С горизонтальной плоскости вначале бросают маленький мячик под углом
к горизонту со скоростью υ = 20 м/с. В момент, когда мячик достигает наивысшего положения на своей траектории, стреляют пулей из ружья со скоростью V = 120 м/с в направлении мячика, причем пуля вылетает из той же точки, из которой был брошен мячик (см. рис.). Под каким углом 
к горизонту надо стрелять, чтобы пуля из ружья попала в мячик? Трением мячика и пули о воздух можно пренебречь. Указание: для численного решения уравнений используйте микрокалькулятор.
1. Введем прямоугольную систему координат ХОY, где ось ОХ горизонтальна, ось ОY вертикальна, а начало координат находится в точке бросания и выстрела.
2. Как следует из формул кинематики для движения тела, брошенного под углом к горизонту, мячик после броска достигнет верхней точки траектории с координатой
до координаты 
3. В этот момент произойдет выстрел — пуля вылетит со скоростью V под углом к горизонту, и оба тела начнут свободно падать вниз с ускорением g.
4. Изменения вертикальной координаты y за счет этого падения будут у обоих тел одинаковы и равны 
если время t отсчитывать от момента выстрела. Поэтому для простоты расчета можно перейти в систему отсчета, свободно падающую вниз с ускорением g.
5. В этой системе мячик летит по горизонтальной прямой с постоянной скоростью 
из начальной точки с координатами 
в которой он находился при t = 0, до встречи с пулей в момент T. Пуля же летит по прямой с постоянной скоростью V = 120 м/с из начальной точки x0 = y0 = 0 под углом к горизонту до попадания в мячик.
6. В момент T координаты мячика и пули должны совпадать: xм = xп = xв, yм = yп = yв, и по формулам для кинематики равномерного прямолинейного движения получаем систему уравнений: 
решая которую (проще — при помощи микрокалькулятора методом подбора, сразу используя численные значения величин), можно найти 
Примечание.
Для решения можно также воспользоваться методом подбора угла, при котором будут выполняться соотношения, приведенные в данной системе кинематических уравнений. Для начала заметим, что пути, пройденные пулей и мячом до их столкновения, отличаются в 
раз. Построим траектории тел на рисунке (см.).
Если бы стрелок не делал «упреждения», а целился прямо в мячик под углом 
то пуля пролетела бы расстояние 
где
на малый угол 
который, как видно из рисунка, равен 
Весь путь пули равен 
где расстояние 
пуля проходит за время 
и 
Поскольку
то
Теперь можно заняться подбором значения 
которое, очевидно, может отличаться от 
только на малое число градусов. Разумно выбрать и проверить поочередно значения 40°, 39°, 38° — при каком из них будут лучше совпадать левые и правые части уравнений из записанной выше системы. Берем, например,
— хорошее согласие!
Далее проверяем:
— тоже хорошо,
— хорошо,
и наконец,
— все хорошо согласуется!
Легко убедиться, что для 
и 39° согласие гораздо хуже. Окончательный результат: 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Приведено полное решение, включающее следующие элементы: I) записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом: (в данном случае: формулы кинематики для движения тела, брошенного под углом к горизонту, разумный выбор системы отсчета и условия встречи двух движущихся тел); II) описаны все вновь вводимые в решении буквенные обозначения физических величин (за исключением обозначений констант, указанных в варианте КИМ, обозначений, используемых в условии задачи, и стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов); III) проведены необходимые математические преобразования и расчеты, приводящие к правильному числовому ответу (допускается решение «по частям» с промежуточными вычислениями); IV) представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины | 3 |
| Правильно записаны все необходимые положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования. Но имеется один или несколько из следующих недостатков. Записи, соответствующие пунктам II и III, представлены не в полном объеме или отсутствуют. И ( ИЛИ ) В решении имеются лишние записи, не входящие в решение, которые не отделены от решения и не зачеркнуты. И ( ИЛИ ) В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги. И ( ИЛИ ) Отсутствует пункт IV, или в нем допущена ошибка (в том числе в записи единиц измерения величины). | 2 |
| Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев. Представлены только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи. ИЛИ В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решения данной задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи. ИЛИ В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи. | 1 |
| Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3 балла. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
С горизонтальной плоскости вначале бросают маленький мячик под углом
к горизонту со скоростью υ = 20 м/с. В момент, когда мячик достигает наивысшего положения на своей траектории, стреляют пулей из ружья со скоростью V = 150 м/с в направлении мячика, причем пуля вылетает из той же точки, из которой был брошен мячик (см. рис.). Под каким углом к горизонту надо стрелять, чтобы пуля из ружья попала в мячик? Трением мячика и пули о воздух можно пренебречь. Указание: для численного решения уравнений используйте микрокалькулятор.
1. Введем прямоугольную систему координат ХОY, где ось ОХ горизонтальна, ось ОY вертикальна, а начало координат находится в точке бросания и выстрела.
2. Как следует из формул кинематики для движения тела, брошенного под углом к горизонту, мячик после броска достигнет верхней точки траектории с координатой
до координаты 3. В этот момент произойдет выстрел — пуля вылетит со скоростью V под углом к горизонту, и оба тела начнут свободно падать вниз с ускорением g.
4. Изменения вертикальной координаты y за счет этого падения будут у обоих тел одинаковы и равны если время t отсчитывать от момента выстрела. Поэтому для простоты расчета можно перейти в систему отсчета, свободно падающую вниз с ускорением g.
5. В этой системе мячик летит по горизонтальной прямой с постоянной скоростью из начальной точки с координатами в которой он находился при t = 0, до встречи с пулей в момент T. Пуля же летит по прямой с постоянной скоростью V = 150 м/с из начальной точки x0 = y0 = 0 под углом к горизонту до попадания в мячик.
6. В момент T координаты мячика и пули должны совпадать: xм = xп = xв, yм = yп = yв, и по формулам для кинематики равномерного прямолинейного движения получаем систему уравнений: решая которую (проще — при помощи микрокалькулятора методом подбора, сразу используя численные значения величин), можно найти
Примечание.
Для решения можно также воспользоваться методом подбора угла, при котором будут выполняться соотношения, приведенные в данной системе кинематических уравнений. Для начала заметим, что пути, пройденные пулей и мячом до их столкновения, отличаются в 
раз. Построим траектории тел на рисунке.
Если бы стрелок не делал «упреждения», а целился прямо в мячик под углом то пуля пролетела бы расстояние где
на малый угол который, как видно из рисунка, равен Весь путь пули равен где расстояние пуля проходит за время и
Поскольку
то
Теперь можно заняться подбором значения которое, очевидно, может отличаться от только на малое число градусов. Разумно выбрать и проверить поочередно значения 40°, 39°, 38° — при каком из них будут лучше совпадать левые и правые части уравнений из записанной выше системы. Берем, например,
— плохое согласие!
Далее проверяем:
— согласие получше!
Теперь проверим
— хорошее согласие!
Значит, будем считать, что 
Тогда проверяем систему уравнений
— хорошо,
— хорошо,
и наконец, 
— все хорошо согласуется!
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Приведено полное решение, включающее следующие элементы: I) записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом: (в данном случае: формулы кинематики для движения тела, брошенного под углом к горизонту, разумный выбор системы отсчета и условия встречи двух движущихся тел); II) описаны все вновь вводимые в решении буквенные обозначения физических величин (за исключением обозначений констант, указанных в варианте КИМ, обозначений, используемых в условии задачи, и стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов); III) проведены необходимые математические преобразования и расчеты, приводящие к правильному числовому ответу (допускается решение «по частям» с промежуточными вычислениями); IV) представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины | 3 |
| Правильно записаны все необходимые положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования. Но имеется один или несколько из следующих недостатков. Записи, соответствующие пунктам II и III, представлены не в полном объеме или отсутствуют. И ( ИЛИ ) В решении имеются лишние записи, не входящие в решение, которые не отделены от решения и не зачеркнуты. И ( ИЛИ ) В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги. И ( ИЛИ ) Отсутствует пункт IV, или в нем допущена ошибка (в том числе в записи единиц измерения величины). | 2 |
| Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев. Представлены только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи. ИЛИ В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решения данной задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи. ИЛИ В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи. | 1 |
| Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3 балла. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Наверх