Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 26 № 25934
i

Ма­ят­ник со­сто­ит из ма­лень­ко­го груза мас­сой M  =  200 г, ви­ся­ще­го на лег­кой не­рас­тя­жи­мой нити дли­ной L  =  100 см. Он висит в со­сто­я­нии покоя в вер­ти­каль­ном по­ло­же­нии. В груз уда­ря­ет­ся и при­ли­па­ет к нему не­боль­шое тело мас­сой m  =  100 г, ле­тев­шее в го­ри­зон­таль­ном на­прав­ле­нии. В ре­зуль­та­те воз­ни­ка­ет вра­ще­ние ма­ят­ни­ка в вер­ти­каль­ной плос­ко­сти во­круг его точки под­ве­са, при­чем груз ма­ят­ни­ка все время дви­жет­ся по окруж­но­сти, делая пол­ный обо­рот. Ка­ко­ва могла быть ско­рость тела до удара?

Какие за­ко­ны Вы ис­поль­зу­е­те для опи­са­ния вза­и­мо­дей­ствия тел и даль­ней­ше­го их дви­же­ния? Обос­нуй­те их при­ме­не­ние к дан­но­му слу­чаю.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обос­но­ва­ние

Си­сте­му от­сче­та, свя­зан­ную с Зем­лей, будем счи­тать инер­ци­аль­ной. Груз и тело в дан­ных усло­ви­ях можно счи­тать ма­те­ри­аль­ны­ми точ­ка­ми. По­сколь­ку все внеш­ние силы, (силы тя­же­сти и на­тя­же­ния нити) дей­ству­ю­щие на тела в мо­мент со­уда­ре­ния на­прав­ле­ны вер­ти­каль­но, то сумма их про­ек­ций на го­ри­зон­таль­ную ось равна нулю. Зна­чит, в ИСО можно при­ме­нить закон со­хра­не­ния им­пуль­са.

При даль­ней­шем дви­же­нии со­став­но­го тела на него дей­ству­ет сила тя­же­сти и сила на­тя­же­ния нити. В ИСО из­ме­не­ние пол­ной ме­ха­ни­че­ской энер­гии равно ра­бо­те всех не­по­тен­ци­аль­ных сил, дей­ству­ю­щих на тело. В дан­ном слу­чае такой силой яв­ля­ет­ся сила на­тя­же­ния нити (силой со­про­тив­ле­ния воз­ду­ха можно пре­не­бречь). По­сколь­ку в любой точке тра­ек­то­рии сила на­тя­же­ния нити пер­пен­ди­ку­ляр­на ско­ро­сти со­став­но­го тела, то ее ра­бо­та равна нулю, а зна­чит ра­бо­та всех не­по­тен­ци­аль­ных сил, дей­ству­ю­щих на тело, также об­ра­ща­ет­ся в ноль. Сле­до­ва­тель­но, в ИСО можно при­ме­нить закон со­хра­не­ния энер­гии для дви­же­ния со­став­но­го тела.

 

Пе­рей­дем к ре­ше­нию.

В со­от­вет­ствии с за­ко­ном со­хра­не­ния го­ри­зон­таль­ной про­ек­ции им­пуль­са на на­прав­ле­ние дви­же­ния тела в мо­мент удара имеем: m v = левая круг­лая скоб­ка M плюс m пра­вая круг­лая скоб­ка V, где υ — ско­рость тела до удара, а V  — ско­рость груза ма­ят­ни­ка с при­лип­шим к нему телом сразу после удара. От­сю­да с уче­том дан­ных в усло­вии V= дробь: чис­ли­тель: m v , зна­ме­на­тель: M плюс m конец дроби = дробь: чис­ли­тель: v , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . При даль­ней­шем дви­же­нии от по­ло­же­ния рав­но­ве­сия до та­ко­го от­кло­не­ния, когда нить при­мет вер­ти­каль­ное по­ло­же­ние с гру­зом на­вер­ху, но будет хотя бы чуть-⁠чуть на­тя­ну­та, со­хра­ня­ет­ся ме­ха­ни­че­ская энер­гия груза ма­ят­ни­ка:

дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка M плюс m пра­вая круг­лая скоб­ка V в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = левая круг­лая скоб­ка M плюс m пра­вая круг­лая скоб­ка gH плюс дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка M плюс m пра­вая круг­лая скоб­ка V в квад­ра­те _1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

где H  =  2L  — вы­со­та подъ­ема над по­ло­же­ни­ем рав­но­ве­сия груза, под­ве­шен­но­го на не­рас­тя­жи­мой лег­кой нити дли­ной L. В пре­дель­ном слу­чае ми­ни­маль­ной ско­ро­сти V_1 дви­же­ние груза ма­ят­ни­ка по окруж­но­сти ра­ди­у­сом L в верх­ней точке тра­ек­то­рии обес­пе­чи­ва­ет­ся толь­ко силой тя­же­сти, а сила на­тя­же­ния нити равна нулю.

Урав­не­ние вра­ща­тель­но­го дви­же­ния груза при этом имеет вид:

левая круг­лая скоб­ка m плюс M пра­вая круг­лая скоб­ка a_ц. с.= левая круг­лая скоб­ка m плюс M пра­вая круг­лая скоб­ка g,

a_ц. с.=g,

дробь: чис­ли­тель: V_1 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: L конец дроби =g,

от­ку­да V_1 в квад­ра­те =gL. Под­став­ляя по­лу­чен­ное зна­че­ние в закон со­хра­не­ния энер­гии и учи­ты­вая вы­ра­же­ние для на­чаль­ной ско­ро­сти V, по­лу­ча­ем:

V в квад­ра­те =4gL плюс gL=5gL= левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: m v , зна­ме­на­тель: M плюс m конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те ,

от­ку­да ми­ни­маль­ное зна­че­ние ско­ро­сти тела равно:

v = дробь: чис­ли­тель: M плюс m, зна­ме­на­тель: m конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5gL конец ар­гу­мен­та =3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5gL конец ар­гу­мен­та =3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 умно­жить на 10 умно­жить на 1 конец ар­гу­мен­та \approx21м/с.

 

Ответ: ско­рость тела была не менее 21 м/⁠с.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Кри­те­рий 1

Верно обос­но­ва­на воз­мож­ность ис­поль­зо­ва­ния за­ко­нов (за­ко­но­мер­но­стей).

1

В обос­но­ва­нии воз­мож­но­сти ис­поль­зо­ва­ния за­ко­нов (за­ко­но­мер­но­стей) до­пу­ще­на ошиб­ка.

ИЛИ

Обос­но­ва­ние от­сут­ству­ет.

0
Кри­те­рий 2
При­ве­де­но пол­ное ре­ше­ние, вклю­ча­ю­щее сле­ду­ю­щие эле­мен­ты:

I)  за­пи­са­ны по­ло­же­ния тео­рии и фи­зи­че­ские за­ко­ны, за­ко­но­мер­но­сти, при­ме­не­ние ко­то­рых не­об­хо­ди­мо для ре­ше­ния за­да­чи вы­бран­ным спо­со­бом (в дан­ном слу­чае: закон со­хра­не­ния им­пуль­са при аб­со­лют­но не­упру­гом ударе, закон со­хра­не­ния ме­ха­ни­че­ской энер­гии си­сте­мы после удара и урав­не­ние вра­ща­тель­но­го дви­же­ния груза в вер­ти­каль­ной плос­ко­сти);

II)  опи­са­ны все вновь вво­ди­мые в ре­ше­нии бук­вен­ные обо­зна­че­ния фи­зи­че­ских ве­ли­чин (за ис­клю­че­ни­ем обо­зна­че­ний кон­стант, ука­зан­ных в ва­ри­ан­те КИМ, обо­зна­че­ний ве­ли­чин, ис­поль­зу­е­мых в усло­вии за­да­чи, и стан­дарт­ных обо­зна­че­ний ве­ли­чин, ис­поль­зу­е­мых при на­пи­са­нии фи­зи­че­ских за­ко­нов);

III)  про­ве­де­ны не­об­хо­ди­мые ма­те­ма­ти­че­ские пре­об­ра­зо­ва­ния и рас­че­ты, при­во­дя­щие к пра­виль­но­му чис­ло­во­му от­ве­ту (до­пус­ка­ет­ся ре­ше­ние «по ча­стям» с про­ме­жу­точ­ны­ми вы­чис­ле­ни­я­ми);

IV)  пред­став­лен пра­виль­ный ответ с ука­за­ни­ем еди­ниц из­ме­ре­ния ис­ко­мой ве­ли­чи­ны.

3
Пра­виль­но за­пи­са­ны все не­об­хо­ди­мые по­ло­же­ния тео­рии, фи­зи­че­ские за­ко­ны, за­ко­но­мер­но­сти, и про­ве­де­ны не­об­хо­ди­мые пре­об­ра­зо­ва­ния. Но име­ют­ся один или не­сколь­ко из сле­ду­ю­щих не­до­стат­ков.

За­пи­си, со­от­вет­ству­ю­щие пунк­ту II, пред­став­ле­ны не в пол­ном объ­е­ме или от­сут­ству­ют.

И (ИЛИ)

В ре­ше­нии име­ют­ся лиш­ние за­пи­си, не вхо­дя­щие в ре­ше­ние (воз­мож­но, не­вер­ные), ко­то­рые не от­де­ле­ны от ре­ше­ния (не за­черк­ну­ты; не за­клю­че­ны в скоб­ки, рамку и т. п.).

И (ИЛИ)

В не­об­хо­ди­мых ма­те­ма­ти­че­ских пре­об­ра­зо­ва­ни­ях или вы­чис­ле­ни­ях до­пу­ще­ны ошиб­ки, и (или) в ма­те­ма­ти­че­ских пре­об­ра­зо­ва­ни­ях/⁠вы­чис­ле­ни­ях про­пу­ще­ны ло­ги­че­ски важ­ные шаги.

И (ИЛИ)

От­сут­ству­ет пункт IV, или в нем до­пу­ще­на ошиб­ка (в том числе в за­пи­си еди­ниц из­ме­ре­ния ве­ли­чи­ны).

2
Пред­став­ле­ны за­пи­си, со­от­вет­ству­ю­щие од­но­му из сле­ду­ю­щих слу­ча­ев.

Пред­став­ле­ны толь­ко по­ло­же­ния и фор­му­лы, вы­ра­жа­ю­щие фи­зи­че­ские за­ко­ны, при­ме­не­ние ко­то­рых не­об­хо­ди­мо для ре­ше­ния дан­ной за­да­чи, без каких-⁠либо пре­об­ра­зо­ва­ний с их ис­поль­зо­ва­ни­ем, на­прав­лен­ных на ре­ше­ние за­да­чи.

ИЛИ

В ре­ше­нии от­сут­ству­ет одна из ис­ход­ных фор­мул, не­об­хо­ди­мая для ре­ше­ния дан­ной за­да­чи (или утвер­жде­ние, ле­жа­щее в ос­но­ве ре­ше­ния), но при­сут­ству­ют ло­ги­че­ски вер­ные пре­об­ра­зо­ва­ния с име­ю­щи­ми­ся фор­му­ла­ми, на­прав­лен­ные на ре­ше­ние за­да­чи.

ИЛИ

В одной из ис­ход­ных фор­мул, не­об­хо­ди­мых для ре­ше­ния дан­ной за­да­чи (или в утвер­жде­нии, ле­жа­щем в ос­но­ве ре­ше­ния), до­пу­ще­на ошиб­ка, но при­сут­ству­ют ло­ги­че­ски вер­ные пре­об­ра­зо­ва­ния с име­ю­щи­ми­ся фор­му­ла­ми, на­прав­лен­ные на ре­ше­ние за­да­чи.

1
Все слу­чаи ре­ше­ния, ко­то­рые не со­от­вет­ству­ют вы­ше­ука­зан­ным кри­те­ри­ям вы­став­ле­ния оце­нок в 1, 2, 3 балла.0
Мак­си­маль­ный балл4
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026