Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д29 C2 № 25261
i

С го­ри­зон­таль­ной плос­ко­сти вна­ча­ле бро­са­ют ма­лень­кий мячик под углом альфа =60 гра­ду­совк го­ри­зон­ту со ско­ро­стью υ = 20 м/с. В мо­мент, когда мячик до­сти­га­ет наи­выс­ше­го по­ло­же­ния на своей тра­ек­то­рии, стре­ля­ют пулей из ружья со ско­ро­стью V  =  120 м/с в на­прав­ле­нии мя­чи­ка, при­чем пуля вы­ле­та­ет из той же точки, из ко­то­рой был бро­шен мячик (см. рис.). Под каким углом \varphi к го­ри­зон­ту надо стре­лять, чтобы пуля из ружья по­па­ла в мячик? Тре­ни­ем мя­чи­ка и пули о воз­дух можно пре­не­бречь. Ука­за­ние: для чис­лен­но­го ре­ше­ния урав­не­ний ис­поль­зуй­те мик­ро­каль­ку­ля­тор.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

1.  Вве­дем пря­мо­уголь­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат ХОY, где ось ОХ го­ри­зон­таль­на, ось ОY вер­ти­каль­на, а на­ча­ло ко­ор­ди­нат на­хо­дит­ся в точке бро­са­ния и вы­стре­ла.

2.  Как сле­ду­ет из фор­мул ки­не­ма­ти­ки для дви­же­ния тела, бро­шен­но­го под углом к го­ри­зон­ту, мячик после брос­ка до­стиг­нет верх­ней точки тра­ек­то­рии с ко­ор­ди­на­той

y_в= дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка v умно­жить на синус альфа пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2g конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 20 в квад­ра­те умно­жить на 0,75, зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 10 конец дроби =15м

за время

t_1= дробь: чис­ли­тель: v умно­жить на синус альфа , зна­ме­на­тель: g конец дроби \approx дробь: чис­ли­тель: 20 умно­жить на 0,866, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби \approx 1,732с

и сме­стит­ся по го­ри­зон­та­ли со ско­ро­стью v умно­жить на ко­си­нус альфа до ко­ор­ди­на­ты x_н= v умно­жить на ко­си­нус альфа умно­жить на t_1\approx 20 умно­жить на 0,5 умно­жить на 1,732\approx 17,32м.

3.  В этот мо­мент про­изой­дет вы­стрел  — пуля вы­ле­тит со ско­ро­стью V под углом \varphi к го­ри­зон­ту, и оба тела нач­нут сво­бод­но па­дать вниз с уско­ре­ни­ем g.

4.  Из­ме­не­ния вер­ти­каль­ной ко­ор­ди­на­ты y за счет этого па­де­ния будут у обоих тел оди­на­ко­вы и равны минус дробь: чис­ли­тель: gt в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , если время t от­счи­ты­вать от мо­мен­та вы­стре­ла. По­это­му для про­сто­ты рас­че­та можно пе­рей­ти в си­сте­му от­сче­та, сво­бод­но па­да­ю­щую вниз с уско­ре­ни­ем g.

5.  В этой си­сте­ме мячик летит по го­ри­зон­таль­ной пря­мой с по­сто­ян­ной ско­ро­стью v умно­жить на ко­си­нус альфа =10м/с из на­чаль­ной точки с ко­ор­ди­на­та­ми x_н= v умно­жить на ко­си­нус альфа умно­жить на t_1\approx 17,32м, y=y_в=15м в ко­то­рой он на­хо­дил­ся при t  =  0, до встре­чи с пулей в мо­мент T. Пуля же летит по пря­мой с по­сто­ян­ной ско­ро­стью V  =  120 м/с из на­чаль­ной точки x0  =  y0  =  0 под углом \varphi к го­ри­зон­ту до по­па­да­ния в мячик.

6.  В мо­мент T ко­ор­ди­на­ты мя­чи­ка и пули долж­ны сов­па­дать: xм =  xп  =  xв, yм =  yп  =  yв, и по фор­му­лам для ки­не­ма­ти­ки рав­но­мер­но­го пря­мо­ли­ней­но­го дви­же­ния по­лу­ча­ем си­сте­му урав­не­ний: x_в минус x_н= v умно­жить на ко­си­нус альфа умно­жить на T, x_в=V умно­жить на ко­си­нус \varphi умно­жить на T, y_в=V умно­жить на синус \varphi умно­жить на T, решая ко­то­рую (проще   — при по­мо­щи мик­ро­каль­ку­ля­то­ра ме­то­дом под­бо­ра, сразу ис­поль­зуя чис­лен­ные зна­че­ния ве­ли­чин), можно найти \varphi\approx 38 гра­ду­сов.

 

При­ме­ча­ние.

Для ре­ше­ния можно также вос­поль­зо­вать­ся ме­то­дом под­бо­ра угла, при ко­то­ром будут вы­пол­нять­ся со­от­но­ше­ния, при­ве­ден­ные в дан­ной си­сте­ме ки­не­ма­ти­че­ских урав­не­ний. Для на­ча­ла за­ме­тим, что пути, прой­ден­ные пулей и мячом до их столк­но­ве­ния, от­ли­ча­ют­ся в дробь: чис­ли­тель: V, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка v ко­си­нус альфа пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 120, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби =12 раз. По­стро­им тра­ек­то­рии тел на ри­сун­ке (см.).

Если бы стре­лок не делал «упре­жде­ния», а це­лил­ся прямо в мячик под углом \varphi_0= арк­тан­генс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: y_в, зна­ме­на­тель: x_в конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \approx 40,9 гра­ду­сов, то пуля про­ле­те­ла бы рас­сто­я­ние l_0=Vt_0, где

t_0= дробь: чис­ли­тель: l_0, зна­ме­на­тель: V конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x_н в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те _в конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: V конец дроби \approx дробь: чис­ли­тель: 22,1, зна­ме­на­тель: 120 конец дроби \approx 0,1909с,

и про­шла сзади мя­чи­ка. Чтобы в него по­пасть, надо умень­шить угол \varphi_0 на малый угол \Delta\varphi_0, ко­то­рый, как видно из ри­сун­ка, равен \Delta\varphi= v умно­жить на ко­си­нус альфа умно­жить на T умно­жить на дробь: чис­ли­тель: синус \varphi, зна­ме­на­тель: l_0 конец дроби мень­ше мень­ше \varphi_0.

Весь путь пули равен l=l_0 плюс \Delta l, где рас­сто­я­ние \Delta l= v умно­жить на ко­си­нус альфа умно­жить на T умно­жить на ко­си­нус \varphi мень­ше мень­ше l_0 пуля про­хо­дит за время \tau мень­ше мень­ше t_0, и T=t_0 плюс \tau.

По­сколь­ку

дробь: чис­ли­тель: \Delta l, зна­ме­на­тель: l конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби ко­си­нус \varphi= дробь: чис­ли­тель: \Delta l, зна­ме­на­тель: l_0 плюс \Delta l конец дроби ,

то

\Delta l= дробь: чис­ли­тель: l_0, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: ко­си­нус \varphi минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби конец дроби мень­ше мень­ше l_0.

Те­перь можно за­нять­ся под­бо­ром зна­че­ния \varphi, ко­то­рое, оче­вид­но, может от­ли­чать­ся от \varphi_0\approx 40,9 гра­ду­сов толь­ко на малое число гра­ду­сов. Ра­зум­но вы­брать и про­ве­рить по­оче­ред­но зна­че­ния 40°, 39°, 38°  — при каком из них будут лучше сов­па­дать левые и пра­вые части урав­не­ний из за­пи­сан­ной выше си­сте­мы. Берем, на­при­мер,

\varphi\approx дробь: чис­ли­тель: 38 гра­ду­сов, зна­ме­на­тель: ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 38 гра­ду­сов пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби \approx 0,788,

\Delta l= дробь: чис­ли­тель: 22,91, зна­ме­на­тель: 14,23 конец дроби \approx 1,610м,

l=22,91 плюс 1,61\approx 24,52м,

T= дробь: чис­ли­тель: l, зна­ме­на­тель: V конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 24,52, зна­ме­на­тель: 120 конец дроби \approx 0,2043с,

x_в=x_н плюс v умно­жить на ко­си­нус альфа умно­жить на T=17,32 плюс 2,043\approx 19,363м,

тан­генс \varphi= дробь: чис­ли­тель: y_в, зна­ме­на­тель: x_в конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 19,363 конец дроби \approx 0,7747,

\varphi= арк­тан­генс левая круг­лая скоб­ка 0,7747 пра­вая круг­лая скоб­ка \approx 37,76 гра­ду­сов \approx 38 гра­ду­сов  — хо­ро­шее со­гла­сие!

Далее про­ве­ря­ем:

T= дробь: чис­ли­тель: y_в, зна­ме­на­тель: V умно­жить на синус \varphi конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 15, зна­ме­на­тель: 120 умно­жить на 0,6123 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби \approx 0,2041   — тоже хо­ро­шо,

x_в=V умно­жить на ко­си­нус \varphi умно­жить на T=120 умно­жить на 0,7906 умно­жить на 0,2043\approx 19,38м  — хо­ро­шо,

и на­ко­нец,

x_в минус x_н= v умно­жить на ко­си­нус альфа умно­жить на T=2,043м  — все хо­ро­шо со­гла­су­ет­ся!

Легко убе­дить­ся, что для \varphi=40 гра­ду­сов и 39° со­гла­сие го­раз­до хуже. Окон­ча­тель­ный ре­зуль­тат: \varphi=37,76 гра­ду­сов=38 гра­ду­сов.

 

Ответ: \varphi\approx 38 гра­ду­сов.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
При­ве­де­но пол­ное ре­ше­ние, вклю­ча­ю­щее сле­ду­ю­щие эле­мен­ты:

I) за­пи­са­ны по­ло­же­ния тео­рии и фи­зи­че­ские за­ко­ны, за­ко­но­мер­но­сти, при­ме­не­ние ко­то­рых не­об­хо­ди­мо для ре­ше­ния за­да­чи вы­бран­ным спо­со­бом: (в дан­ном слу­чае: фор­му­лы ки­не­ма­ти­ки для дви­же­ния тела, бро­шен­но­го под углом к го­ри­зон­ту, ра­зум­ный выбор си­сте­мы от­сче­та и усло­вия встре­чи двух дви­жу­щих­ся тел);

II) опи­са­ны все вновь вво­ди­мые в ре­ше­нии бук­вен­ные обо­зна­че­ния фи­зи­че­ских ве­ли­чин (за ис­клю­че­ни­ем обо­зна­че­ний кон­стант, ука­зан­ных в ва­ри­ан­те КИМ, обо­зна­че­ний, ис­поль­зу­е­мых в усло­вии за­да­чи, и стан­дарт­ных обо­зна­че­ний ве­ли­чин, ис­поль­зу­е­мых при на­пи­са­нии фи­зи­че­ских за­ко­нов);

III) про­ве­де­ны не­об­хо­ди­мые ма­те­ма­ти­че­ские пре­об­ра­зо­ва­ния и рас­че­ты, при­во­дя­щие к пра­виль­но­му чис­ло­во­му от­ве­ту (до­пус­ка­ет­ся ре­ше­ние «по ча­стям» с про­ме­жу­точ­ны­ми вы­чис­ле­ни­я­ми);

IV) пред­став­лен пра­виль­ный ответ с ука­за­ни­ем еди­ниц из­ме­ре­ния ис­ко­мой ве­ли­чи­ны

3
Пра­виль­но за­пи­са­ны все не­об­хо­ди­мые по­ло­же­ния тео­рии, фи­зи­че­ские за­ко­ны, за­ко­но­мер­но­сти, и про­ве­де­ны не­об­хо­ди­мые пре­об­ра­зо­ва­ния. Но име­ет­ся один или не­сколь­ко из сле­ду­ю­щих не­до­стат­ков.

За­пи­си, со­от­вет­ству­ю­щие пунк­там II и III, пред­став­ле­ны не в пол­ном объ­е­ме или от­сут­ству­ют.

И (

ИЛИ

)

В ре­ше­нии име­ют­ся лиш­ние за­пи­си, не вхо­дя­щие в ре­ше­ние, ко­то­рые не от­де­ле­ны от ре­ше­ния и не за­черк­ну­ты.

И (

ИЛИ

)

В не­об­хо­ди­мых ма­те­ма­ти­че­ских пре­об­ра­зо­ва­ни­ях или вы­чис­ле­ни­ях до­пу­ще­ны ошиб­ки, и (или) в ма­те­ма­ти­че­ских пре­об­ра­зо­ва­ни­ях/вы­чис­ле­ни­ях про­пу­ще­ны ло­ги­че­ски важ­ные шаги.

И (

ИЛИ

)

От­сут­ству­ет пункт IV, или в нем до­пу­ще­на ошиб­ка (в том числе в за­пи­си еди­ниц из­ме­ре­ния ве­ли­чи­ны).

2
Пред­став­ле­ны за­пи­си, со­от­вет­ству­ю­щие од­но­му из сле­ду­ю­щих слу­ча­ев.

Пред­став­ле­ны толь­ко по­ло­же­ния и фор­му­лы, вы­ра­жа­ю­щие фи­зи­че­ские за­ко­ны, при­ме­не­ние ко­то­рых не­об­хо­ди­мо для ре­ше­ния дан­ной за­да­чи, без каких-⁠либо пре­об­ра­зо­ва­ний с их ис­поль­зо­ва­ни­ем, на­прав­лен­ных на ре­ше­ние за­да­чи.

ИЛИ

В ре­ше­нии от­сут­ству­ет ОДНА из ис­ход­ных фор­мул, не­об­хо­ди­мая для ре­ше­ния дан­ной за­да­чи (или утвер­жде­ние, ле­жа­щее в ос­но­ве ре­ше­ния), но при­сут­ству­ют ло­ги­че­ски вер­ные пре­об­ра­зо­ва­ния с име­ю­щи­ми­ся фор­му­ла­ми, на­прав­лен­ные на ре­ше­ние за­да­чи.

ИЛИ

В ОДНОЙ из ис­ход­ных фор­мул, не­об­хо­ди­мых для ре­ше­ния дан­ной за­да­чи (или в утвер­жде­нии, ле­жа­щем в ос­но­ве ре­ше­ния), до­пу­ще­на ошиб­ка, но при­сут­ству­ют ло­ги­че­ски вер­ные пре­об­ра­зо­ва­ния с име­ю­щи­ми­ся фор­му­ла­ми, на­прав­лен­ные на ре­ше­ние за­да­чи.

1
Все слу­чаи ре­ше­ния, ко­то­рые не со­от­вет­ству­ют вы­ше­ука­зан­ным

кри­те­ри­ям вы­став­ле­ния оце­нок в 1, 2, 3 балла.

0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 25261: 25298 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: 1.1.7 Сво­бод­ное па­де­ние. Уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния. Дви­же­ние тела, бро­шен­но­го под углом к го­ри­зон­ту
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026