Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 29 № 3813

Система из грузов m и M и связывающей их лёгкой нерастяжимой нити в начальный момент покоится в вертикальной плоскости, проходящей через центр закреплённой сферы. Груз m находится в точке А на вершине сферы (см. рисунок). В ходе возникшего движения груз m отрывается от поверхности сферы, пройдя по ней дугу 30°. Найдите массу m, если М = 100 г. Размеры груза m ничтожно малы по сравнению с радиусом сферы. Трением пренебречь. Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на грузы.

Спрятать решение

Решение.

1. Будем считать систему отсчёта, связанную с Землёй, инерциальной.

2. На рисунке показан момент, когда груз m ещё скользит по сфере. Из числа сил, действующих на грузы, силы тяжести m\vec{g} и M\vec{g} потенциальны, а силы натяжения нити \vec{T}_1 и \vec{T}_2, а также сила реакции опоры \vec{N} непотенциальны. Поскольку нить лёгкая и трения нет, |\vec{T}_1| = |\vec{T}_2| = T. Сила \vec{T}_1 направлена по скорости \vec{\upsilon }_1 груза m, а сила \vec{T}_2 — противоположно скорости \vec{\upsilon }_2 груза M. Модули скоростей грузов в один и тот же момент времени одинаковы, поскольку нить нерастяжима. По этим причинам суммарная работа сил \vec{T}_1 и \vec{T}_2 при переходе в данное состояние из начального равна нулю. Работа силы \vec{N} также равна нулю, так как из-за отсутствия трения \vec{N}\perp\vec{\upsilon }_1.

3. Таким образом, сумма работ всех непотенциальных сил, действующих на грузы m и M, равна нулю. Поэтому в инерциальной системе отсчёта, связанной с Землёй, механическая энергия системы этих грузов сохраняется.

4. Найдём модуль скорости груза m в точке его отрыва от поверхности сферы. Для этого приравняем друг другу значения механической энергии системы грузов в начальном состоянии и в состоянии, когда груз m находится в точке отрыва (потенциальную энергию грузов в поле тяжести отсчитываем от уровня центра сферы, в начальном состоянии груз M находится ниже центра сферы на величину h_0):

mgR плюс Mg( минус h_0) = дробь, числитель — m\upsilon в степени 2 , знаменатель — 2 плюс mgR косинус \alpha плюс дробь, числитель — M\upsilon в степени 2 , знаменатель — 2 плюс Mg( минус h),

где R — радиус трубы, h минус h_0 = R дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 . Отсюда

\upsilon в степени 2 = дробь, числитель — 2gR(m(1 минус косинус \alpha) плюс M дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 ), знаменатель — { m плюс M}.

5. Груз m в точке отрыва ещё движется по окружности радиусом R, но уже не давит на сферу. Поэтому его центростремительное ускорение вызвано только силой тяжести, так как сила \vec{T}_1 направлена по касательной к сфере (см. рисунок):

m дробь, числитель — \upsilon в степени 2 , знаменатель — R = mg косинус \alpha.

Подставляя сюда значение \upsilon в степени 2 , получим:

 дробь, числитель — 2, знаменатель — m плюс M (m(1 минус косинус \alpha)} плюс M дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 ) = косинус \alpha.

Отсюда m = M дробь, числитель — дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 минус косинус \alpha, знаменатель — { 3 косинус \alpha минус 2} = 100г умножить на дробь, числитель — дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 минус дробь, числитель — корень из { 3, знаменатель — , знаменатель — 2 }{3 дробь, числитель — корень из { 3}, знаменатель — 2 минус 2}}}\approx 30г.

 

Ответ: 30 г.

Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ—2013 по физике.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: 1.1.8 Движение точки по окружности. Угловая и линейная скорость точки, 1.2.4 Второй закон Ньютона: для материальной точки в ИСО
Спрятать решение · · Курс 80 баллов ·
Гость 25.10.2012 20:14

Почему скорости грузов одинаковы,массы ведь разные..

Алексей (Санкт-Петербург)

Добрый день!

Это следствие кинематической связи. Грузики связаны нерастяжимой веревкой, а значит, расстояние, проходимое за небольшой интервал времени одним грузиком совпадает с расстоянием, проходимым другим. Это и ведет к равенству скоростей в любой момент времени.

Гость 28.10.2012 16:41

А почему h - ho = π/6?

Ведь h - ho = R - Rcosα, разве нет?

Алексей (Санкт-Петербург)

Добрый день!

Только не h минус h_0 = Пи /6, а h минус h_0 = Пи R/6. Это соотношение результат того, что в силу нерастяжимости нити, груз M опустится вниз ровно на такое же расстояние, какое проедет второй груз по сфере;  Пи R/6 — и есть это расстояние.

Людмила Владимировна Андреева (Санкт-Петербург) 16.11.2012 20:17

(2пиR x)/360

X это дуга в градусах

Градусная мера угла будет равна мере дуги. Если знаем дугу в градусах (например х) и радиус R, можем найти длину дуги, как долю длины окружности 2pi R * х/360

Поэтому (2пи R 30)/360=пиR/6

Евгений Кирик (Отрадное) 25.01.2013 23:27

Добрый день! Ваше решение, безусловно, правильное. Но есть более простой способ решения.нарисовать три проекции. для первой N-mgcosx=ma(центростремительное) Отсюда при отрыве N=0. Для второй проекции T-Mg=-Ma и для третьей T-mgsinx=ma. и в принципе все. дальше математика. не нужно задумываться над изменением высоты и энергии.

Алексей (Санкт-Петербург)

Добрый день!

В Ваших втором и третьем уравнениях должно быть не то же ускорение, что в первом. В первом действительно стоит центростремительное. А вот в двух других — касательное. Которое определяет разгон. Так что все равно придется смотреть на энергию, чтобы выразить центростремительное ускорение. По сути, два Ваших дополнительных динамических уравнения оказываются лишними. Они привлекают в систему просто две новых неизвестных. Силу натяжения нити и касательное ускорение.

Евгений Кирик (Отрадное) 31.01.2013 17:28

Добрый день!

Вы немного не поняли. во втором и третьем уравнении действительно ускорение не центростремительное а просто ускорение которое равно изменению скорости за время.(центростремительного на этих осях нету оно равно нулю для данной оси) то есть ускорение равно a= V^2 / S. Где S= ПR/6 . А V^2 =gRcosx (Это мы выражаем из центростремительного ускорения ось первая.) Таким образов все что имеем ( с учетом проекций ) подставляем друг в друга, так сказать совмещаем и получаем с учетом сокращений формулу m= M((6gcosx/ПИ) - g) / ((6gcosx/Пи)+gsinx) = 100*(16.56-10) / (16.56+10) = 656/21.5 =30 гр примерно)

Алексей (Санкт-Петербург)

Добрый день!

Не-не-не. Не обманывайте меня :)

Смотрите, что Вы делаете.

У вас есть два уравнения:

1)  минус T плюс Mg=Ma' для большого грузика

2) T плюс mg синус \alpha =ma' для маленького грузика в проекции на ось, касательную к сфере.

Здесь a' то самое ускорение, с которым сейчас двигается вниз большой груз (или что тоже самое, разгоняется по сфере маленький)

Сложим эти два уравнения:

(M плюс m синус \alpha)g=(m плюс M)a'

Отсюда, в частности, видно, что ускорение a' не является постоянным (зависит от угла, на который съехал маленький грузик), и каким-то очень сложным образом зависит от времени. А потому я вообще не понимаю, как вы его выразили через скорость в данный момент.

 

Более того, если переписать это уравнение в виде

m=M дробь, числитель — g минус a', знаменатель — a' минус g синус \alpha

и подставить Ваше a'= дробь, числитель — 6V в степени 2 , знаменатель — Пи R = дробь, числитель — 6g косинус \alpha, знаменатель — Пи

получается

m=M дробь, числитель — g минус 6g( косинус \alpha)/ Пи , знаменатель — 6g косинус (\alpha)/ Пи минус g синус \alpha =M дробь, числитель — 1 минус 6( косинус \alpha)/ Пи , знаменатель — 6( косинус \alpha)/ Пи минус синус \alpha \approx 50г

Что не очень похоже на 30 г, которые Вы обещали :)

Евгений Кирик (Отрадное) 04.02.2013 20:40

Добрый день!

Для начала давайте разберемся с начала)))

1)Ускорение по определению это изменение скорости деленное на время. а время в свою очередь это расстояние деленное на скорость. отсюда ускорение это v^2 / s.

Это ускорение действительно от времени зависит сложно. НО в момент отрыва уже не зависит от угла. а в момент отрыва v^2 = gRcosx. А s=пR/6. Отсюда и получаем выражение ускорения..)

2)Идем дальше. с проекциями

В момент отрыва который мы рассматриваем ускорение которое в знаменателе формулы отрицательное. т.е. m= M (g-a)/ (-a- gsinx) в вашем уравнении действительно все правильно кроме этого знака. и тогда в конечной формуле которая у вас написана будет в знаменателе -6(cosx)/П -sinx и в числителе кстати тоже при вычитание из 1 минус а минус дает плюс. отсюда m= 30 грамм)))

Алексей (Санкт-Петербург)

Добрый день!

Евгений, я очень надеюсь, что Вы сейчас меня разыгрываете, и реально так задачу решать не будете ))

По пунктам:

1) У Вас полная путаница со скоростями и ускорениями. Смотрите!

Если Вы поделите путь на время, Вы действительно получите скорость, но это будет средняя скорость. Она никоим образом не равна конечной скорости в произвольном случае. Как нам известно из кинематики, средняя скорость вообще плохо характеризует движение тела, именно по этой причине вводят понятие мгновенной скорости: как предел средней скорости на бесконечно малом интервале времени. Только если тело двигается равномерно, скорость (мгновенная) в любой момент времени совпадает со средней.

Аналогичная ситуация с ускорением. Если Вы поделите изменение скорости на время, вы получите ускорение, но это будет среднее ускорение. В случае равноускоренного движения среднее ускорение равно мгновенному, но у нас то не так, потому что ускорение во время движения меняется (с этим мы вроде разобрались).

Соответственное Ваши оба этапа получения формулы a=v в степени 2 /S неправильны.

2) Второй комментарий про знаки я не очень понял. Исходные уравнения записаны в проекции на такие оси, что ускорение проектируется "положительной величиной". А дальше, как Вы заметили, простая математика. Так что знаки вдогонку менять не нужно.

Андрей Фоминых 10.04.2016 21:26

Здравствуйте. Я решал эту задачу без закона сохранения энергии, а просто расписал силы в момент отрыва (N=0) , определил длину дуги окружности, затем ускорение и получил в итоге ответ 50 г. А у вас 30 г. Причем вы сами решили эту задачу без З.С.Э. выше и получили 50 г. Как будет она оценена на ЕГЭ?

Антон

Как решается задача без з. с. э., если T и a не постоянны?

50 г получается при подстановке неверного соотношения.

Галина Сергиевич 15.04.2016 18:55

Добрый день.

Объясните пожалуйста, почему h-h0=R*(pi/6), а не R*cos(pi/6).

Антон

При съезжании вниз по сфере груз m проделывает путь R\alpha, груз M опускается вниз на \Delta h=R\alpha, поскольку нить нерастяжима.