Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 26 № 25770
i

Си­сте­ма из гру­зов m и M и свя­зы­ва­ю­щей их лег­кой не­рас­тя­жи­мой нити в на­чаль­ный мо­мент по­ко­ит­ся в вер­ти­каль­ной плос­ко­сти, про­хо­дя­щей через центр за­креп­лен­ной сферы. Груз m на­хо­дит­ся в точке А на вер­ши­не сферы (см. рис.). В ходе воз­ник­ше­го дви­же­ния груз m от­ры­ва­ет­ся от по­верх­но­сти сферы, прой­дя по ней дугу 30°. Най­ди­те массу m, если М  =  100 г. Раз­ме­ры груза m ни­чтож­но малы по срав­не­нию с ра­ди­у­сом сферы. Тре­ни­ем пре­не­бречь. Сде­лай­те схе­ма­ти­че­ский ри­су­нок с ука­за­ни­ем сил, дей­ству­ю­щих на грузы.

Какие за­ко­ны Вы ис­поль­зо­ва­ли для опи­са­ния дви­же­ния тел? Обос­нуй­те их при­ме­ни­мость к дан­но­му слу­чаю.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обос­но­ва­ние

1.  Рас­смот­рим за­да­чу в си­сте­ме от­сче­та, свя­зан­ной с Зем­лей. Будем счи­тать эту си­сте­му от­сче­та инер­ци­аль­ной (ИСО).

2.  Тела опи­сы­ва­ем мо­де­лью ма­те­ри­аль­ной точки, так как их раз­ме­ры малы по срав­не­нию с ра­ди­у­сом сферы.

3.  На ри­сун­ке по­ка­зан мо­мент, когда груз m еще сколь­зит по сфере. Из числа сил, дей­ству­ю­щих на грузы, силы тя­же­сти m\vecg и M\vecg по­тен­ци­аль­ны, а силы на­тя­же­ния нити \vecT_1 и \vecT_2, а также сила ре­ак­ции опоры \vecN не­по­тен­ци­аль­ны.

4.  По­сколь­ку нить лег­кая и тре­ния нет, |\vecT_1| = |\vecT_2| = T. Сила \vecT_1 на­прав­ле­на по ско­ро­сти \vec v _1 груза m, а сила \vecT_2  — про­ти­во­по­лож­но ско­ро­сти \vec v _2 груза M.

5.  Мо­ду­ли ско­ро­стей гру­зов в один и тот же мо­мент вре­ме­ни оди­на­ко­вы, по­сколь­ку нить не­рас­тя­жи­ма. По этим при­чи­нам сум­мар­ная ра­бо­та сил \vecT_1 и \vecT_2 при пе­ре­хо­де в дан­ное со­сто­я­ние из на­чаль­но­го равна нулю. Ра­бо­та силы \vecN также равна нулю, так как из-⁠за от­сут­ствия тре­ния \vecN\perp\vec v _1. Таким об­ра­зом, сумма работ всех не­по­тен­ци­аль­ных сил, дей­ству­ю­щих на грузы m и M, равна нулю. По­это­му в инер­ци­аль­ной си­сте­ме от­сче­та, свя­зан­ной с Зем­лей, ме­ха­ни­че­ская энер­гия си­сте­мы этих гру­зов со­хра­ня­ет­ся.

6.  По­сколь­ку тела опи­сы­ва­ют­ся мо­де­лью ма­те­ри­аль­ной точки, усло­вие от­ры­ва тела от по­верх­но­сти сферы фор­ми­ру­ет­ся на ос­но­ве вто­ро­го за­ко­на Нью­то­на в ИСО. В мо­мент от­ры­ва об­ра­ща­ет­ся в ноль сила ре­ак­ции опоры.

 

Пе­рей­дем к ре­ше­нию.

 

1.  Най­дем мо­дуль ско­ро­сти груза m в точке его от­ры­ва от по­верх­но­сти сферы. Для этого при­ме­ним закон со­хра­не­ния энер­гии для си­сте­мы гру­зов:

E_п1 плюс E_п2=E_к плюс E_п3 плюс E_п4,

при­няв за ну­ле­вой уро­вень вы­со­ты центр сферы. В дан­ном слу­чае в пер­вом со­сто­я­нии по­тен­ци­аль­ная энер­гия пер­во­го груза E_п1=mgR, по­тен­ци­аль­ная энер­гия вто­ро­го груза E_п2=Mg левая круг­лая скоб­ка минус h_0 пра­вая круг­лая скоб­ка . Во вто­ром со­сто­я­нии по­тен­ци­аль­ные энер­гии гру­зов равны со­от­вет­ствен­но E_п3=mgh_1, где h_1=R ко­си­нус альфа , и E_п4=Mg левая круг­лая скоб­ка минус h пра­вая круг­лая скоб­ка , ки­не­ти­че­ская энер­гия гру­зов E_к= дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка M плюс m пра­вая круг­лая скоб­ка v в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем:

mgR плюс Mg левая круг­лая скоб­ка минус h_0 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка M плюс m пра­вая круг­лая скоб­ка v в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс mgR ко­си­нус альфа плюс Mg левая круг­лая скоб­ка минус h пра­вая круг­лая скоб­ка ,

где R  — ра­ди­ус трубы, прой­ден­ный вто­рым гру­зом путь равен прой­ден­но­му пер­вым гру­зом пути, рав­но­му дуге окруж­но­сти h минус h_0 = R дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби . От­сю­да:

v в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 2gR левая круг­лая скоб­ка m левая круг­лая скоб­ка 1 минус ко­си­нус альфа пра­вая круг­лая скоб­ка плюс M дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: m плюс M конец дроби .

2.  Груз m в точке от­ры­ва еще дви­жет­ся по окруж­но­сти ра­ди­у­сом R, но уже не давит на сферу. По вто­ро­му за­ко­ну Нью­то­на \vecT_1 плюс m \vecg = m\veca, где цен­тро­стре­ми­тель­ное уско­ре­ние равно a= дробь: чис­ли­тель: v в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: R конец дроби . (см. рис.) В про­ек­ции на ось, со­на­прав­лен­ную с уско­ре­ни­ем, по­лу­ча­ем:

m дробь: чис­ли­тель: v в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: R конец дроби = mg ко­си­нус альфа .

Под­став­ляя сюда зна­че­ние v в квад­ра­те , по­лу­чим:

дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: m плюс M конец дроби левая круг­лая скоб­ка m левая круг­лая скоб­ка 1 минус ко­си­нус альфа пра­вая круг­лая скоб­ка } плюс M дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус альфа .

От­сю­да:

m = M дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус ко­си­нус альфа , зна­ме­на­тель: 3 ко­си­нус альфа минус 2 конец дроби = 100г умно­жить на дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , зна­ме­на­тель: 3 дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 2 конец дроби }}\approx 30г.

Ответ: 30 г.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Кри­те­рий 1

Верно обос­но­ва­на воз­мож­ность ис­поль­зо­ва­ния за­ко­нов (за­ко­но­мер­но­стей).

1

В обос­но­ва­нии воз­мож­но­сти ис­поль­зо­ва­ния за­ко­нов (за­ко­но­мер­но­стей) до­пу­ще­на ошиб­ка.

ИЛИ

Обос­но­ва­ние от­сут­ству­ет.

0
Кри­те­рий 2
При­ве­де­но пол­ное ре­ше­ние, вклю­ча­ю­щее сле­ду­ю­щие эле­мен­ты:

I)  за­пи­са­ны по­ло­же­ния тео­рии и фи­зи­че­ские за­ко­ны, за­ко­но­мер­но­сти; при­ме­не­ние ко­то­рых не­об­хо­ди­мо для ре­ше­ния за­да­чи вы­бран­ным спо­со­бом (в дан­ном слу­чае: закон со­хра­не­ния ме­ха­ни­че­ской энер­гии, фор­му­ла для ве­ли­чи­ны цен­тро­стре­ми­тель­но­го уско­ре­ния);

II)  опи­са­ны все вво­ди­мые в ре­ше­нии бук­вен­ные обо­зна­че­ния фи­зи­че­ских ве­ли­чин (за ис­клю­че­ни­ем обо­зна­че­ний кон­стант, ука­зан­ных в ва­ри­ан­те КИМ, и обо­зна­че­ний, ис­поль­зу­е­мых в усло­вии за­да­чи);

III)  пред­став­лен схе­ма­ти­че­ский ри­су­нок с ука­за­ни­ем сил, по­яс­ня­ю­щий ре­ше­ние;

IV)  про­ве­де­ны не­об­хо­ди­мые ма­те­ма­ти­че­ские пре­об­ра­зо­ва­ния (до­пус­ка­ет­ся вер­баль­ное ука­за­ние на их про­ве­де­ние) и рас­че­ты, при­во­дя­щие к пра­виль­но­му чис­ло­во­му от­ве­ту (до­пус­ка­ет­ся ре­ше­ние «по ча­стям» с про­ме­жу­точ­ны­ми вы­чис­ле­ни­я­ми);

V)  пред­став­лен пра­виль­ный ответ с ука­за­ни­ем еди­ниц из­ме­ре­ния ис­ко­мой ве­ли­чи­ны.

3
Пра­виль­но за­пи­са­ны не­об­хо­ди­мые по­ло­же­ния тео­рии и фи­зи­че­ские за­ко­ны, за­ко­но­мер­но­сти; про­ве­де­ны не­об­хо­ди­мые пре­об­ра­зо­ва­ния, и пред­став­лен пра­виль­ный ответ с ука­за­ни­ем еди­ниц из­ме­ре­ния ис­ко­мой ве­ли­чи­ны. Но име­ет­ся один из сле­ду­ю­щих не­до­стат­ков.

За­пи­си, со­от­вет­ству­ю­щие од­но­му или не­сколь­ким пунк­там  — II, III, IV,  — пред­став­ле­ны не в пол­ном объ­е­ме или от­сут­ству­ют.

ИЛИ

При ПОЛ­НОМ пра­виль­ном ре­ше­нии лиш­ние за­пи­си, не вхо­дя­щие в ре­ше­ние (воз­мож­но, не­вер­ные), не от­де­ле­ны от ре­ше­ния (не за­черк­ну­ты; не за­клю­че­ны в скоб­ки, рамку и т. п.).

ИЛИ

При ПОЛ­НОМ ре­ше­нии в не­об­хо­ди­мых ма­те­ма­ти­че­ских пре­об­ра­зо­ва­ни­ях или вы­чис­ле­ни­ях до­пу­ще­ны ошиб­ки, и (или) пре­об­ра­зо­ва­ния/⁠вы­чис­ле­ния не до­ве­де­ны до конца.

ИЛИ

При ПОЛ­НОМ ре­ше­нии от­сут­ству­ет пункт V, или в нем до­пу­ще­на ошиб­ка.

2
Пред­став­ле­ны за­пи­си, со­от­вет­ству­ю­щие од­но­му из сле­ду­ю­щих слу­ча­ев.

Пред­став­ле­ны толь­ко по­ло­же­ния и фор­му­лы, вы­ра­жа­ю­щие фи­зи­че­ские за­ко­ны, при­ме­не­ние ко­то­рых не­об­хо­ди­мо для ре­ше­ния за­да­чи, без каких-⁠либо пре­об­ра­зо­ва­ний с их ис­поль­зо­ва­ни­ем, на­прав­лен­ных на ре­ше­ние за­да­чи, и от­ве­та.

ИЛИ

В ре­ше­нии от­сут­ству­ет ОДНА из ис­ход­ных фор­мул, не­об­хо­ди­мая для ре­ше­ния за­да­чи (или утвер­жде­ние, ле­жа­щее в ос­но­ве ре­ше­ния), но при­сут­ству­ют ло­ги­че­ски вер­ные пре­об­ра­зо­ва­ния с име­ю­щи­ми­ся фор­му­ла­ми, на­прав­лен­ные на ре­ше­ние за­да­чи.

ИЛИ

В ОДНОЙ из ис­ход­ных фор­мул, не­об­хо­ди­мых для ре­ше­ния за­да­чи (или в утвер­жде­нии, ле­жа­щем в ос­но­ве ре­ше­ния), до­пу­ще­на ошиб­ка, но при­сут­ству­ют ло­ги­че­ски вер­ные пре­об­ра­зо­ва­ния с име­ю­щи­ми­ся фор­му­ла­ми, на­прав­лен­ные на ре­ше­ние за­да­чи.

1
Все слу­чаи ре­ше­ния, ко­то­рые не со­от­вет­ству­ют вы­ше­ука­зан­ным кри­те­ри­ям вы­став­ле­ния оце­нок в 1, 2, 3 балла.0
Мак­си­маль­ный балл4
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025