Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 31 № 2992

В электрической схеме, показанной на рисунке, ключ К замкнут.

Заряд конденсатора q = 2мкКл, ЭДС батарейки \varepsilon=24В, её внутреннее сопротивление r=5Ом, сопротивление резистора R= 25Ом. Найдите количество теплоты, которое выделяется на резисторе после размыкания ключа К в результате разряда конденсатора. Потерями на излучение пренебречь.

Решение.

Количество теплоты, выделяющееся на резисторе после размыкания ключа:

 

Q={W}_{C}= дробь, числитель — CU в степени 2 , знаменатель — 2 = дробь, числитель — qU, знаменатель — 2 .

 

Напряжение на конденсаторе равно падению напряжения на резисторе. С учетом закона Ома для полной цепи:

 

U=IR= дробь, числитель — \varepsilon R, знаменатель — r плюс R .

Комбинируя эти формулы, находим:

Q= дробь, числитель — q\varepsilon R, знаменатель — 2(r плюс R) =20мкДж.

 

Ответ: Q=20мкДж.

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: 3.1.9 Конденсатор. Электроёмкость конденсатора, 3.2.6 Закон Ома для полной (замкнутой) электрической цепи, 3.2.8 Работа электрического тока. Закон Джоуля–Ленца
Спрятать решение · · Курс 80 баллов ·
Константин Ахмадулин (Заринск) 19.05.2012 18:17

полностью одобряю ваш метод, но нельзя ли решить более "простым" способом? Не сочтите меня за глупца.

Q=y^2*R*t

Y=E/R+r Y=0.8

Y=q/t t= 2.5*10^-6

Q=0.64*25*2.5*10^-6=4*10^-5

Не смейтесь =)

Алексей (Санкт-Петербург)

Добрый день!

Смеяться не буду :) Все в порядке.

А теперь о Вашем решении. Что тут могу сказать. Так решать, конечно, нельзя, и получившийся у Вас ответ, отличный от приведенного в решении,  —   одно из тому подтверждений. Не буду комментировать все, скажу только, что формулу Q=I в степени 2 Rt здесь использовать "в лоб" нельзя, так как через конденсатор будет течь не постоянный ток, а уменьшающийся по величине: чем больше заряд на конденсаторе, тем быстрее он стремится разрядиться. Так что закон сохранения энергии  —   наиболее простой и верный способ решения.

Ежели Вы настаиваете на на применении своей формулы, то тут потребуется большие знания из математического анализа: производные, интегралы, дифференциальные уравнения. Если интересно, приведу такое решение (но особого смысла в нем разбираться  —   нет, так как такие знания за рамками того, что проверяется на ЕГЭ). Кроме того, все равно получится, что нужно просто посчитать начальную энергию конденсатора.

 

Сложное решение этой задачи :)

Определим зависимость тока, текущего через резистор от времени. Так как конденсатор подключен к резистору параллельно, напряжения на них совпадают в любой момент времени: U_R(t) плюс U_C(е)=0. По закону Ома, напряжение на резисторе пропорционально величине текущего через него тока: U_R(t)=I(t)R. Напряжение на конденсаторе связано с зарядом на нем соотношением: U_C(t)= дробь, числитель — q(t), знаменатель — C . Пусть за небольшой интервал времени \Delta t заряд на конденсаторе изменился на \Delta q (так как конденсатор разряжается \Delta q меньше 0). Тогда через резистор за это время протек заряд  минус \Delta q. Следовательно, сила тока равна I(t)= минус дробь, числитель — \Delta q, знаменатель — \Delta t . Скомбинировав все равенства и переходя к бесконечно малому интервалу времени, получаем дифференциальное уравнение на величину заряда конденсатора:  минус дробь, числитель — dq(t), знаменатель — dt R= дробь, числитель — q(t), знаменатель — C .

Решая это уравнение и используя, что в начальный момент времени заряд на конденсаторе равен q_0=2мкКл, имеем: q(t)=q_0e в степени минус t/RC . То есть, математически конденсатор разряжается бесконечно долго. Значит, ток через конденсатор равен

I= минус дробь, числитель — dq(t), знаменатель — dt = минус дробь, числитель — d(q_0e в степени минус t/RC ), знаменатель — dt = дробь, числитель — q_0, знаменатель — RC e в степени минус t/RC .

Определим теперь тепловую мощность, выделяющуюся на резисторе: P(t)=I в степени 2 (t)R= дробь, числитель — q_0 в степени 2 , знаменатель — C в степени 2 R e в степени минус 2t/RC . Мощность уменьшается со временем. Для того, чтобы найти полное тепло необходимо просуммировать по всему времени разрядки, то есть взять интеграл:

Q= принадлежит t в степени принадлежит fty _0P(t)dt= дробь, числитель — q_0 в степени 2 , знаменатель — C в степени 2 R принадлежит t в степени принадлежит fty _0e в степени минус 2t/RC =\left. дробь, числитель — q_0 в степени 2 , знаменатель — C в степени 2 R умножить на левая круглая скобка минус дробь, числитель — RC, знаменатель — 2 правая круглая скобка e в степени минус 2t/RC | в степени принадлежит fty _0= дробь, числитель — q_0 в степени 2 , знаменатель — 2C .

Вот и она — начальная энергия конденсатора :)