К решению задач
3.1 Как найти путь или перемещение по известной траектории движения?
В задачах при нахождении пути и перемещении необходимо помнить определения (1.6) и (1.7), то есть:
— для нахождения пути из геометрических соображений находим длину траектории;
— для нахождения перемещения, соединяем начальную точку с конечной и ищем длину получившегося вектора.
3.1.2 Тело прошло четверть окружности.
Путь:
(1.26)
Перемещение:
(1.27)
3.1.3 Тело прошло пол окружности.
Путь:
(1.28)
Перемещение:
(1.29)
3.14 Тело прошло три четверти окружности.
Путь:
(1.30)
Перемещение:
(1.31)
3.1.5 Тело прошло всю окружность.
Путь:
(1.32)
Перемещение:
(1.33)
Заметим, несмотря на то, что тело прошло какой-то путь, перемещение равно нулю, так как тело вернулось в исходную точку.
3.1.6 Тело повернулось по окружности на уголь α.
Путь:
(1.34)
Перемещение найдем по теореме косинусов:
(1.35)
Заметим, несмотря на то, что тело прошло какой-то путь, перемещение равно нулю, так как тело вернулось в исходную точку.
3.2 Тело движется «туда и обратно».
Тело движется в одном направлении n км, затем по этой же прямой возвращается обратно и проходит m км.
Нужно помнить, что путь — это длина всей траектории, то есть, для нахождения всего пути направление движения не учитываем, а просто суммируем:
(1.36)
Перемещение — это расстояние между начальной и конечной точкой:
(1.37)
3.3 Тело движется на север n км, затем поворачивает на восток (запад) и движется еще m км.
Путь:
(1.38)
Перемещение найдем по теореме косинусов:
(1.39)
3.4. Как найти проекции и модуль перемещения на координатной плоскости?
При нахождении проекций нужно помнить, что перемещение — это вектор. Следовательно, все операции с перемещением производим как для обыкновенного вектора:
1) если известна длина вектора и его направление, то для нахождения проекций необходимо воспользоваться правилом в пункте 1.3.
2) если известны координаты конца и начала вектора перемещения, то необходимо воспользоваться правилом в пункте 1.4, а для нахождения модуля перемещения пунктом 1.5.
2. Скорость.
2.1 Равномерное прямолинейное движение.
2.1.1 Равномерное прямолинейное движение — это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает равные перемещения, двигаясь по прямой линии.
2.1.2 Скорость 
— векторная физическая величина, показывающая какое перемещение совершило тело за единицу времени:
(2.1)
При равномерном движении по прямой:
(2.2)
где S — путь, проходимый телом за время t.
Для учета направления движения эту формулу запишем в проекциях:
(2.3)
где 
— перемещение вдоль оси Ox за время t. Знак проекции зависит от направления скорости и оси координат (см. рис. 1):
2.1.3 График проекции скорости от времени.
Так скорость при равномерном движении по прямой является постоянной, то график будет представлять собой прямые линии, параллельные оси времени (см. рис. 2):
Направление движения: если график лежит над осью времени (1 и 2), то проекция положительна и тело движется по направлению оси Ox; в противном случае, когда график расположен ниже оси времени (3 и 4), то проекция скорости отрицательна и тело движется против оси Ox.
Значение скорости: чем дальше от оси времени лежит прямая, тем больше модуль скорости 
2.1.4 Геометрический смысл площади под графиком в осях 
.
Для любого вида движения пройденный телом путь можно определить как площадь под графиком, когда на оси Oy отложена скорость, а на оси Ox — время. Это легко видеть непосредственно из рисунка для равномерного движения (см. рис. 3):
2.1.5 График проекции перемещения.
Из определения (2.3) проекция перемещения при равномерном прямолинейном движении определяется формулой:
(2.4)
График проекции перемещения при равномерном прямолинейном движении — это прямая, выходящая из начала координат.
Направление движения: если прямая лежит над осью времени (поднимается вверх), то тело движется в положительном направлении оси Ox (прямые 1 и 2); если прямая лежит под осью времени (опускается вниз), то тело движется против оси Ox.
Значение скорости: чем больше тангенс угла наклона (чем круче поднимается вверх или опускает вниз), тем больше модуль скорости 
2.1.6 Закон движения.
Из определения (2.3) имеем:
(2.5)
где 
— начальная координата тела по оси Ox, x — координата тела в момент времени t, 
— проекция скорости на ось Ox.
При движении по прямой всегда возможно выбрать ось Ox вдоль этой прямой. Однако в некоторых случаях удобно рассматривать движение и вдоль оси Oy:
(2.6)
2.1.7 График изменения координаты.
Уравнение координаты при равномерном движении имеет вид (2.5).
График изменения координаты при равномерном движении — это прямая линия.
Направление движения: если с течением времени координата увеличивается (прямая поднимается вверх), то тело движется по направлению оси Ox (прямые 1 и 2); если координата уменьшается (прямая опускается вниз), то движение происходит против оси Ox.
Значение скорости: чем больше тангенс угла наклона (чем круче поднимается вверх или опускает вниз), тем больше модуль скорости; 
где 
— изменение координаты за время 
Начальная координата тел — точка пересечения прямой с вертикальной осью (на рисунке это ось Ox, но мы привыкли, что вертикальная ось — ось Ox).
Время и место встречи двух тел — точка пересечения графиков координат двух тел; из точки пересечения следует опустить перпендикуляры на ось времени и ось координат.
Пересечение прямой с осью времени — точка пересечения прямой с ось времени означает, что тело проехало мимо начала отсчета.
2.2 Средняя скорость неравномерного движения.
2.2.1 Неравномерное движение — это движение с переменной скоростью. Скорость со временем может меняться как угодно — по любому закону.
2.2.2 Средняя векторная скорость.
(2.7)
где 
— перемещение за время t.
2.2.3 Средняя путевая (скалярная) скорость.
(2.8)
где L — весь путь, пройденный за время t.
2.3 Относительность механического движения.
В определении системы отсчета было сказано, что за тело отсчета можно выбирать абсолютно любое тело. В зависимости от выбора такого тела, то есть от выбора системы отсчета, одно и то же движение будет выглядеть по-разному. Например, сидим в движущейся машине — относительно машины мы неподвижны, относительно земли — движемся. Покой относителен. Движение тела относительно и положение тела относительно.
2.3.1 Правило сложения перемещений.
Векторная сумма перемещений
(2.9)
где — перемещение относительно неподвижной системы отсчета (НСО), 
— перемещение относительно подвижной системы отсчета (ПСО), 
— перемещение самой подвижной системы отсчета (СПСО).
2.3.2 Правило сложения скоростей.
Векторная сумма скоростей
(2.10)
где 
— скорость относительно неподвижной системы отсчета (НСО), 
— скорость относительно подвижной системы отсчета (ПСО), 
— перемещение самой подвижной системы отсчета (СПСО).
2.3.3 Относительная скорость.
Векторная разность скоростей
(2.11)
где 
— скорость первого тела относительно второго (относительная скорость), 
— скорость первого тела, 
— скорость второго тела.
К решению задач
2.2.1 Как перевести из км/ч в м/с и т. д?
В задачах часто необходимо переводить из одних единиц измерения в другие:
1 км/ч = (1000 м)/(3600 с) = 5/18 м/с, (2.12)
1 м/с = 18/5 км/ч, (2.13)
1 км/с = 1000 м/с, (2.14)
1 см/с = 0,01 м/с, (2.15)
1 м/мин = 1/60 м/с. (2.16)
Например, если 
то для того, чтобы перевести в м/с, нужно умножить на 5/18:
2.2.2 Как найти скорость тела, если известен закон движения?
Закон равномерного движения имеет вид (2.5):
Видим, что в этой формуле скорость стоит коэффициентом перед временем. Поэтому, если в условии задачи дан закон движения, необходимо посмотреть на коэффициент перед t — это и есть скорость.
Например, пусть закон движения имеет вид: 
В данном случае коэффициент перед t равен 5, следовательно, 
2.2.3 Как определить скорость по графику координаты от времени?
Закон равномерного движения имеет вид (2.5):
Графиком этого закона является прямая линия. Так как — коэффициент перед t, то является угловым коэффициентом прямой.
Для графика 1:
(2.17)
То, что график 1 «поднимается вверх», означает — тело едет в положительном направлении оси Ox.
Для графика 2:
(2.18)
То, что график 2 «опускается вниз», означает — тело едет в отрицательном направлении оси Ox.
Для определения и 
выбираем такие точки на графике, в которых можно точно определить значения, как правило, это точки, находящиеся в вершинах клеток.
2.2.4 Как найти закон движения, если известны координаты тела в моменты времени 
и 
?
Пусть в момент времени тело находилось в точке с координатой 
а в момент времени тело находилось в точке с координатой 
Закон равномерного движения имеет вид (2.5).
Для времени имеем:
(2.19)
Для времени имеем:
(2.20)
Решая систему уравнений (2.19) и (2.20), получим
(2.21)
(2.22)
2.2.5 Как найти графически момент и координату встречи двух тел?
Пусть даны законы движения двух тел: 
и 
Согласно пункту 2.5 графиками обоих законов являются прямые линии. Необходимо на одном графике построить оба закона.
Графики пересекаются в одной точке. Координаты этой точки и являются временем и местом встречи.
2.2.6 Как аналитически найти координату и время встречи двух тел?
Пусть даны законы движения двух тел: и 
В момент встречи тела оказываются в одной координате, то есть 
и необходимо решить уравнение:
(2.17)
Решение уравнения имеет вид:
(2.18)
Для нахождения координаты достаточно подставить вместо t найденное значение
в любой из законов движения:
или
2.2.7 Как найти среднюю скорость, если тело половину пути проехало со скоростью 
а вторую половину пути 
По определению (2.8):
В нашем случае, так как на каждой половине пути тело едет с постоянной скоростью, то
(2.19)
Получаем
(2.20)
В общем случае, если весь путь разбить на n равных участков, на каждом из которых тело едет с постоянной скоростью, то
(2.21)
Формула (2.21) справедлива только если весь путь разбит на равные участки. Если же разбиение будет иное, то, естественно, формула для нахождения средней скорости, будет иной.
2.2.8 Как найти среднюю скорость, если тело половину времени проехало со скоростью а вторую половину времени
По определению (2.8):
В нашем случае, так как каждую половину времени тело едет с постоянной скоростью, то
(2.22)
Получаем
(2.23)
В общем случае, если все время разбито на n равных промежутков, на каждом из которых тело едет с постоянной скоростью, то
(2.24)
Формула (2.24) справедлива только если все время разбито на равные промежутки. Если же разбиение будет иное, то, естественно, формула для нахождения средней скорости, будет иной.
2.2.9 Как найти скорость, с которой движется моторная лодка по течению реки?
Согласно формуле (2.10) скорость тела относительно неподвижной системы отсчета 
(в нашем случае земли), равна векторной сумме скорости подвижной системы отсчета u (в нашем случае — скорость реки) и скорости в подвижной системе отсчета 
(в нашем случае — собственная скорость лодки).
При движении по течению вектора 
и направлены в одну сторону, следовательно, получаем сложение двух векторов, направленных в одну сторону — используем формулу (1.15):
(2.25)
Таким образом, при движении любого тела по течению его скорость определяется формулой (2.25).
2.2.10 Как найти скорость, с которой движется моторная лодка против течения реки?
Согласно формуле (2.10) скорость тела относительно неподвижной системы отсчета (в нашем случае земли) равна векторной сумме скорости подвижной системы отсчета u (в нашем случае — скорость реки) и скорости в подвижной системе отсчета (в нашем случае — собственная скорость лодки).
Перепишем формулу в виде:
Вектора и 
направлены в одну сторону, следовательно, получаем вычитание двух векторов, направленных в одну сторону — используем формулу (1.16):
(2.26)
2.2.11 Как найти скорость, с которой движется моторная лодка, если ее скорость направлена перпендикулярно течению реки?
Согласно формуле (2.10) скорость тела относительно неподвижной системы отсчета (в нашем случае земли), равна векторной сумме скорости подвижной системы отсчета u (в нашем случае — скорость реки) и скорости в подвижной системе отсчета (в нашем случае — собственная скорость лодки).
В данном случае вектора и направлены перпендикулярно, следовательно, получаем задачу о сложении взаимно перпендикулярных векторов — используем формулу (1.17):
(2.27)
2.2.12 Как найти расстояние, на которое снесет лодку, если ее скорость направлена перпендикулярно скорости реки?
В результате сложения скоростей по формуле (2.10) скорость тела, относительно земли равна и направлена по прямой OD. В результате, когда тело окажется на противоположном берегу, оно попадет в точке D, и его снесет на длину 
Треугольник OAB подобен треугольнику OCD:
(2.28)
2.2.13 Как найти скорость, с которой движется моторная лодка, если ее скорость направлена под углом φ к скорости течения реки?
Согласно формуле (2.10) скорость тела относительно неподвижной системы отсчета (в нашем случае земли), равна векторной сумме скорости подвижной системы отсчета u (в нашем случае — скорость реки) и скорости в подвижной системе отсчета (в нашем случае — собственная скорость лодки).
В результате сложения скоростей по формуле (2.10) скорость тела относительно земли равна и направлена по прямой OB. Как видим, получили треугольник, в котором известен один из углов —
Тогда по теореме косинусов:
(2.29)
2.2.14 Как найти расстояние, на которое снесет лодку, если ее скорость направлена под углом 
к скорости течения реки?
В результате сложения скоростей по формуле (2.10) скорость тела относительно земли равна и направлена по прямой OB. В результате, когда тело окажется на противоположном берегу, оно попадет в точке В, и его снесет на длину
В задачах, когда движение происходит в плоскости, то есть и вдоль оси Ox, и вдоль оси Oy (см. рис. 12), необходимо введение системы координат для того, чтобы упростить рассмотрение задачи.
Проекция 
(2.30)
Проекция 
(2.31)
Формулы (2.30) и (2.31) не просто результат математической операции нахождения проекции, и 
имеют физический смысл: со скоростью тело плывет вдоль оси Ox, то есть по течению; со скоростью тело переплывает реку. Например, время, за которое тело переплывет реку, можно найти просто поделив ширину реки на
(2.32)
Тогда
(2.33)
2.2.15 Под каким углом α нужно направить собственную скорость лодки, чтобы за минимальное время переплыть реку?
Согласно формуле (2.31) скорость, с которой лодка переплывает реку, равна:
Очевидно, что время будет минимальным, если будет максимальным, то есть 
2.2.16 С какой скоростью машина обгоняет вторую машину, если они движутся в одну сторону?
Пусть 1-ая машина движется вправо со скоростью 
а 2-ая машина также движется вправо со скоростью 
Скорость обгона — это скорость, с которой 1-ая машина движется относительно 2-ой, то есть — это относительная скорость, и она определяется формулой (1.16):
Так как и направлены в одну сторону, то получили задачу о вычитании векторов, направленных в одну сторону — формула (1.16):
(2.34)Заметим, что при обгоне, естественно 
поэтому 
2.2.17 За какое время проедут мимо друг друга два поезда, двигающиеся в одном направлении?
Пусть длина 1-го поезда 
а скорость 2-го поезда 
Скорость обгона определяется формулой (2.34). Тогда
(2.35)
2.2.18 С какой скоростью машина едет навстречу вторую машину, если они движутся в противоположных направлениях?
Пусть 1-ая машина движется вправо со скоростью а 2-ая машина движется влево со скоростью Скорость движения навстречу — это скорость, с которой 1-ая машина движется относительно 2-ой, то есть — это относительная скорость, и она определяется формулой (1.16):
Перепишем эту формулу в виде:
Так как и 
направлены в одну сторону, то получили задачу о вычитании векторов, направленных в одну сторону — формула (1.16):
(2.36)2.2.19 За какое время проедут мимо друг друга два поезда, двигающиеся в противоположных направлениях?
Пусть длина 1-го поезда а скорость 2-го поезда Скорость обгона определяется формулой (2.34). Тогда
(2.37)2.2.20 Как найти относительную скорость, если тела движутся по взаимно перпендикулярным направлениям?
Пусть 1-ая машина движется вправо со скоростью а 2-ая машина движется перпендикулярно первой со скоростью Относительная скорость определяется формулой (1.16):
Так как вектора и перпендикулярны, то воспользуемся формулой (1.18):
(2.38)3. Ускорение.
3.1. Равнопеременное движение по прямой.
3.1.1. Равнопеременное движение по прямой — движение по прямой с постоянным по модулю и направлению ускорением: 
3.1.2. Ускорение (
) — физическая векторная величина, показывающая, на сколько изменится скорость за 1 с.
В векторном виде:
(3.1)
где — начальная скорость тела, — скорость тела в момент времени t.
В проекции на ось Ox:
(3.2)
где 
— проекция начальной скорости на ось Ox, — проекция скорости тела на ось Ox в момент времени t.
Знаки проекций зависят от направления векторов и оси Ox.
(3.3)
(3.4)
3.1.3. График проекции ускорения от времени.
При равнопеременном движении ускорение постоянно, поэтому будет представлять собой прямые линии, параллельные оси времени (см. рис. 3.3):
Рис. 3
Значение ускорения: чем дальше от оси времени лежит прямая, тем больше модуль ускорения 
3.1.4. Скорость при равнопеременном движении.
В векторном виде:
(3.5)
В проекции на ось Ox:
(3.6)
Для равноускоренного движения:
(3.7)
Для равнозамедленного движения:
(3.8)
3.1.5. График проекции скорости в зависимости от времени.
График проекции скорости от времени — прямая линия.
Направление движения: если график (или часть его) находятся над осью времени, то тело движется в положительном направлении оси Ox.
Значение ускорения: чем больше тангенс угла наклона (чем круче поднимается вверх или опускает вниз), тем больше модуль ускорения; 
где 
— изменение скорости за время
Пересечение с осью времени: если график пересекает ось времени, то до точки пересечения тело тормозило (равнозамедленное движение), а после точки пересечения начало разгоняться в противоположную сторону (равноускоренное движение).
3.1.6. Геометрический смысл площади под графиком в осях 
Площадь под графиком, когда на оси Oy отложена скорость, а на оси Ox — время — это путь, пройденный телом.
На рис. 3.5 нарисован случай равноускоренного движения. Путь в данном случае будет равен площади трапеции:
(3.9)
3.1.7. Формулы для расчета пути
| Равноускоренное движение
| Равнозамедленное движение
|
|---|---|
 (3.10) |  (3.12) |
 (3.11) |  (3.13) |
 (3.14) | |
Все формулы, представленные в таблице, работают только при сохранении направления движения, то есть до пересечения прямой с осью времени на графике зависимости проекции скорости от времени.
Если же пересечение произошло, то движение проще разбить на два этапа:
до пересечения (торможение):
(3.15)
(3.16)
После пересечения (разгон, движение в обратную сторону)
(3.17)
(3.18)
(3.19)
(3.20)
В формулах (3.17)—(3.20) — время от начала движения до пересечения с осью времени (время до остановки), 
— путь, который прошло тело от начала движения до пересечения с осью времени, — время, прошедшее с момента пересечения оси времени до данного момента t, 
— путь, который прошло тело в обратном направлении за время, прошедшее с момента пересечения оси времени до данного момента t, 
— модуль вектора перемещения за все время движения, L — путь, пройденный телом за все время движения.
3.1.8. Перемещение за -ую секунду.
За время 
тело пройдет путь:
(3.21)
За время 
тело пройдет путь:
(3.22)
Тогда за -й промежуток 
тело пройдет путь:
(3.23)
За промежуток 
можно принимать любой отрезок времени. Чаще всего 
с.
Если 
то
(3.24)
Тогда за 1-ую секунду тело проходит путь:
За 2-ую секунду:
За 3-ю секунду:
и так далее
Если внимательно посмотрим, то увидим, что 
и так далее
Таким образом, приходим к формуле:
(3.25)
Словами: пути, проходимые телом за последовательные промежутки времени соотносятся между собой как ряд нечетных чисел, и это не зависит от того, с каким ускорени1111
Скорость тела увеличилась в n раз: 
Скорость уменьшилась в n раз: 
Скорость увеличилась на 2 м/с: 
Во сколько раз увеличилась скорость? 
Во сколько раз уменьшилась скорость? 
Как изменилась скорость?
На сколько увеличилась скорость? 
На сколько уменьшилась скорость? 
Тело достигло наибольшей высоты: 
Тело прошло половину расстояния: 
Тело бросают с земли: 
(последнее условие часто ускользает из вида — если у тела скорость равна нулю, например у ручки, лежащей на столе, оно может полететь само вверх?), начальная скорость направлена вверх.
Тело бросают вниз: 
начальная скорость направлена вниз.
Тело бросают вверх: начальная скорость направлена вверх.
В момент падения на землю: 
Тело выпадает из аэростата (воздушного шара): начальная скорость равна скорости аэростата (воздушного шара) и направлена в ту же самую сторону.
3.2.2. Как по графику скорости определить ускорение?
Закон изменения скорости имеет вид (3.6):
Графиком этого уравнения является прямая линия. Так как ax — коэффициент перед t, то ax является угловым коэффициентом прямой.
Для графика 1:
(3.50)
То, что график 1 «поднимается вверх», означает — проекция ускорения положительна, то есть вектор 
направлен в положительном направлении оси Ox. Пересечение графика с осью — изменение направления движения на противоположное.
Для графика 2:
(3.51)
То, что график 2 «опускается вниз», означает — проекция ускорения отрицательна, то есть вектор направлен в отрицательном направлении оси Ox. Пересечение графика с осью — изменение направления движения на противоположное.
Для определения
и выбираем такие точки на графике, в которых можно точно определить значения, как правило, это точки, находящиеся в вершинах клеток.
3.2.3. Как по графику скорости определить пройденный путь и перемещение?
Как сказано в пункте 3.1.6 путь можно как площадь под графиком зависимости скорости от ускорения. Простой случай показан в пункте 3.1.6. Рассмотрим более сложный вариант, когда график скорости пересекает ось времени.
Напомним, что путь может только увеличиваться, поэтому путь, который проехало тело в примере на рисунке 9 равен:
(3.52)
где 
и 
— площади фигур, закрашенных на рисунке.
Для определения перемещения нужно заметить, что в точках и тело меняет направление движения. Проезжая путь тело движется в положительном направлении оси Ox, так как график лежит над осью времени. Проезжая путь 
тело движется в обратную сторону, в отрицательном направлении оси Ox так как график лежит под осью времени. Проезжая путь 
тело движется в положительном направлении оси Ox, так как график лежит над осью времени. Таким образом, перемещение равно:
(3.53)
Еще раз обратим внимание:
1) пересечение с осью времени означает поворот в обратную сторону;
2) площадь графика, лежащего под осью времени положительна и входит со знаком «+» в определение пройденного пути, но со знаком «−» в определении перемещения.
3.2.4. Как из графика зависимости ускорения от времени определить зависимость скорости от времени и координаты от времени?
Для того, чтобы определить требуемые зависимости необходимы начальные условия — значения скорости и координаты в момент времени 
Без начальных условий решить однозначно данную задачу невозможно, поэтому, как правило, в условии задачи они даны.
В данном примере постараемся привести все рассуждения в буквах, для того, чтобы частном примере (при подстановке цифр) не потерять суть действий.
Пусть в момент времени 
скорость тела равна нулю и начальная координата 
1) От 0 до 
Начальные значения скорости и координаты определяем из начальных условий, а ускорение из графика:
следовательно, движение равноускоренное и закон изменения скорости имеет вид:
(3.54)
(3.55)
К концу данного промежутка времени (
) скорость (
) и координата (
) будут равны (вместо времени в формулы (3.54) и (3.55) нужно подставить ):
(3.56)
(3.57)
2) От до 
Начальное значение скорости на этом промежутке должно быть равно конечному значению на предыдущем промежутке, начальное значение координаты равно конечному значению координаты на предыдущем промежутке, а ускорение определяем из графика:
следовательно, движение равноускоренное и закон изменения скорости имеет вид:
(3.58)
(3.59)
К концу данного промежутка времени (
) скорость (
) и координата (
) будут равны (вместо времени в формулы (3.58) и (3.59) нужно подставить ):
(3.60)
(3.61)
3) От до 
Начальное значение скорости на этом промежутке должно быть равно конечному значению на предыдущем промежутке, начальное значение координаты равно конечному значению координаты на предыдущем промежутке, а ускорение определяем из графика:
(3.62)
следовательно, движение равноускоренное и закон изменения скорости имеет вид:
(3.63)
(3.64)
К концу данного промежутка времени (
) скорость (
) и координата (
) будут равны (вместо времени в формулы (3.63) и (3.64) нужно подставить 
):
(3.65)
(3.66)
Для лучшего понимания построим полученные результаты на графике (см. рис. 11)
На графике скорости:
1) От 0 до 
прямая линия, «поднимающаяся вверх» (так как 
);
2) От до 
горизонтальная прямая линия (так как 
);
3) От до : прямая линия, «опускающаяся вниз» (так как 
).
На графике координаты:
1) От 0 до : парабола, ветви которой направлены вверх (так как );
2) От до : прямая линия, поднимающаяся вверх (так как );
3) От до : парабола, ветви которой направлены вниз (так как ).
3.2.5. Как из графика закона движения записать аналитическую формулу закона движения?
Пусть дан график равнопеременного движения.
Закон равнопеременного движения имеет вид (3.26):
В этой формуле три неизвестные величины: 
и 
Для определения достаточно посмотреть на значение функции при Для определения двух других неизвестных выбираем две точки на графике, значения которых мы можем точно определить — вершины клеток. Получим систему:
(3.67)
При этом считаем, что нам уже известно. Умножим 1-ое уравнение системы на 
а 2-ое уравнение на :
(3.68)
Вычтем из 1-го уравнения 2-ое, после чего получаем:
(3.69)
Полученное из данного выражения значение ax подставим в любое из уравнений системы (3.67) и решим полученное уравнение относительно :
(3.70)
3.2.6. Как по известному закону движения определить закон изменения скорости?
Закон равнопеременного движения имеет вид (3.26):
Это его стандартный вид для данного типа движения и никак иначе он выглядеть не может, поэтому его стоит запомнить.
В данном законе коэффициент перед t — это значение начальной скорости, коэффициент пред 
— это ускорение, деленное пополам.
Например, пусть дан закон: 
Тогда
И уравнение скорости имеет вид:
Таким образом, для решения подобных задач, необходимо точно помнить вид закона равнопеременного движения (3.26) и смысл коэффициентов, входящих в это уравнение.
Однако, можно пойти и иным путем. Вспомним формулу (3.42):
(3.71)
В нашем примере:
3.2.7. Как определить место и время встречи?
Пусть даны законы движения двух тел:
В момент встречи тела оказываются в одной координате, то есть 
и необходимо решить уравнение:
(3.72)
Перепишем его в виде:
(3.73)
Это квадратное уравнение, общее решение которого приводить не будем, в силу его громоздкости. Квадратное уравнение либо не имеет решений, что означает — тела не встретились; либо имеет одно решение — одна единственная встреча; либо имеет два решения — две встречи тел.
Полученные решения необходимо проверять на физическую реализуемость. Самое главное условие: 
и 
то есть время встречи должно быть положительным.
3.2.8. Как определить путь за -ую секунду?
Пусть тело начинает движение из состояния покоя, и за -ую секунду проходит путь 
Требуется найти какой путь проходит тело за n-ую секунду.
Для решения этой задачи необходимо воспользоваться формулой (3.25):
Обозначим 
Тогда
(3.74)
(3.75)
Поделим уравнение (3.74) на (3.75) и получим:
(3.76)
3.2.9. Как движется тело, брошенное вверх с высоты h?
Тело, брошено вверх с высоты h со скоростью 
Уравнение координаты y в произвольный момент времени:
(3.77)
Уравнение проекции скорости в произвольный момент времени:
(3.78)
Время подъема до наивысшей точки полета определяется из условия 
:
(3.79)
Для нахождения максимальной высоты H необходимо в (3.77) необходимо подставить :
(3.80)
Время всего полета определяется из условия Получаем уравнение:
(3.81)
Это квадратное уравнение, которое имеет два решения, но в данной задаче тело может оказаться в координате 
только один раз. Поэтому среди полученных решений нужно одно «убрать». Главный критерий отсева — время полета не может быть отрицательным:
(3.82)
Скорость в момент падения:
(3.83)
3.2.10. Как движется тело, брошенное вниз с высоты h?
Тело, брошено вверх с высоты h со скоростью
Уравнение координаты y в произвольный момент времени:
(3.84)
Уравнение проекции скорости в произвольный момент времени:
(3.85)
Время всего полета определяется из уравнения:
(3.86)
Это квадратное уравнение, которое имеет два решения, но в данной задаче тело может оказаться в координате только один раз. Поэтому среди полученных решений нужно одно «убрать». Главный критерий отсева — время полета не может быть отрицательным:
(3.87)
Скорость в момент падения:
(3.88)
3.2.11. Как движется тело брошенное вверх с поверхности земли?
Тело брошено вверх с поверхности земли со скоростью
Уравнение координаты y в произвольный момент времени:
(3.89)
Уравнение проекции скорости в произвольный момент времени:
(3.90)
Время подъема до наивысшей точки полета определяется из условия 
(3.91)
Для нахождения максимальной высоты H необходимо в (3.89) необходимо подставить
(3.92)
Время всего полета определяется из условия Получаем уравнение:
(3.93)
Скорость в момент падения:
(3.94)
Заметьте, что 
что означает — время подъема равно времени падения на ту же высоту.
Также получили: 
то есть — с какой скоростью бросили, с такой же скоростью тело упало. Знак «−» в формуле (3.94) указывает, что скорость в момент падения направлена вниз, то есть против оси Oy.
3.2.12. Тело побывало на одной высоте дважды…
При бросании тела оно может дважды оказаться на одной высоте — первый раз при движении вверх, второй — при падении вниз.
1) Когда тело оказывается на высоте h?
Для тела, брошенного вверх с поверхности земли справедлив закон движения (3.89):
Когда тело окажется на высоте h его координата будет равна 
Получаем уравнение:
(3.95)
решение которого имеет вид:
(3.96)
(3.97)
2) Известны времена и когда тело оказалось на высоте h. Когда тело окажется на максимальной высоте?
Время полета с высоты h назад до высоты h равно 
Как уже было показано, время подъема равно времени падения до той же высоты, поэтому время полета от высоты h до максимальной высоты равно:
(3.98)
Тогда время полета от начала движения до максимальной высоты:
(3.99)
3) Известны времена и когда тело оказалось на высоте h. Чему равно время полета тела?
Все время полета равно:
(3.100)
4) Известны времена
и когда тело оказалось на высоте h. Чему равна максимальная высота подъема?
(3.101)
3.2.13. Как движется тело, брошенное горизонтально с высоты h?
Тело, брошено горизонтально с высоты h со скоростью
Проекции начальной скорости на оси:
(3.102)
Проекции ускорения:
(3.103)
Проекции скорости в произвольный момент времени t:
(3.104)
Модуль скорости в произвольный момент времени t:
(3.105)
Координаты тела в произвольный момент времени t:
(3.106)
Время полета определяется из условия 
(3.107)
Для определения дальности полета необходимо в уравнение для координаты x вместо t подставить 
(3.108)
Для определения скорости тела в момент падения необходимо в уравнение (3.98) вместо t подставить
(3.109)
Угол, под которым падает тело на землю:
(3.110)
3.2.14. Как движется тело, брошенное под углом α к горизонту с высоты h?
Тело, брошено под углом α к горизонту с высоты h со скоростью
Проекции начальной скорости на оси:
(3.111)
Проекции ускорения:
(3.112)
Проекции скорости в произвольный момент времени t:
(3.113)
Модуль скорости в произвольный момент времени t:
(3.114)
Координаты тела в произвольный момент времени t:
(3.115)
Время полета до наивысшей точки определяется из условия
(3.116)
Скорость в наивысшей точке полета 
(3.117)
Максимальная высота H определяется при подстановке в закон изменения координаты y времени
(3.118)
Все время полета находится из условия 
получаем уравнение:
(3.119)
Это квадратное уравнение, которое имеет два решения, но в данной задаче тело может оказаться в координате только один раз. Поэтому среди полученных решений нужно одно «убрать». Главный критерий отсева — время полета не может быть отрицательным:
(3.120)
Если подставим в закон изменения координаты x время то получим дальность полета L:
(3.121)
Скорость в момент падения 
(3.122)
Угол, который образует вектор скорости с горизонталью в произвольный момент времени:
(3.123)
Угол падения:
(3.124)
3.2.15. Как движется тело, брошенное под углом α к горизонту земли?
Тело, брошено под углом α к горизонту с поверхности земли со скоростью
Проекции начальной скорости на оси:
(3.125)
Проекции ускорения:
(3.126)
Проекции скорости в произвольный момент времени t:
(3.127)
Модуль скорости в произвольный момент времени t:
(3.128)
Координаты тела в произвольный момент времени t:
(3.129)
Время полета до наивысшей точки определяется из условия
(3.130)
Скорость в наивысшей точке полета
(3.131)
Максимальная высота H определяется при подстановке в закон изменения координаты y времени
(3.132)
Все время полета находится из условия получаем уравнение:
(3.133)
Получаем
(3.134)
Снова получили, что то есть еще раз показали, что время подъема равно времени падения.
Если подставим в закон изменения координаты x время
то получим дальность полета L:
(3.135)
Скорость в момент падения
(3.136)
Угол, который образует вектор скорости с горизонталью в произвольный момент времени:
(3.137)
Угол падения:
(3.138)
то есть 
3.2.16. Что такое настильная и навесная траектории?
Решим следующую задачу: под каким углом нужно бросить тело с поверхности земли, чтобы тело упало на расстоянии L от точки броска?
Дальность полета определяется формулой (3.135):
(3.139)
Отсюда
(3.140)
Из физических соображений ясно, что угол α не может быть больше 90°, поэтому, из серии решений уравнения (3.140) подходят два корня:
(3.141)
(3.142)
Траектория движения, для которой 
называется настильной траекторией. Траектория движения, для которой 
называется навесной траекторией.
3.2.17. Как пользоваться треугольником скоростей?
Как было сказано в 3.6.1 треугольник скоростей в каждой задаче будет иметь свой вид. Рассмотрим на конкретном примере.
Тело бросили с вершины башни со скорость так, что дальность полета максимальна. К моменту падения на землю скорость тела равна 
Сколько длился полет?
Построим треугольник скоростей (см. рис. 18). Проведем в ней высоту, которая, очевидно, равна 
Тогда площадь треугольника скоростей равна:
(3.143)
Здесь мы воспользовались формулой (3.121).
Найдем площадь этого же треугольника по другой формуле:
(3.144)
Так как это площади одного и того же треугольника, то приравняем формулы (3.143) и (3.144):
Откуда получаем
(3.145)
Как видно из формул для конечной скорости, полученных в предыдущих пунктах, конечная скорость не зависит от угла, под которым бросили тело, а зависит только значения начальной скорости и начальной высоты. Поэтому дальность полета по формуле (3.145) зависит только от угла между начальной и конечной скоростью β. Тогда дальность полета L будет максимальной, если 
примет максимально возможное значение, то есть
Таким образом, если дальность полета максимальна, то треугольник скоростей будет прямоугольным, следовательно, выполняется теорема Пифагора:
(3.146)
Откуда получаем
(3.147)
Свойством треугольника скоростей, который только что был доказан, можно пользоваться при решении других задач: треугольник скоростей является прямоугольным в задаче на максимальную дальность полета.
3.2.18. Как пользоваться треугольником перемещений?
Как было сказано в 3.6.2 треугольник перемещений в каждой задаче будет иметь свой вид. Рассмотрим на конкретном примере.
Тело бросают под углом β к поверхности горы, имеющей угол наклона α. С какой скоростью нужно бросить тело, чтобы оно упало ровно на расстоянии L от точки бросания?
Построим треугольник перемещений — это треугольник ABC (см. рис. 19). Проведем в нем высоту BD. Очевидно, что угол DBC равен α.
Выразим сторону BD из треугольника BCD:
(3.148)
Выразим сторону BD из треугольника ABD:
(3.149)
Приравняем (3.148) и (3.149):
(3.150)
Откуда находим время полета:
(3.151)
Выразим AD из треугольника ABD:
(3.152)
Выразим сторону DC из треугольника BCD:
(3.153)
Но 
Получаем
(3.154)
Подставим в это уравнение, полученное выражение для времени полета (3.151):
(3.155)
Окончательно получаем
(3.156)
3.2.19. Как решать задачи с помощью закона движения? (по горизонтали)
Как правило, в школе при решении задач на равнопеременное движение применяются формулы (3.7), (3.8), (3.10)—(3.14). Однако такой подход к решению трудно применить к решению многих задач. Рассмотрим конкретный пример.
Опоздавший пассажир подошел к последнему вагону поезда в тот момент, когда поезд тронулся, начав движение с постоянным ускорением 
Единственная открытая дверь в одном из вагонов оказалась от пассажира на расстоянии 
Какую наименьшую постоянную скорость он должен развить, чтобы успеть сесть в поезд?
Введем ось Ox, направленную вдоль движения человека и поезда. За нулевое положение примем начальное положение человека («2»). Тогда начальная координата открытой двери («1») L:
(3.157)
Дверь («1»), как и весь поезд, имеют начальную скорость равную нулю. Человек («2») начинает движение со скоростью 
(3.158)
Дверь («1»), как и весь поезд, движется с ускорением a. Человек («2») движется с постоянной скоростью:
(3.159)
Закон движения и двери и человека имеет вид (3.26):
Подставим условия (3.157), (3.158) и (3.159) в (3.26) для каждого из движущихся тел:
(3.160)
(3.161)
Мы составили уравнение движения для каждого из тел. Теперь воспользуемся уже известным алгоритмом для нахождения места и времени встречи двух тел — нам нужно приравнять (3.160) и (3.161):
(3.162)
Откуда получаем квадратное уравнение для определения времени встречи:
(3.163)
Это квадратное уравнение. Оба его решения имеют физический смысл — наименьший корень, это первая встреча человека и двери (человек с места может побежать быстро, а поезд не сразу наберет большую скорость, так что человек может обогнать дверь), второй корень — вторая встреча (когда уже поезд разогнался и догнал человека). Но наличие обоих корней означает — человек может бежать и медленнее. Скорость будет минимальна, когда уравнение (3.163) будет иметь один единственный корень, то есть
(3.164)
Откуда находим минимальную скорость:
(3.165)
В таких задачах важно разобрать в условиях задачи: чему равны начальная координата, начальная скорость и ускорение. После этого составляем уравнение движения и думаем как дальше решать задачу.
3.2.20. Как решать задачи с помощью закона движения? (по вертикали)
Рассмотрим пример.
Свободно падающее тело прошло последние 10 м за 0,5 с. Найти время падения и высоту, с которой упало тело. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Для свободного падения тела справедлив закон движения (3.30):
В нашем случае:
(3.166)начальная координата: 
(3.167)начальная скорость: 
Подставим условия в закон движения:
(3.168)
Подставляя в уравнение движения (3.168) нужные значения времени, будем получать координаты тела в эти моменты.
В момент падения координата тела
(3.169)
За 
с до момента падения, то есть при 
координата тела 
(3.170)
Уравнения (3.169) и (3.170) составляют систему уравнений, в которой неизвестны H и t_0. Решая эту систему получим:
(3.171)
(3.172)
Итак, зная вид закона движения (3.30), и используя условия задачи для нахождения 
и 
получаем закон движения для данной конкретной задачи. После чего, подставляя нужные значения времени, получаем соответствующие значения координаты. И решаем задачу!