Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 30 № 2974

В цилиндр объемом 0{,}5м в степени 3 насосом закачивается воздух со скоростью 0{,}002кг/с. В верхнем торце цилиндра есть отверстие, закрытое предохранительным клапаном. Клапан удерживается в закрытом состоянии стержнем, который может свободно поворачиваться вокруг оси в точке А (см. рисунок).

К свободному концу стержня подвешен груз массой 2 кг. Клапан открывается через 580 с работы насоса, если в начальный момент времени давление воздуха в цилиндре было равно атмосферному. Площадь закрытого клапаном отверстия 5 умножить на 10 в степени минус 4 м в степени 2 , расстояние АВ равно 0,1 м. Температура воздуха в цилиндре и снаружи не меняется и равна 300 К. Определите длину стержня, если его можно считать невесомым.

Спрятать решение

Решение.

Клапан откроется, когда избыточная сила F давления воздуха на клапан изнутри цилиндра сравняется с силой давления стержня на этот клапан. Если превышение давления воздуха в цилиндре над атмосферным \Delta p, а площадь клапана s, то

F=s умножить на \Delta p.

Сила действия стержня на клапан равна mg умножить на дробь, числитель — L, знаменатель — l , где m, L и l соответственно масса груза, длина стержня и длина его участка АВ. Итак, должно выполняться условие

s умножить на \Delta p больше или равно mg умножить на дробь, числитель — L, знаменатель — l .

Дополнительное давление воздуха определяется увеличением массы \Delta {m}_{в} воздуха в цилиндре. Согласно уравнению Клапейрона — Менделеева,

\Delta p= дробь, числитель — \Delta {m}_{в}, знаменатель — MV RT,

где M — молярная масса воздуха. Поэтому условие открытия клапана имеет вид:

 дробь, числитель — s\Delta {m}_{в}, знаменатель — MV RT больше или равно mg умножить на дробь, числитель — L, знаменатель — l или L меньше или равно дробь, числитель — lsRT\Delta {m}_{в}, знаменатель — mgMV .

Если насос закачивает каждую секунду \omega кг воздуха, то массу \Delta {m}_{в} он закачает в цилиндр за время t. Следовательно, клапан откроется в момент, когда выполнится равенство

L= дробь, числитель — lsRT \omega t, знаменатель — mgMV = дробь, числитель — 0{,}1 умножить на 5 умножить на 10 в степени минус 4 умножить на 8{,}31 умножить на 300 умножить на 0{,}002 умножить на 580, знаменатель — 2 умножить на 10 умножить на 0{, 029 умножить на 0{,}5}\approx 0{,}5м.

 

Ответ: L\approx 0{,}5м.

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: 1.3.2 Условия равновесия твердого тела в ИСО, 2.1.10 Уравнение Менделеева - Клапейрона
Спрятать решение · · Курс 80 баллов ·
Сергей Большаков 28.05.2012 16:43

Объясните пожалуйста, почему при нахождении силы давления стержня добавляется множитель L/l ? Откуда он берётся?

Алексей (Санкт-Петербург)

Добрый день!

Этот множитель возникает из правила моментов. Полный момент всех сил на стержень должен быть равен нулю относительно любой точки. Рассмотрим моменты всех сил относительно точки A: сила тяжести, действующая на груз, вращает его по часовой стрелке, ее момент равен mgL; сила со стороны клапана вращает стержень против часовой, ее момент равен Fl, сила реакции в шарнире не имеет момента относительно точки A. В итоге mgL=Fl, либо F=mg дробь, числитель — L, знаменатель — l .

Виталий Дробот (Курган) 10.12.2012 00:46

В конечной формуле и вообще встречается М (молярная масса как мне известно). Но я же должен взять её из таблицы так? В условии задачи она разве не должна прописываться?

Алексей (Санкт-Петербург)

Добрый день!

К каждому варианту прилагается лист со значениями табличных данных и всяких констант, у нас он содержится в разделе Справочник. Если что-то не находите в условии, ищите там.

Артур Латыпов 20.03.2016 14:01

Почему не учитывается изначальное атмосферное давление в цилиндре?

Антон

Потому что снаружи тоже атмосферное давление.