Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 22 № 2401

Чтобы оценить, с какой скоростью упадет на землю мяч с балкона 6-го этажа, используем для вычислений на калькуляторе формулу \upsilon = корень из { 2gh}. По оценке «на глазок» балкон находится на высоте (15\pm 1)м над землей. Калькулятор показывает на экране число 17,320508. Чему равна, с учетом погрешности оценки высоты балкона, скорость мяча при падении на землю? (Ответ дайте в м/с, значение и погрешность запишите слитно без пробела.)

Решение.

Поскольку высота балкона известна неточно, значение скорости мяча при падении на землю, вычисленное по формуле v= корень из { 2gh}, также будет иметь погрешность. Согласно правилам вычисления погрешностей, в конечном выражении для погрешности необходимо оставлять одну значащую цифру

 

\Delta v=v дробь, числитель — \Delta h, знаменатель — 2h =17{,}320508м/с умножить на дробь, числитель — 1м, знаменатель — 2 умножить на 15м =0{,}6м/с,

 

а вычисляемая величина должна даваться с такой же точностью, как погрешность. Таким образом, запись для скорости мяча с учётом погрешности оценки высоты балкона:

 

v=(17{,}3 \pm 0{,}6)м/с.

 

Ответ: 17,30,6.

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Погрешности прямых и косвенных измерений
Спрятать решение · · Курс 80 баллов ·
Гость 11.05.2012 16:05

А можно написать это правило погрешности и почему мы дэльта h делим на 2 h ?

Алексей (Санкт-Петербург)

Добрый день!

Я бы не хотел здесь вдаваться в детали, поскольку это достаточно запутанная история, целая наука. Все, что нужно, уже упомянуто в тексте решения. Если Вам интересно, устройте поиск по запросу "правила вычисления погрешностей".

По поводу двойки пояснить могу. Скорость в данном эксперименте не измеряется непосредственно, это так называемое косвенное измерение. В общем случае, оно заключается в следующем: пусть мы знаем зависимость некоторой величины y от других величин x_1,x_2...x_n(например, y=F(x_1,x_2...x_n)), и пусть последние мы можем определить на эксперименте (конечно, с некоторой погрешностью), тогда по известной зависимости можно определить нашу величину. При этом возникает вопрос о погрешности косвенного измерения, как она связана с погрешностями \Delta x_1,\Deltax_2...\Deltax_n величин x_1,x_2...x_n. Решение дает следующая формула:

\Delta y= корень из { левая круглая скобка \Delta x_1 дробь, числитель — dF, знаменатель — dx_1 правая круглая скобка в степени 2 плюс левая круглая скобка \Delta x_2 дробь, числитель — dF, знаменатель — dx_2 правая круглая скобка в степени 2 плюс ... плюс левая круглая скобка \Delta x_n дробь, числитель — dF, знаменатель — dx_n правая круглая скобка в степени 2 }.

Если Вы внимательно приглядитесь к тому, что написано в решении, то угадаете эту формулу. В данной конкретной задаче считается, что скорость зависит только от одной величины, высоты h и двойка в знаменателе происходит от дифференцирования корня в функции v= корень из { 2gh} по h.

Ренат Резванов (Москва) 30.10.2012 13:14

Ну уж эта задача здесь лишняя

Никто погрешности в обычной школе не изучает

Варианты ответа приведены лишь для "правильного" угадывания.

Алексей (Санкт-Петербург)

Добрый день!

Я тоже так считаю, но, согласно официальному кодификатору, ученик должен уметь "представлять результаты измерений с учетом их погрешностей" (раздел 2, пункт 2.5.3)

Гость 29.01.2013 16:51

Пишу уже который раз, но мой вопрос так и не опубликовали: можно ли вычислять погрешность при помощи производной? А то у меня не совсем точно, но получается: dv=(2gh)'dh=> dv=(dh*g)/(2gh)=0,5658....=0,6.

Алексей (Санкт-Петербург)

Добрый день!

Да, можно. В первом комментарии к данной задаче даже рассмотрен более общий случай формулы с производными.

Только мне кажется, что Вы не очень правильно посчитали производную, у Вас конечная формула какой-то странной размерности:

dv=( корень из { 2gh})' dh= корень из { 2g} умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 корень из { h }dh= корень из { дробь, числитель — g, знаменатель — 2h }dh

Гость 21.02.2013 21:18

Уважаемый Алексей! Формла, указанная Вами в 1-о комментарии, приводится, в частности, в Справочнике по физике, Яворский, Детлаф (Москва, "Наука", 1985, стр.493). Однако, математический справочник (Справочник по математике, Бронштейн, Семендяев, Москва, "Наука", 1986, стр.132) полагает другую формулу для приближенного значения предельной абсолютной погрешности при косвенном измерении Df (без кв. корня и квадратов):

Df= Summ(Dxi*mod(df/dxi)) от i=1 до n.

Примите, пожалуйста, к сведению.