Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 6 № 3152

Груз, подвешенный к пружине с коэффициентом жесткости k, совершает колебания с периодом T и амплитудой x_{0}. Что произойдет с периодом колебаний, максимальной потенциальной энергией пружины и частотой колебаний, если пружину заменить на другую с большим коэффициентом жесткости, а амплитуду колебаний оставить прежней?

 

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

 

1) увеличилась

2) уменьшилась

3) не изменилась

4) может измениться любым из выше указанных способов

 

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

 

Период колебаний Максимальная потенциальная

энергия пружины

Частота колебаний
Спрятать решение

Решение.

Период колебаний связан с массой груза m и жёсткостью пружины соотношением T=2 Пи корень из { дробь, числитель — m, знаменатель — k }. При увеличении жёсткости пружины период колебаний уменьшится. Частота обратно пропорциональна периоду, значит, частота увеличится.

С максимальной потенциальной энергией пружины всё немного сложнее. Когда к вертикальной пружине подвешивают груз, она сразу немного растягивается, чтобы уравновесить силу тяжести, действующую на груз. Определим это начальное растяжение: mg=kX_0 равносильно X_0= дробь, числитель — mg, знаменатель — k . Именно это состояние является положением равновесия для вертикального пружинного маятника, колебания происходят вокруг него, груз поднимается и опускается из этого положения на величину амплитуды. При движении вниз из положения равновесия пружина продолжает растягиваться, а значит, потенциальная энергия пружины продолжает увеличиваться. При движении вверх из положения равновесия, сперва деформация пружины уменьшается, а если x_0 больше X_0, то пружина начнёт сжиматься. Максимальной потенциальной энергии пружины соответствует состояние, когда она максимально растянута, а значит, в нашем случае, это положение, когда груз опустился максимально вниз. Таким образом, максимальная потенциальная энергия пружины равна

E= дробь, числитель — k(\Delta x_{макс}) в степени 2 , знаменатель — 2 = дробь, числитель — k(X_0 плюс x_0) в степени 2 , знаменатель — 2 = дробь, числитель — k(mg/k плюс x_0) в степени 2 , знаменатель — 2 .

Рассмотрим функцию E(k)= дробь, числитель — (mg плюс kx_0) в степени 2 , знаменатель — 2k при k больше 0. Она имеет один минимум в точке k_0= дробь, числитель — mg, знаменатель — x_0 . Значит, если при замене пружин выполняется соотношение k_0 меньше или равно k_1 меньше k_2, то потенциальной энергией пружины возрастёт; если k_1 меньше k_2 меньше или равно k_0 — уменьшится; в случае k_1 меньше k_0 меньше k_2 потенциальная энергия пружины может увеличиться, уменьшиться и даже остаться той же самой.

 

Ответ: 241.

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: 1.5.2 Период и частота колебаний
Спрятать решение · · Курс 80 баллов ·
Оля Шевелёва 22.03.2017 16:18

Объясните, пожалуйста, что такое k1 и k2?

Антон

Коэффициенты жёсткости первой и второй пружин.

Алексей Главатских 02.12.2017 22:12

Здравствуйте! А x-нулевое малое, это координата груза в момент максимального отклонения? Если это так, то она , как и Х- нулевое большое, является функцией коэффициента жёсткости, тогда с экстремумами будет все сложнее. Вы х-нулевое малое делаете константой, это не верно.

Вы что-то перемудрили , ∆xmax-константа по условию(это амплитуда), тогда функция Е(к) имеет один минимум при к равном нулю. Правильный ответ 211.

Антон

X_0 — это растяжение пружины под действием груза, оно является функцией жёсткости.

x_0 — это амплитуда колебаний, по условию задачи она остаётся постоянной.

Потенциальная энергия пружина максимальна при максимальном растяжении, которое равно X_0 плюс x_0.

Алексей Главатских 04.12.2017 19:04

Здравствуйте! Давайте обсудим кинетическую энергию. Частота увеличивается, амплитуда остаётся прежней, тело должно быстрее передвигаться между амплитудным координатами, то есть скорость прохождения положения равновесия вырастет, значит вырастет и максимальная кинетическая энергия, которая равна потенциальной энергии пружины в нижнем положении минус начальная энергия в координате Хнуль. Но если кинетическая энергия растет, то как может убывать потенциальная? Спасибо.

Антон

Приравнивать полные механические энергии двух систем некорректно. Если бы даже пружина могла менять свой коэффициент упругости сама собой, то после изменения коэффициента изменилась бы амплитуда. И для того чтобы амплитуда осталась прежней, в систему необходимо было бы вмешаться, и её полная механическая энергия изменилась бы.

Алексей Главатских 06.12.2017 08:35

Вы рассматриваете функцию. Что такое функция, это равенство при котором каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.

Функцию Е(к) можно разбить на два слагаемых, Енуль (начальное значение) и ∆Е, Е(к)=Енуль+∆Е. Енуль=(k(Xнуль)^2)/2=(k(mg/k)^2)/2=((mg)^2)/2k. Теперь ∆Е=(k∆x^2)/2. Производная от суммы функций равна сумме производных функций. Производные ни от первого ни от второго слагаемого неэкстремальны, при условии что k>0. Спасибо.

Антон

Из того, что две функции не имеют экстремума, не следует, что и их сумма не имеет экстремума. Например, f(x)=x и g(x)= дробь, числитель — 1, знаменатель — x не имеют экстремумов на x больше 0, однако их сумма имеет минимум в x=1. Или например, сумма f(x)=e в степени x и g(x)=e в степени минус x имеет минимум в x=0.

Второе, если раскладывать E(k)=E_0(k) плюс \Delta E(k), где E_0(k)= дробь, числитель — kX_0 в степени 2 , знаменатель — 2 , то \Delta E(k) не равно дробь, числитель — k\Delta x в степени 2 , знаменатель — 2 .

Валерий Григорьев 25.12.2017 18:18

Исправьте, пожалуйста, ответ на 211 и объяснение ответа.

 

Вы в объяснении решения не учитываете, что старая пружина тоже изначально была растянута тем же грузом.

 

Если записать потенциальную энергию старой пружины, то она будет E_п = (k*m*g + k^2*X_0)^2/2.

Для новой пружины E'_п = (k'*m*g + k'^2*X_0)^2/2,

где X_0 - амплитуда качаний. Если вычесть из E'_п значение Е_п, то по формуле разности квадратов вполне определённо получается: если k < k' при любых значениях m и X_0 их разница будет положительна.

Антон

Потенциальная энергия старой пружины равна E_п= дробь, числитель — (mg плюс kx_0) в степени 2 , знаменатель — 2k , а не  дробь, числитель — (kmg плюс k в степени 2 x_0) в степени 2 , знаменатель — 2 .

Потенциальная энергия новой пружины равна E'_п= дробь, числитель — (mg плюс k'x_0) в степени 2 , знаменатель — 2k' .

Если вычесть из E'_п значение E_п, то разница может быть как положительной, так и отрицательной.