Тип 26 № 29764 
Механика (расчетная задача высокого уровня с обоснованием). Законы сохранения
i
На горизонтальной поверхности неподвижно закреплена абсолютно гладкая полусфера. С ее верхней точки из состояния покоя соскальзывает маленькое тело. В некоторой точке тело отрывается от сферы и летит свободно. Найдите радиус сферы, если в момент отрыва тело имело скорость 4 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь. Обоснуйте применимость используемых законов к решению задачи.
Решение. Обоснование.
Систему отсчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной. Поскольку размеры тела, соскальзывающего с полусферы, малы, то его можно считать материальной точкой. При движении тела от вершины полусферы выполняется закон сохранения механической энергии, так как полусфера гладкая, и работа силы реакции опоры равна нулю (эта сила перпендикулярна скорости тела). В момент отрыва обращается в ноль сила реакции опоры 
Второй закон Ньютона выполняется в ИСО для модели материальной точки.
Перейдем к решению.
1. Рассмотрим два состояния системы — в верхней точке полусферы и в точке отрыва от поверхности. В верхней точке шарик обладает потенциальной энергией 
причем 
В точке отрыва от поверхности шарик обладает кинетической энергией 
и потенциальной энергией 
При отсутствии силы трения шарик не вращается, поэтому кинетической энергией вращения можно пренебречь. По закону сохранения энергии:
2. Шарик отрывается от поверхности полусферы в том случае, когда сила реакции опоры становится равной нулю. На шарик действует сила тяжести, при движении по окружности ускорение направлено к центру окружности. Тогда по второму закону Ньютона в проекции на ось, совпадающую с вектором ускорения, получаем: 
Из рисунка видно, что 
3. При движении по окружности центростремительное ускорение равно 
4. Объединив уравнения, выразим радиус полусферы:
Ответ: 2,4 м.
Спрятать критерииКритерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Критерий 1 |
Верно обоснована возможность использования законов (закономерностей) | 1 |
В обосновании возможности использования законов (закономерностей) допущена ошибка. ИЛИ Обоснование отсутствует | 0 |
| Критерий 2 |
| Приведено полное решение, включающее следующие элементы: I) записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: второй и третий законы Ньютона, выражение для силы трения скольжения, условие равновесия твёрдого тела); II) описаны все вновь вводимые в решении буквенные обозначения физических величин (за исключением обозначений констант, указанных в варианте КИМ, обозначений величин, используемых в условии задачи, и стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов); III) проведены необходимые математические преобразования и расчёты, приводящие к правильному числовому ответу (допускается решение «по частям» с промежуточными вычислениями); IV) представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины | 3 |
| Правильно записаны все необходимые положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования. Но имеются один или несколько из следующих недостатков. Записи, соответствующие пункту II, представлены не в полном объёме или отсутствуют. И (ИЛИ) В решении имеются лишние записи, не входящие в решение (возможно, неверные), которые не отделены от решения (не зачёркнуты; не заключены в скобки, рамку и т.п.). И (ИЛИ) В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги. И (ИЛИ) Отсутствует пункт IV, или в нём допущена ошибка (в том числе в записи единиц измерения величины) | 2 |
| Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев. Представлены только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи. ИЛИ В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решения данной задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи. ИЛИ В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи | 1 |
| Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3 балла | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: 2,4 м.
