Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 26 № 25912
i

На го­ри­зон­таль­ной плос­ко­сти стоит клин мас­сой M с углом при ос­но­ва­нии альфа =30 гра­ду­сов . Вдоль на­клон­ной плос­ко­сти клина рас­по­ло­же­на лег­кая штан­га, ниж­нии конец ко­то­рой укреп­лен в шар­ни­ре, на­хо­дя­щем­ся на го­ри­зон­таль­ной плос­ко­сти, а к верх­не­му концу при­креп­лен ма­лень­кий шарик мас­сой m, ка­са­ю­щий­ся клина (см. рис.). Си­сте­му осво­бож­да­ют, и она на­чи­на­ет дви­же­ние, во время ко­то­ро­го шарик со­хра­ня­ет кон­такт с кли­ном. На какой мак­си­маль­ный угол бета штан­га от­кло­нит­ся от го­ри­зон­та­ли после того, как клин отъ­едет от нее? Тре­ни­ем пре­не­бречь, удар ша­ри­ка о го­ри­зон­таль­ную плос­кость счи­тать аб­со­лют­но упру­гим. В от­ве­те ука­жи­те синус ис­ко­мо­го угла.

Какие за­ко­ны Вы ис­поль­зу­е­те для опи­са­ния дви­же­ния ша­ри­ка и клина? Обос­нуй­те их при­ме­не­ние к дан­но­му слу­чаю.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обос­но­ва­ние

Си­сте­му от­сче­та, свя­зан­ную с Зем­лей, будем счи­тать инер­ци­аль­ной. По­сколь­ку ра­бо­та не­кон­сер­ва­тив­ных сил равна нулю. По­сколь­ку сила ре­ак­ции, дей­ству­ю­щая со сто­ро­ны стерж­ня на шарик в любой точке тра­ек­то­рии пер­пен­ди­ку­ляр­на век­то­ру ско­ро­сти, а сила ре­ак­ции опоры, дей­ству­ю­щая на клин также в любой точке его тра­ек­то­рии пер­пен­ди­ку­ляр­на век­то­ру ско­ро­сти, сле­до­ва­тель­но, ра­бо­та всех не­по­тен­ци­аль­ных сил, дей­ству­ю­щих на тела, равна нулю, а зна­чит в инер­ци­аль­ной си­сте­ме от­сче­та при­ме­ним закон со­хра­не­ния энер­гии. При аб­со­лют­но упру­гом ударе ша­ри­ка о го­ри­зон­таль­ную по­верх­ность не про­ис­хо­дит по­терь энер­гии.

 

Пе­рей­дем к ре­ше­нию.

Обо­зна­чим длину штан­ги через l.

По­сколь­ку тре­ния нет, ме­ха­ни­че­ская энер­гия си­сте­мы со­хра­ня­ет­ся. В про­цес­се дви­же­ния до удара ша­ри­ка о го­ри­зон­таль­ную плос­кость по­тен­ци­аль­ная энер­гия ша­ри­ка пе­ре­хо­дит в ки­не­ти­че­скую энер­гию клина и ша­ри­ка. Обо­зна­чим ско­рость клина в мо­мент, когда шарик уда­ря­ет­ся о го­ри­зон­таль­ную плос­кость, через V, а ско­рость ша­ри­ка перед уда­ром  — через u. Тогда закон со­хра­не­ния энер­гии можно за­пи­сать в сле­ду­ю­щем виде:

mgl синус альфа = дробь: чис­ли­тель: MV в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: mu в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Не­по­сред­ствен­но перед уда­ром ша­ри­ка о го­ри­зон­таль­ную плос­кость его ско­рость \vecu на­прав­ле­на пер­пен­ди­ку­ляр­но этой плос­ко­сти, по­сколь­ку он на­хо­дит­ся на конце штан­ги, дру­гой конец ко­то­рой укреп­лен в шар­ни­ре, на­хо­дя­щем­ся на этой плос­ко­сти. За малый про­ме­жу­ток вре­ме­ни \Delta t перед уда­ром о плос­кость шарик про­хо­дит по вер­ти­ка­ли рас­сто­я­ние u\Delta t, а клин, не теряя по усло­вию кон­так­та с ша­ри­ком, про­хо­дит по го­ри­зон­та­ли рас­сто­я­ние V\Delta t, и эти рас­сто­я­ния свя­за­ны, оче­вид­но, со­от­но­ше­ни­ем u\Delta t=V\Delta t умно­жить на \operatorname тан­генс альфа , от­ку­да u=V\operatorname тан­генс альфа , или V=u умно­жить на \operatorname\ctg альфа .

После аб­со­лют­но упру­го­го удара ша­ри­ка о плос­кость его ско­рость из­ме­нит на­прав­ле­ние на про­ти­во­по­лож­ное, а по мо­ду­лю со­хра­нит свое зна­че­ние. После этого ки­не­ти­че­ская энер­гия ша­ри­ка по мере подъ­ема штан­ги будет умень­шать­ся, пе­ре­хо­дя в по­тен­ци­аль­ную энер­гию, так что при мак­си­маль­ном от­кло­не­нии штан­ги от го­ри­зон­та­ли на угол бета будет вы­пол­нять­ся со­от­но­ше­ние, сле­ду­ю­щее из за­ко­на со­хра­не­ния энер­гии:

mgl синус бета = дробь: чис­ли­тель: mu в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Из на­пи­сан­ных урав­не­ний имеем:

mgl синус альфа = дробь: чис­ли­тель: u в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка m плюс M\operatorname\ctg в квад­ра­те альфа пра­вая круг­лая скоб­ка ,

u в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 2mgl синус альфа , зна­ме­на­тель: m плюс M\operatorname\ctg в квад­ра­те альфа конец дроби ,

по­это­му угол мак­си­маль­но­го от­кло­не­ния штан­ги после удара ша­ри­ка о плос­кость опре­де­ля­ет­ся из сле­ду­ю­ще­го со­от­но­ше­ния:

синус бета = дробь: чис­ли­тель: m синус альфа , зна­ме­на­тель: m плюс M\operatorname\ctg в квад­ра­те альфа конец дроби = дробь: чис­ли­тель: m умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , зна­ме­на­тель: m плюс 3M конец дроби = дробь: чис­ли­тель: m, зна­ме­на­тель: 2m плюс 6M конец дроби .

Ответ: синус бета = дробь: чис­ли­тель: m синус альфа , зна­ме­на­тель: m плюс M\operatorname\ctg в квад­ра­те альфа конец дроби = дробь: чис­ли­тель: m, зна­ме­на­тель: 2m плюс 6M конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Кри­те­рий 1

Верно обос­но­ва­на воз­мож­ность ис­поль­зо­ва­ния за­ко­нов (за­ко­но­мер­но­стей).

1

В обос­но­ва­нии воз­мож­но­сти ис­поль­зо­ва­ния за­ко­нов (за­ко­но­мер­но­стей) до­пу­ще­на ошиб­ка.

ИЛИ

Обос­но­ва­ние от­сут­ству­ет.

0
Кри­те­рий 2
При­ве­де­но пол­ное ре­ше­ние, вклю­ча­ю­щее сле­ду­ю­щие эле­мен­ты:

I)  за­пи­са­ны по­ло­же­ния тео­рии и фи­зи­че­ские за­ко­ны, за­ко­но­мер­но­сти; при­ме­не­ние ко­то­рых не­об­хо­ди­мо для ре­ше­ния за­да­чи вы­бран­ным спо­со­бом;

II)  опи­са­ны все вво­ди­мые в ре­ше­нии бук­вен­ные обо­зна­че­ния фи­зи­че­ских ве­ли­чин (за ис­клю­че­ни­ем обо­зна­че­ний кон­стант, ука­зан­ных в ва­ри­ан­те КИМ, и обо­зна­че­ний, ис­поль­зу­е­мых в усло­вии за­да­чи);

III)  пред­став­лен схе­ма­ти­че­ский ри­су­нок с ука­за­ни­ем сил, по­яс­ня­ю­щий ре­ше­ние;

IV)  про­ве­де­ны не­об­хо­ди­мые ма­те­ма­ти­че­ские пре­об­ра­зо­ва­ния (до­пус­ка­ет­ся вер­баль­ное ука­за­ние на их про­ве­де­ние) и рас­че­ты, при­во­дя­щие к пра­виль­но­му чис­ло­во­му от­ве­ту (до­пус­ка­ет­ся ре­ше­ние «по ча­стям» с про­ме­жу­точ­ны­ми вы­чис­ле­ни­я­ми);

V)  пред­став­лен пра­виль­ный ответ с ука­за­ни­ем еди­ниц из­ме­ре­ния ис­ко­мой ве­ли­чи­ны.

3
Пра­виль­но за­пи­са­ны все не­об­хо­ди­мые по­ло­же­ния тео­рии, фи­зи­че­ские за­ко­ны, за­ко­но­мер­но­сти, и про­ве­де­ны не­об­хо­ди­мые пре­об­ра­зо­ва­ния. Но име­ют­ся сле­ду­ю­щие не­до­стат­ки. За­пи­си, со­от­вет­ству­ю­щие пунк­ту II, пред­став­ле­ны не в пол­ном объ­е­ме или от­сут­ству­ют.

ИЛИ

Пункт III пред­став­лен не в пол­ном объ­е­ме, со­дер­жит ошиб­ки или от­сут­ству­ет.

ИЛИ

В ре­ше­нии лиш­ние за­пи­си, не вхо­дя­щие в ре­ше­ние (воз­мож­но, не­вер­ные), не от­де­ле­ны от ре­ше­ния (не за­черк­ну­ты, не за­клю­че­ны в скоб­ки, рамку и т. п.).

ИЛИ

В не­об­хо­ди­мых ма­те­ма­ти­че­ских пре­об­ра­зо­ва­ни­ях или вы­чис­ле­ни­ях до­пу­ще­ны ошиб­ки, и (или) пре­об­ра­зо­ва­ния/⁠вы­чис­ле­ния не до­ве­де­ны до конца.

ИЛИ

От­сут­ству­ет пункт V, или в нем до­пу­ще­на ошиб­ка.

2
Пред­став­ле­ны за­пи­си, со­от­вет­ству­ю­щие од­но­му из сле­ду­ю­щих слу­ча­ев.
Пред­став­ле­ны толь­ко по­ло­же­ния и фор­му­лы, вы­ра­жа­ю­щие фи­зи­че­ские за­ко­ны, при­ме­не­ние ко­то­рых не­об­хо­ди­мо для ре­ше­ния за­да­чи, без каких-⁠либо пре­об­ра­зо­ва­ний с их ис­поль­зо­ва­ни­ем, на­прав­лен­ных на ре­ше­ние за­да­чи, и от­ве­та.

ИЛИ

В ре­ше­нии от­сут­ству­ет ОДНА из ис­ход­ных фор­мул, не­об­хо­ди­мая для ре­ше­ния за­да­чи (или утвер­жде­ние, ле­жа­щее в ос­но­ве ре­ше­ния), но при­сут­ству­ют ло­ги­че­ски вер­ные пре­об­ра­зо­ва­ния с име­ю­щи­ми­ся фор­му­ла­ми, на­прав­лен­ные на ре­ше­ние за­да­чи.

ИЛИ

В ОДНОЙ из ис­ход­ных фор­мул, не­об­хо­ди­мых для ре­ше­ния за­да­чи (или в утвер­жде­нии, ле­жа­щем в ос­но­ве ре­ше­ния), до­пу­ще­на ошиб­ка, но при­сут­ству­ют ло­ги­че­ски вер­ные пре­об­ра­зо­ва­ния с име­ю­щи­ми­ся фор­му­ла­ми, на­прав­лен­ные на ре­ше­ние за­да­чи.

1
Все слу­чаи ре­ше­ния, ко­то­рые не со­от­вет­ству­ют вы­ше­ука­зан­ным кри­те­ри­ям вы­став­ле­ния оце­нок в 1, 2, 3 балла. 0
Мак­си­маль­ный балл4
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: 1.4.8 Закон из­ме­не­ния и со­хра­не­ния ме­ха­ни­че­ской энер­гии
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025