Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 26 № 25914
i

На те­леж­ке мас­сой M = 400г, ко­то­рая может ка­тать­ся без тре­ния по го­ри­зон­таль­ной плос­ко­сти, име­ет­ся лег­кий крон­штейн, на ко­то­ром под­ве­шен на нити ма­лень­кий шарик мас­сой m=100г. На те­леж­ку по го­ри­зон­та­ли на­ле­та­ет и аб­со­лют­но упру­го стал­ки­ва­ет­ся с ней шар мас­сой M, ле­тя­щий со ско­ро­стью V_0=2м/с (см. рис.). Чему будет равен мо­дуль ско­ро­сти те­леж­ки в тот мо­мент, когда нить, на ко­то­рой под­ве­шен шарик, от­кло­нит­ся на мак­си­маль­ный угол от вер­ти­ка­ли? Дли­тель­ность столк­но­ве­ния шара с те­леж­кой счи­тать очень малой.

Какие за­ко­ны Вы ис­поль­зу­е­те для опи­са­ния вза­и­мо­дей­ствия те­леж­ки и ша­ри­ка? Обос­нуй­те их при­ме­не­ние к дан­но­му слу­чаю.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обос­но­ва­ние

Си­сте­му от­сче­та, свя­зан­ную с Зем­лей, будем счи­тать инер­ци­аль­ной. По­сколь­ку тела малы, то будем опи­сы­вать их мо­де­лью ма­те­ри­аль­ных точек. Рас­ста­вим все силы, дей­ству­ю­щие на тела. На те­леж­ку дей­ству­ет сила тя­же­сти M\vecg и сила ре­ак­ции опоры \vecN. На шарик, под­ве­шен­ный на нити, дей­ству­ет сила тя­же­сти m\vecg и сила на­тя­же­ния нити \vecT. На ле­тя­щий шар дей­ству­ет толь­ко сила тя­же­сти M\vecg (по­сколь­ку сила со­про­тив­ле­ния воз­ду­ха пре­не­бре­жи­мо мала). По­сколь­ку эти силы яв­ля­ют­ся внеш­ни­ми, а сумма их про­ек­ций на го­ри­зон­таль­ную ось равна нулю, то си­сте­ма яв­ля­ет­ся за­мкну­той. Зна­чит, в ИСО можно при­ме­нить закон со­хра­не­ния им­пуль­са.

В ИСО из­ме­не­ние пол­ной ме­ха­ни­че­ской энер­гии равно ра­бо­те всех не­по­тен­ци­аль­ных сил, дей­ству­ю­щих на тело. В дан­ном слу­чае на пер­вый шарик дей­ству­ет толь­ко по­тен­ци­аль­ная сила тя­же­сти (по­сколь­ку сила со­про­тив­ле­ния воз­ду­ха пре­не­бре­жи­мо мала). На те­леж­ку в про­цес­се ее дви­же­ния дей­ству­ет по­тен­ци­аль­ная сила тя­же­сти и сила ре­ак­ции опоры, ко­то­рая в любой точке тра­ек­то­рии пер­пен­ди­ку­ляр­на век­то­ру ско­ро­сти (т. е ее ра­бо­та равна нулю). На ма­лень­кий шарик дей­ству­ет по­тен­ци­аль­ная сила тя­же­сти mg и сила на­тя­же­ния нити, ко­то­рая в любой точке тра­ек­то­рии пер­пен­ди­ку­ляр­на век­то­ру его ско­ро­сти, а зна­чит ее ра­бо­та равна нулю. Сле­до­ва­тель­но, ме­ха­ни­че­ская энер­гия си­сте­мы со­хра­ня­ет­ся. Зна­чит, в ИСО можно при­ме­нить закон со­хра­не­ния энер­гии для си­сте­мы тел.

 

Пе­рей­дем к ре­ше­нию.

Со­глас­но усло­вию, за время столк­но­ве­ния те­леж­ка прак­ти­че­ски не сме­стит­ся, а нить оста­нет­ся вер­ти­каль­ной. В силу этого го­ри­зон­таль­ная про­ек­ция силы на­тя­же­ния нити во время столк­но­ве­ния от­сут­ству­ет, и го­ри­зон­таль­ная про­ек­ция им­пуль­са си­сте­мы «шар + те­леж­ка» со­хра­ня­ет­ся: MV_0=Mu_1 плюс Mu_2, где u_1 и u_2  — мо­ду­ли ско­ро­стей шара и те­леж­ки после столк­но­ве­ния. При аб­со­лют­но упру­гом столк­но­ве­нии шара и те­леж­ки со­хра­ня­ет­ся и их ме­ха­ни­че­ская энер­гия: дробь: чис­ли­тель: MV_0 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: Mu_1 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Mu_2 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . От­сю­да сле­ду­ет, что шар и те­леж­ка «об­ме­ни­ва­ют­ся» ско­ро­стя­ми: после столк­но­ве­ния шар оста­нав­ли­ва­ет­ся и па­да­ет на плос­кость, а те­леж­ка при­об­ре­та­ет ско­рость V_0.

При даль­ней­шем дви­же­нии те­леж­ка «уез­жа­ет» из-⁠под под­ве­шен­но­го ша­ри­ка, и нить на­чи­на­ет от­кло­нять­ся от вер­ти­ка­ли, по­сте­пен­но тор­мо­зя те­леж­ку. В мо­мент мак­си­маль­но­го от­кло­не­ния нити от вер­ти­ка­ли ско­ро­сти V те­леж­ки и ша­ри­ка будут оди­на­ко­вы, так как в про­тив­ном слу­чае, при ско­ро­сти те­леж­ки боль­шей, чем у ша­ри­ка, от­кло­не­ние нити будет про­дол­жать­ся. В дан­ном про­цес­се со­хра­ня­ет­ся го­ри­зон­таль­ная про­ек­ция им­пуль­са си­сте­мы «шарик + те­леж­ка»:

MV_0= левая круг­лая скоб­ка M плюс m пра­вая круг­лая скоб­ка V. От­сю­да:

V= дробь: чис­ли­тель: MV_0, зна­ме­на­тель: M плюс m конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 0,4 умно­жить на 2, зна­ме­на­тель: 0,4 плюс 0,1 конец дроби =1,6м/с.

Ответ: 1,6 м/⁠с.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Кри­те­рий 1

Верно обос­но­ва­на воз­мож­ность ис­поль­зо­ва­ния за­ко­нов (за­ко­но­мер­но­стей).

1

В обос­но­ва­нии воз­мож­но­сти ис­поль­зо­ва­ния за­ко­нов (за­ко­но­мер­но­стей) до­пу­ще­на ошиб­ка.

ИЛИ

Обос­но­ва­ние от­сут­ству­ет.

0
Кри­те­рий 2
При­ве­де­но пол­ное ре­ше­ние, вклю­ча­ю­щее сле­ду­ю­щие эле­мен­ты:

I)  за­пи­са­ны по­ло­же­ния тео­рии и фи­зи­че­ские за­ко­ны, за­ко­но­мер­но­сти, при­ме­не­ние ко­то­рых не­об­хо­ди­мо для ре­ше­ния за­да­чи вы­бран­ным спо­со­бом (в дан­ном слу­чае - за­ко­ны со­хра­не­ния им­пуль­са и ме­ха­ни­че­ской энер­гии, и пра­виль­но обос­но­ва­но их при­ме­не­ние на раз­ных эта­пах дви­же­ния дан­ной си­сте­мы тел):

II)  опи­са­ны все вво­ди­мые в ре­ше­ние бук­вен­ные обо­зна­че­ния фи­зи­че­ских ве­ли­чин (за ис­клю­че­ни­ем, воз­мож­но, обо­зна­че­ний кон­стант, ука­зан­ных в ва­ри­ан­те КИМ, и обо­зна­че­ний, ис­поль­зу­е­мых в усло­вии за­да­чи):

III)  про­ве­де­ны не­об­хо­ди­мые ма­те­ма­ти­че­ские пре­об­ра­зо­ва­ния (до­пус­ка­ет­ся вер­баль­ное ука­за­ние на их про­ве­де­ние) и рас­че­ты, при­во­дя­щие к пра­виль­но­му чис­ло­во­му от­ве­ту (до­пус­ка­ет­ся ре­ше­ние «по ча­стям» с про­ме­жу­точ­ны­ми вы­чис­ле­ни­я­ми);

IV)  пред­став­лен пра­виль­ный ответ с ука­за­ни­ем еди­ниц из­ме­ре­ния ис­ко­мой ве­ли­чи­ны.

3
Пра­виль­но за­пи­са­ны не­об­хо­ди­мые по­ло­же­ния тео­рии и фи­зи­че­ские за­ко­ны, за­ко­но­мер­но­сти, про­ве­де­ны не­об­хо­ди­мые пре­об­ра­зо­ва­ния, и пред­став­лен пра­виль­ный ответ с ука­за­ни­ем еди­ниц из­ме­ре­ния ис­ко­мой ве­ли­чи­ны. Но име­ет­ся один из сле­ду­ю­щих не­до­стат­ков.

 

За­пи­си, со­от­вет­ству­ю­щие од­но­му или всем пунк­там  — II и III,  — пред­став­ле­ны не в пол­ном объ­е­ме или от­сут­ству­ют.

ИЛИ

При пол­ном пра­виль­ном ре­ше­нии лиш­ние за­пи­си, не вхо­дя­щие в ре­ше­ние (воз­мож­но, не­вер­ные), не от­де­ле­ны от ре­ше­ния (не за­черк­ну­ты, не за­клю­че­ны в скоб­ки, рамку и т. п.).

ИЛИ

При ПОЛ­НОМ ре­ше­нии в не­об­хо­ди­мых ма­те­ма­ти­че­ских пре­об­ра­зо­ва­ни­ях или вы­чис­ле­ни­ях до­пу­ще­ны ошиб­ки, и (или) пре­об­ра­зо­ва­ния/⁠вы­чис­ле­ния не до­ве­де­ны до конца.

ИЛИ

При ПОЛ­НОМ ре­ше­нии от­сут­ству­ет пункт IV, или в нем до­пу­ще­на ошиб­ка.

2
Пред­став­ле­ны за­пи­си, со­от­вет­ству­ю­щие од­но­му из сле­ду­ю­щих слу­ча­ев. Пред­став­ле­ны толь­ко по­ло­же­ния и фор­му­лы, вы­ра­жа­ю­щие фи­зи­че­ские за­ко­ны, при­ме­не­ние ко­то­рых не­об­хо­ди­мо для ре­ше­ния за­да­чи, без каких-⁠либо пре­об­ра­зо­ва­ний с их ис­поль­зо­ва­ни­ем, на­прав­лен­ных на ре­ше­ние за­да­чи, и от­ве­та.

ИЛИ

В ре­ше­нии от­сут­ству­ет ОДНА из ис­ход­ных фор­мул, не­об­хо­ди­мая для ре­ше­ния за­да­чи (или утвер­жде­ние, ле­жа­щее в ос­но­ве ре­ше­ния), но при­сут­ству­ют ло­ги­че­ски вер­ные пре­об­ра­зо­ва­ния с име­ю­щи­ми­ся фор­му­ла­ми, на­прав­лен­ные на ре­ше­ние за­да­чи.

ИЛИ

В ОДНОЙ из ис­ход­ных фор­мул, не­об­хо­ди­мых для ре­ше­ния за­да­чи (или утвер­жде­нии, ле­жа­щем в ос­но­ве ре­ше­ния), до­пу­ще­на ошиб­ка, но при­сут­ству­ют ло­ги­че­ски вер­ные пре­об­ра­зо­ва­ния с име­ю­щи­ми­ся фор­му­ла­ми, на­прав­лен­ные на ре­ше­ние за­да­чи.

1
Все слу­чаи ре­ше­ния, ко­то­рые не со­от­вет­ству­ют вы­ше­ука­зан­ным кри­те­ри­ям вы­став­ле­ния оце­нок в 1, 2, 3 балла.0
Мак­си­маль­ный балл4
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025