди­на­ты y вре­ме­ни

(3.132)

Все время по­ле­та на­хо­дит­ся из усло­вия по­лу­ча­ем урав­не­ние:

(3.133)

По­лу­ча­ем

(3.134)

Снова по­лу­чи­ли, что то есть еще раз по­ка­за­ли, что время подъ­ема равно вре­ме­ни па­де­ния.

Если под­ста­вим в закон из­ме­не­ния ко­ор­ди­на­ты x время то по­лу­чим даль­ность по­ле­та L:

(3.135)

Ско­рость в мо­мент па­де­ния

(3.136)

Угол, ко­то­рый об­ра­зу­ет век­тор ско­ро­сти с го­ри­зон­та­лью в про­из­воль­ный мо­мент вре­ме­ни:

(3.137)

Угол па­де­ния:

(3.138)

то есть

3.2.16. Что такое на­стиль­ная и на­вес­ная тра­ек­то­рии?

Решим сле­ду­ю­щую за­да­чу: под каким углом нужно бро­сить тело с по­верх­но­сти земли, чтобы тело упало на рас­сто­я­нии L от точки брос­ка?

Даль­ность по­ле­та опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой (3.135):

(3.139)

От­сю­да

(3.140)

Из фи­зи­че­ских со­об­ра­же­ний ясно, что угол α не может быть боль­ше 90°, по­это­му, из серии ре­ше­ний урав­не­ния (3.140) под­хо­дят два корня:

(3.141)

(3.142)

Тра­ек­то­рия дви­же­ния, для ко­то­рой на­зы­ва­ет­ся на­стиль­ной тра­ек­то­ри­ей. Тра­ек­то­рия дви­же­ния, для ко­то­рой на­зы­ва­ет­ся на­вес­ной тра­ек­то­ри­ей.

3.2.17. Как поль­зо­вать­ся тре­уголь­ни­ком ско­ро­стей?

Как было ска­за­но в 3.6.1 тре­уголь­ник ско­ро­стей в каж­дой за­да­че будет иметь свой вид. Рас­смот­рим на кон­крет­ном при­ме­ре.

Тело бро­си­ли с вер­ши­ны башни со ско­рость так, что даль­ность по­ле­та мак­си­маль­на. К мо­мен­ту па­де­ния на землю ско­рость тела равна Сколь­ко длил­ся полет?

По­стро­им тре­уголь­ник ско­ро­стей (см. рис. 18). Про­ве­дем в ней вы­со­ту, ко­то­рая, оче­вид­но, равна Тогда пло­щадь тре­уголь­ни­ка ско­ро­стей равна:

(3.143)

Здесь мы вос­поль­зо­ва­лись фор­му­лой (3.121).

Най­дем пло­щадь этого же тре­уголь­ни­ка по дру­гой фор­му­ле:

(3.144)

Так как это пло­ща­ди од­но­го и того же тре­уголь­ни­ка, то при­рав­ня­ем фор­му­лы (3.143) и (3.144):

От­ку­да по­лу­ча­ем

(3.145)

Как видно из фор­мул для ко­неч­ной ско­ро­сти, по­лу­чен­ных в преды­ду­щих пунк­тах, ко­неч­ная ско­рость не за­ви­сит от угла, под ко­то­рым бро­си­ли тело, а за­ви­сит толь­ко зна­че­ния на­чаль­ной ско­ро­сти и на­чаль­ной вы­со­ты. По­это­му даль­ность по­ле­та по фор­му­ле (3.145) за­ви­сит толь­ко от угла между на­чаль­ной и ко­неч­ной ско­ро­стью β. Тогда даль­ность по­ле­та L будет мак­си­маль­ной, если при­мет мак­си­маль­но воз­мож­ное зна­че­ние, то есть

Таким об­ра­зом, если даль­ность по­ле­та мак­си­маль­на, то тре­уголь­ник ско­ро­стей будет пря­мо­уголь­ным, сле­до­ва­тель­но, вы­пол­ня­ет­ся тео­ре­ма Пи­фа­го­ра:

(3.146)

От­ку­да по­лу­ча­ем

(3.147)

Свой­ством тре­уголь­ни­ка ско­ро­стей, ко­то­рый толь­ко что был до­ка­зан, можно поль­зо­вать­ся при ре­ше­нии дру­гих задач: тре­уголь­ник ско­ро­стей яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным в за­да­че на мак­си­маль­ную даль­ность по­ле­та.

3.2.18. Как поль­зо­вать­ся тре­уголь­ни­ком пе­ре­ме­ще­ний?

Как было ска­за­но в 3.6.2 тре­уголь­ник пе­ре­ме­ще­ний в каж­дой за­да­че будет иметь свой вид. Рас­смот­рим на кон­крет­ном при­ме­ре.

Тело бро­са­ют под углом β к по­верх­но­сти горы, име­ю­щей угол на­кло­на α. С какой ско­ро­стью нужно бро­сить тело, чтобы оно упало ровно на рас­сто­я­нии L от точки бро­са­ния?

По­стро­им тре­уголь­ник пе­ре­ме­ще­ний  — это тре­уголь­ник ABC (см. рис. 19). Про­ве­дем в нем вы­со­ту BD. Оче­вид­но, что угол DBC равен α.

Вы­ра­зим сто­ро­ну BD из тре­уголь­ни­ка BCD:

(3.148)

Вы­ра­зим сто­ро­ну BD из тре­уголь­ни­ка ABD:

(3.149)

При­рав­ня­ем (3.148) и (3.149):

(3.150)

От­ку­да на­хо­дим время по­ле­та:

(3.151)

Вы­ра­зим AD из тре­уголь­ни­ка ABD:

(3.152)

Вы­ра­зим сто­ро­ну DC из тре­уголь­ни­ка BCD:

(3.153)

Но По­лу­ча­ем

(3.154)

Под­ста­вим в это урав­не­ние, по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние для вре­ме­ни по­ле­та (3.151):

(3.155)

Окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем

(3.156)

3.2.19. Как ре­шать за­да­чи с по­мо­щью за­ко­на дви­же­ния? (по го­ри­зон­та­ли)

Как пра­ви­ло, в школе при ре­ше­нии задач на рав­но­пе­ре­мен­ное дви­же­ние при­ме­ня­ют­ся фор­му­лы (3.7), (3.8), (3.10)—(3.14). Од­на­ко такой под­ход к ре­ше­нию труд­но при­ме­нить к ре­ше­нию мно­гих задач. Рас­смот­рим кон­крет­ный при­мер.

Опоз­дав­ший пас­са­жир по­до­шел к по­след­не­му ва­го­ну по­ез­да в тот мо­мент, когда поезд тро­нул­ся, начав дви­же­ние с по­сто­ян­ным уско­ре­ни­ем Един­ствен­ная от­кры­тая дверь в одном из ва­го­нов ока­за­лась от пас­са­жи­ра на рас­сто­я­нии Какую наи­мень­шую по­сто­ян­ную ско­рость он дол­жен раз­вить, чтобы успеть сесть в поезд?

Вве­дем ось Ox, на­прав­лен­ную вдоль дви­же­ния че­ло­ве­ка и по­ез­да. За ну­ле­вое по­ло­же­ние при­мем на­чаль­ное по­ло­же­ние че­ло­ве­ка («2»). Тогда на­чаль­ная ко­ор­ди­на­та от­кры­той двери («1») L:

(3.157)

Дверь («1»), как и весь поезд, имеют на­чаль­ную ско­рость рав­ную нулю. Че­ло­век («2») на­чи­на­ет дви­же­ние со ско­ро­стью

(3.158)

Дверь («1»), как и весь поезд, дви­жет­ся с уско­ре­ни­ем a. Че­ло­век («2») дви­жет­ся с по­сто­ян­ной ско­ро­стью:

(3.159)

Закон дви­же­ния и двери и че­ло­ве­ка имеет вид (3.26):

Под­ста­вим усло­вия (3.157), (3.158) и (3.159) в (3.26) для каж­до­го из дви­жу­щих­ся тел:

(3.160)

(3.161)

Мы со­ста­ви­ли урав­не­ние дви­же­ния для каж­до­го из тел. Те­перь вос­поль­зу­ем­ся уже из­вест­ным ал­го­рит­мом для на­хож­де­ния места и вре­ме­ни встре­чи двух тел  — нам нужно при­рав­нять (3.160) и (3.161):

(3.162)

От­ку­да по­лу­ча­ем квад­рат­ное урав­не­ние для опре­де­ле­ния вре­ме­ни встре­чи:

(3.163)

Это квад­рат­ное урав­не­ние. Оба его ре­ше­ния имеют фи­зи­че­ский смысл  — наи­мень­ший ко­рень, это пер­вая встре­ча че­ло­ве­ка и двери (че­ло­век с места может по­бе­жать быст­ро, а поезд не сразу на­бе­рет боль­шую ско­рость, так что че­ло­век может обо­гнать дверь), вто­рой ко­рень  — вто­рая встре­ча (когда уже поезд разо­гнал­ся и до­гнал че­ло­ве­ка). Но на­ли­чие обоих кор­ней озна­ча­ет  — че­ло­век может бе­жать и мед­лен­нее. Ско­рость будет ми­ни­маль­на, когда урав­не­ние (3.163) будет иметь один един­ствен­ный ко­рень, то есть

(3.164)

От­ку­да на­хо­дим ми­ни­маль­ную ско­рость:

(3.165)

В таких за­да­чах важно разо­брать в усло­ви­ях за­да­чи: чему равны на­чаль­ная ко­ор­ди­на­та, на­чаль­ная ско­рость и уско­ре­ние. После этого со­став­ля­ем урав­не­ние дви­же­ния и ду­ма­ем как даль­ше ре­шать за­да­чу. 

3.2.20. Как ре­шать за­да­чи с по­мо­щью за­ко­на дви­же­ния? (по вер­ти­ка­ли)

Рас­смот­рим при­мер.

Сво­бод­но па­да­ю­щее тело про­шло по­след­ние 10 м за 0,5 с. Найти время па­де­ния и вы­со­ту, с ко­то­рой упало тело. Со­про­тив­ле­ни­ем воз­ду­ха пре­не­бречь.

Для сво­бод­но­го па­де­ния тела спра­вед­лив закон дви­же­ния (3.30):

В нашем слу­чае:

(3.166)на­чаль­ная ко­ор­ди­на­та:

(3.167)на­чаль­ная ско­рость:

Под­ста­вим усло­вия в закон дви­же­ния:

(3.168)

Под­став­ляя в урав­не­ние дви­же­ния (3.168) нуж­ные зна­че­ния вре­ме­ни, будем по­лу­чать ко­ор­ди­на­ты тела в эти мо­мен­ты.

В мо­мент па­де­ния ко­ор­ди­на­та тела

(3.169)

За с до мо­мен­та па­де­ния, то есть при ко­ор­ди­на­та тела

(3.170)

Урав­не­ния (3.169) и (3.170) со­став­ля­ют си­сте­му урав­не­ний, в ко­то­рой не­из­вест­ны H и t_0. Решая эту си­сте­му по­лу­чим:

(3.171)

(3.172)

Итак, зная вид за­ко­на дви­же­ния (3.30), и ис­поль­зуя усло­вия за­да­чи для на­хож­де­ния и по­лу­ча­ем закон дви­же­ния для дан­ной кон­крет­ной за­да­чи. После чего, под­став­ляя нуж­ные зна­че­ния вре­ме­ни, по­лу­ча­ем со­от­вет­ству­ю­щие зна­че­ния ко­ор­ди­на­ты. И ре­ша­ем за­да­чу!