Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 26 № 25942
i

Не­боль­шое тело мас­сой M  =  0,99 кг лежит на вер­ши­не глад­кой по­лу­сфе­ры. В тело по­па­да­ет пуля мас­сой m  =  0,01 кг, ле­тя­щая го­ри­зон­таль­но со ско­ро­стью υ0  =  100 м/⁠с, и за­стре­ва­ет в нем. Пре­не­бре­гая сме­ще­ни­ем тела за время удара, опре­де­ли­те ра­ди­ус сферы, если вы­со­та, на ко­то­рой тело ото­рвет­ся от по­верх­но­сти по­лу­сфе­ры, h  =  0,7 м. Вы­со­та от­счи­ты­ва­ет­ся от ос­но­ва­ния по­лу­сфе­ры.

Какие за­ко­ны Вы ис­поль­зу­е­те для опи­са­ния вза­и­мо­дей­ствия тел? Обос­нуй­те их при­ме­не­ние к дан­но­му слу­чаю.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обос­но­ва­ние

Си­сте­му от­сче­та, свя­зан­ную с Зем­лей, будем счи­тать инер­ци­аль­ной. Тела можно счи­тать ма­те­ри­аль­ны­ми точ­ка­ми, так как их раз­ме­ры пре­не­бре­жи­мо малы в усло­вии за­да­чи. При со­уда­ре­нии для си­сте­мы «пуля  — тело» в ИСО вы­пол­ня­ет­ся закон со­хра­не­ния им­пуль­са в про­ек­ции на го­ри­зон­таль­ную ось, так как внеш­ние силы (сила тя­же­сти и сила ре­ак­ции опоры) вер­ти­каль­ны.

При дви­же­нии со­став­но­го тела от вер­ши­ны по­лу­сфе­ры вы­пол­ня­ет­ся со­хра­не­ние ме­ха­ни­че­ской энер­гии, так как по­лу­сфе­ра глад­кая, и ра­бо­та силы ре­ак­ции опоры равна нулю (эта сила пер­пен­ди­ку­ляр­но ско­ро­сти тела).

В мо­мент от­ры­ва об­ра­ща­ет­ся в ноль сила ре­ак­ции опоры \vecN.

Вто­рой закон Нью­то­на вы­пол­ня­ет­ся в ИСО для мо­де­ли ма­те­ри­аль­ной точки.

 

Пе­рей­дем к ре­ше­нию.

1.  За­пи­шем закон со­хра­не­ния им­пуль­са в про­ек­ции на го­ри­зон­таль­ную ось для столк­но­ве­ния пули и тела:

m v _0= левая круг­лая скоб­ка M плюс m пра­вая круг­лая скоб­ка V_0.

Таким об­ра­зом, тело с пулей на­чи­на­ют со­скаль­зы­вать с на­чаль­ной ско­ро­стью:

V_0= дробь: чис­ли­тель: m v _0, зна­ме­на­тель: M плюс m конец дроби .

2.  За­пи­шем закон со­хра­не­ния энер­гии, чтобы найти ско­рость тела на вы­со­те h от Земли:

дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка M плюс m пра­вая круг­лая скоб­ка V_0 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс левая круг­лая скоб­ка M плюс m пра­вая круг­лая скоб­ка gR= дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка M плюс m пра­вая круг­лая скоб­ка V в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс левая круг­лая скоб­ка M плюс m пра­вая круг­лая скоб­ка gh,

V в квад­ра­те =V_0 в квад­ра­те плюс 2g левая круг­лая скоб­ка R минус h пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: m v _0, зна­ме­на­тель: M плюс m конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 2g левая круг­лая скоб­ка R минус h пра­вая круг­лая скоб­ка .

3.  При дви­же­нии тела по по­лу­сфе­ре на него дей­ству­ют сила тя­же­сти и сила ре­ак­ции опоры N.

В про­ек­ции на нор­маль к по­верх­но­сти по­лу­сфе­ры вто­рой закон Нью­то­на имеет вид:

левая круг­лая скоб­ка M плюс m пра­вая круг­лая скоб­ка a_ц= левая круг­лая скоб­ка M плюс m пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: V в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: R конец дроби = левая круг­лая скоб­ка M плюс m пра­вая круг­лая скоб­ка g ко­си­нус альфа минус N.

Тело ото­рвет­ся от по­верх­но­сти в мо­мент, когда сила ре­ак­ции опоры будет равна нулю, при этом ко­си­нус альфа = дробь: чис­ли­тель: h, зна­ме­на­тель: R конец дроби .

Вы­ра­жа­ем от­сю­да квад­рат ско­ро­сти тела:

V в квад­ра­те =gh.

4.  Под­ста­вим это зна­че­ние в по­лу­чен­ное ранее урав­не­ние и най­дем ра­ди­ус по­лу­сфе­ры:

gh= левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: m v _0, зна­ме­на­тель: M плюс m конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 2g левая круг­лая скоб­ка R минус h пра­вая круг­лая скоб­ка ,

R= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби h минус дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка m v _0 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2g левая круг­лая скоб­ка M плюс m пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 0,7 минус дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 0,01 умно­жить на 100 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 10 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 0,99 плюс 0,01 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец дроби =1м.

Ответ: 1 м.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Кри­те­рий 1

Верно обос­но­ва­на воз­мож­ность ис­поль­зо­ва­ния за­ко­нов (за­ко­но­мер­но­стей).

1

В обос­но­ва­нии воз­мож­но­сти ис­поль­зо­ва­ния за­ко­нов (за­ко­но­мер­но­стей) до­пу­ще­на ошиб­ка.

ИЛИ

Обос­но­ва­ние от­сут­ству­ет.

0
Кри­те­рий 2
При­ве­де­но пол­ное ре­ше­ние, вклю­ча­ю­щее сле­ду­ю­щие эле­мен­ты:

I)  за­пи­са­ны по­ло­же­ния тео­рии и фи­зи­че­ские за­ко­ны, за­ко­но­мер­но­сти, при­ме­не­ние ко­то­рых не­об­хо­ди­мо для ре­ше­ния за­да­чи вы­бран­ным спо­со­бом;

II)  опи­са­ны все вновь вво­ди­мые в ре­ше­нии бук­вен­ные обо­зна­че­ния фи­зи­че­ских ве­ли­чин (за ис­клю­че­ни­ем обо­зна­че­ний кон­стант, ука­зан­ных в ва­ри­ан­те КИМ, обо­зна­че­ний, ис­поль­зу­е­мых в усло­вии за­да­чи, и стан­дарт­ных обо­зна­че­ний ве­ли­чин, ис­поль­зу­е­мых при на­пи­са­нии фи­зи­че­ских за­ко­нов);

III)  про­ве­де­ны не­об­хо­ди­мые ма­те­ма­ти­че­ские пре­об­ра­зо­ва­ния и рас­че­ты, при­во­дя­щие к пра­виль­но­му чис­ло­во­му от­ве­ту (допуcка­ет­ся ре­ше­ние «по ча­стям» с про­ме­жу­точ­ны­ми вы­чис­ле­ни­я­ми);

IV)  пред­став­лен пра­виль­ный ответ с ука­за­ни­ем еди­ниц из­ме­ре­ния ис­ко­мой ве­ли­чи­ны.

3
Пра­виль­но за­пи­са­ны все не­об­хо­ди­мые по­ло­же­ния тео­рии, фи­зи­че­ские за­ко­ны, за­ко­но­мер­но­сти, и про­ве­де­ны не­об­хо­ди­мые пре­об­ра­зо­ва­ния. Но име­ют­ся один или не­сколь­ко из сле­ду­ю­щих не­до­стат­ков.

За­пи­си, со­от­вет­ству­ю­щие пунк­ту II, пред­став­ле­ны не в пол­ном объ­е­ме или от­сут­ству­ют.

И (ИЛИ)

В ре­ше­нии име­ют­ся лиш­ние за­пи­си, не вхо­дя­щие в ре­ше­ние (воз­мож­но, не­вер­ные), ко­то­рые не от­де­ле­ны от ре­ше­ния (не за­черк­ну­ты; не за­клю­че­ны в скоб­ки, рамку и т. п.).

И (ИЛИ)

В не­об­хо­ди­мых ма­те­ма­ти­че­ских пре­об­ра­зо­ва­ни­ях или вы­чис­ле­ни­ях до­пу­ще­ны ошиб­ки, и (или) в ма­те­ма­ти­че­ских пре­об­ра­зо­ва­ни­ях/⁠вы­чис­ле­ни­ях про­пу­ще­ны ло­ги­че­ски важ­ные шаги.

И (ИЛИ)

От­сут­ству­ет пункт IV, или в нем до­пу­ще­на ошиб­ка.

2
Пред­став­ле­ны за­пи­си, со­от­вет­ству­ю­щие од­но­му из сле­ду­ю­щих слу­ча­ев.

Пред­став­ле­ны толь­ко по­ло­же­ния и фор­му­лы, вы­ра­жа­ю­щие фи­зи­че­ские за­ко­ны, при­ме­не­ние ко­то­рых не­об­хо­ди­мо для ре­ше­ния дан­ной за­да­чи, без каких-⁠либо пре­об­ра­зо­ва­ний с их ис­поль­зо­ва­ни­ем, на­прав­лен­ных на ре­ше­ние за­да­чи.

ИЛИ

В ре­ше­нии от­сут­ству­ет ОДНА из ис­ход­ных фор­мул, не­об­хо­ди­мая для ре­ше­ния дан­ной за­да­чи (или утвер­жде­ние, ле­жа­щее в ос­но­ве ре­ше­ния), но при­сут­ству­ют ло­ги­че­ски вер­ные пре­об­ра­зо­ва­ния с име­ю­щи­ми­ся фор­му­ла­ми, на­прав­лен­ные на ре­ше­ние за­да­чи.

ИЛИ

В ОДНОЙ из ис­ход­ных фор­мул, не­об­хо­ди­мых для ре­ше­ния дан­ной за­да­чи (или в утвер­жде­нии, ле­жа­щем в ос­но­ве ре­ше­ния), до­пу­ще­на ошиб­ка, но при­сут­ству­ют ло­ги­че­ски вер­ные пре­об­ра­зо­ва­ния с име­ю­щи­ми­ся фор­му­ла­ми, на­прав­лен­ные на ре­ше­ние за­да­чи.

1
Все слу­чаи ре­ше­ния, ко­то­рые не со­от­вет­ству­ют вы­ше­ука­зан­ным кри­те­ри­ям вы­став­ле­ния оце­нок в 1, 2, 3 балла.0
Мак­си­маль­ный балл4
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025