Тип Д29 C2 № 27141 
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Механика (расчетная задача). Динамика
i
На гладкой горизонтальной плоскости лежит закрепленный обруч радиусом R = 100 см, в центре которого покоится грузик массой m = 2 кг, к которому прикреплены четыре невесомые пружины (№ 1–4), другие концы которых прикреплены к обручу через равные угловые промежутки по 90° (см. рис.). Две пружины напротив друг друга натянуты с одинаковыми силами T = 2 Н, а две остальные не натянуты и имеют одинаковые коэффициенты упругости k = 2 Н/м. Грузик смещают вдоль оси Х, направленной перпендикулярно натянутым пружинам, на малое расстояние x0 = 2 см от положения равновесия, и отпускают без начальной скорости в момент времени t = 0. Запишите закон движения грузика вдоль оси Х. Какие законы Вы использовали для описания движения грузика? Обоснуйте их применимость к данному случаю.
Решение. Обоснование
1. Рассмотрим задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. Будем считать эту систему отсчета инерциальной (ИСО).
2. Тело описываем моделью материальной точки, так как его размеры малы по сравнению с обручем.
3. Поскольку тело описывается моделью материальной точки, в ИСО применим второй закон Ньютона. Равнодействующая сила направлена к центру, следовательно, тело движется с центростремительным ускорением. Для материальной точки применимы законы равномерного движения по окружности.
4. При малых деформациях их можно считать упругими, поэтому для пружин верен закон Гука.
5. Тело находится на гладкой поверхности. Поэтому на него не действует сила трения.
6. Поскольку начальное смещение грузика мало по сравнению с радиусом обруча, и трение отсутствует, то можно использовать закон Гука и рассчитывать на то, что колебания грузика будут гармоническими. В связи с этим целесообразно пытаться свести уравнения движения грузика к уравнению гармонических колебаний. Для этого может оказаться необходимым использовать приближенные соотношения геометрического характера, справедливые при малых смещениях грузика (или углах отклонения пружин).
Перейдем к решению.
1. Запишем уравнение движения грузика в проекции на ось Х. Для этого определим вначале проекции на эту ось всех сил, действующих на него после смещения грузика на расстояние x0.
2. Изобразим эти силы после начального смещения грузика на расстояние x0 вдоль оси Х (см. рис.).
3. Проекции сил 
и 
возникают по закону Гука из-за сжатия пружины № 2 и растяжения пружины № 4.
4. Натянутые с силами T пружины № 1 и № 3 поворачиваются на малый угол 
радиана, практически не меняя своей длины и силы натяжения, так что 
5. Таким образом, второй закон Ньютона для грузика в проекции на ось Х в момент t = 0 имеет вид:
и аналогичный вид уравнения будет и при
а это — уравнение гармонических колебаний
с угловой частотой:
6. При t = 0 отклонение грузика максимально: x = x0 — это амплитуда возникающих гармонических колебаний, а затем отклонение x под действием возвращающих сил убывает, и колебания происходят по косинусоидальному закону (в сист. СИ): 
Ответ: 
где 
Спрятать критерииКритерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Критерий 1 |
Верно обоснована возможность использования законов (закономерностей). | 1 |
В обосновании возможности использования законов (закономерностей) допущена ошибка. ИЛИ Обоснование отсутствует. | 0 |
| Критерий 2 |
| Приведено полное решение, включающее следующие элементы: I) записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: выражение для скорости груза при свободном падении с определенной высоты, закон сохранения импульса при абсолютно неупругом ударе груза о чашку, условие равновесия чашки до удара, а также закон сохранения механической энергии системы после удара); II) описаны все вновь вводимые в решении буквенные обозначения физических величин (за исключением обозначений констант, указанных в варианте КИМ, обозначений величин, используемых в условии задачи, и стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов); III) проведены необходимые математические преобразования и расчеты, приводящие к правильному числовому ответу (допускается решение «по частям» с промежуточными вычислениями); IV) представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины. | 3 |
| Правильно записаны все необходимые положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования. Но имеются один или несколько из следующих недостатков. Записи, соответствующие пункту II, представлены не в полном объеме или отсутствуют. И (ИЛИ) В решении имеются лишние записи, не входящие в решение (возможно, неверные), которые не отделены от решения (не зачеркнуты; не заключены в скобки, рамку и т. п.). И (ИЛИ) В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги. И (ИЛИ) Отсутствует пункт IV, или в нем допущена ошибка (в том числе в записи единиц измерения величины). | 2 |
| Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев. Представлены только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи. ИЛИ В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решения данной задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи. ИЛИ В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи. | 1 |
| Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3 балла. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: где
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: 
