Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 26 № 31949
i

Тон­кая пря­мая од­но­род­ная па­лоч­ка дли­ной l уста­нов­ле­на на ребре не­по­движ­ной приз­мы, во­круг ко­то­ро­го она может сво­бод­но вра­щать­ся в вер­ти­каль­ной плос­ко­сти (см. ри­су­нок). Точка опоры па­лоч­ки на­хо­дит­ся ближе к ее ле­во­му концу, на рас­сто­я­нии дробь: чис­ли­тель: l, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби от ее се­ре­ди­ны. К ле­во­му концу па­лоч­ки на лег­ких нитях под­ве­шен за ось не­ве­со­мый блок, ко­то­рый может вра­щать­ся во­круг нее без тре­ния. Через блок пе­ре­ки­ну­та лег­кая не­рас­тя­жи­мая нить, на кон­цах ко­то­рой за­креп­ле­ны грузы мас­са­ми m_1 = 0,6кг и m_2 = 0,9кг. К пра­во­му концу па­лоч­ки на лег­кой нити под­ве­шен груз мас­сой M = 0,9кг.

Сде­лай­те ри­су­нок с ука­за­ни­ем сил, дей­ству­ю­щих на па­лоч­ку и на все грузы. Чему равна масса m па­лоч­ки, если она на­хо­дит­ся в рав­но­ве­сии в го­ри­зон­таль­ном по­ло­же­нии при дви­же­нии гру­зов m1 и m2 и вра­ще­нии блока? Обос­нуй­те при­ме­ни­мость ис­поль­зу­е­мых за­ко­нов к ре­ше­нию за­да­чи.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обос­но­ва­ние.

1.  Си­сте­му от­сче­та, свя­зан­ную с Зем­лей, будем счи­тать инер­ци­аль­ной (ИСО).

2.  Будем счи­тать па­лоч­ку аб­со­лют­но твер­дым телом. Усло­вие рав­но­ве­сия в ИСО аб­со­лют­но твер­до­го тела, ко­то­рое может вра­щать­ся во­круг не­ко­то­рой оси  — ра­вен­ство нулю суммы всех внеш­них сил, при­ло­жен­ных к телу, и суммы мо­мен­тов всех внеш­них сил от­но­си­тель­но этой оси.

3.  По­сколь­ку все нити и блок лег­кие, а тре­ния в оси блока нет, мо­ду­ли сил на­тя­же­ния T1, T2 и T вдоль каж­дой из нитей в любой их точке оди­на­ко­вы (см. ри­су­нок в ре­ше­нии).

4.  По­сколь­ку ис­поль­зу­ет­ся ИСО, то для опи­са­ния дви­же­ния си­сте­мы из блока с гру­за­ми на нити можно ис­поль­зо­вать вто­рой закон Нью­то­на.

Пе­рей­дем к ре­ше­нию.

1.  Изоб­ра­зим на ри­сун­ке силы, дей­ству­ю­щие на па­лоч­ку и на грузы.

На па­лоч­ку мас­сой m дей­ству­ют при­ло­жен­ная к ее се­ре­ди­не сила тя­же­сти m\vecg, при­ло­жен­ная к ее ле­во­му концу вниз сила на­тя­же­ния нити T2, при­ло­жен­ная к ее пра­во­му концу вниз сила на­тя­же­ния нити T и на­прав­лен­ная вверх сила ре­ак­ции \vecN в точке опоры. Сумма этих сил в по­ло­же­нии рав­но­ве­сия равна нулю.

2.  Сумма мо­мен­тов этих сил от­но­си­тель­но точки опоры па­лоч­ки в рав­но­ве­сии также долж­на рав­нять­ся нулю:

T_2 умно­жить на 0,4l=mg умно­жить на 0,1l плюс T умно­жить на 0,6l.

Далее надо найти T и T2.

3.  На­пра­вим ось OX вниз и за­пи­шем усло­вие рав­но­ве­сия груза мас­сой M в про­ек­ции на эту ось: T = Mg. Из усло­вия рав­но­ве­сия не­ве­со­мо­го блока сле­ду­ет, что T_2 = 2T_1, так что те­перь надо найти T_1.

4.  За­пи­шем урав­не­ния дви­же­ния (вто­рой закон Нью­то­на) в про­ек­ции на ось OX для гру­зов m_1 и m_2:

m_1a_1 = m_1g – T_1; m_2a_2 = m_2g – T_1.

С уче­том ра­вен­ства мо­ду­лей уско­ре­ний a1 и a2 и про­ти­во­по­лож­но­сти зна­ков их про­ек­ций в силу не­рас­тя­жи­мо­сти нити a_1 = –a_2, по­де­лив пер­вое урав­не­ние на m1, а вто­рое  — на m2 и сло­жив по­лу­чен­ные урав­не­ния, имеем:

0 = 2g –T_1 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: m_1 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: m_2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ,

от­ку­да T_1 = дробь: чис­ли­тель: 2m_1m_2g, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка m_1 плюс m_2 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

5.  Под­став­ляя най­ден­ные силы на­тя­же­ния нитей T = Mg и

T_2 = 2T_1 = дробь: чис­ли­тель: 4m_1m_2g, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка m_1 плюс m_2 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби

в урав­не­ние мо­мен­тов, деля его на оди­на­ко­вые мно­жи­те­ли lg и умно­жая на 10, по­лу­ча­ем:

дробь: чис­ли­тель: 4 умно­жить на 4m_1m_2, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка m_1 плюс m_2 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = m плюс 6M,

от­ку­да, ис­поль­зуя чис­лен­ные дан­ные из усло­вия, по­лу­ча­ем:

m = дробь: чис­ли­тель: 16m_1m_2, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка m_1 плюс m_2 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби минус 6M= дробь: чис­ли­тель: 16 умно­жить на 0,6 умно­жить на 0,9, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 0,6 плюс 0,9 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби минус 6 умно­жить на 0,9=0,36 кг.

Ответ: 0,36 кг.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Кри­те­рий 1

Верно обос­но­ва­на воз­мож­ность ис­поль­зо­ва­ния за­ко­нов (за­ко­но­мер­но­стей). В дан­ном слу­чае: выбор инер­ци­аль­ной си­сте­мы от­сче­та, мо­дель аб­со­лют­но твер­до­го тела и усло­вия его рав­но­ве­сия,

учет не­ве­со­мо­сти и не­рас­тя­жи­мо­сти нитей, воз­мож­ность при­ме­не­ния вто­ро­го за­ко­на Нью­то­на для дви­жу­щих­ся гру­зов.

1

В обос­но­ва­нии воз­мож­но­сти ис­поль­зо­ва­ния за­ко­нов (за­ко­но­мер­но­стей) до­пу­ще­на ошиб­ка.

ИЛИ

Обос­но­ва­ние от­сут­ству­ет

0
Кри­те­рий 2
При­ве­де­но пол­ное ре­ше­ние, вклю­ча­ю­щее сле­ду­ю­щие эле­мен­ты:

I) за­пи­са­ны по­ло­же­ния тео­рии и фи­зи­че­ские за­ко­ны, за­ко­но­мер­но­сти, при­ме­не­ние ко­то­рых не­об­хо­ди­мо для ре­ше­ния за­да­чи вы­бран­ным спо­со­бом (в дан­ном слу­чае: за­ко­ны со­хра­не­ния им­пуль­са и ме­ха­ни­че­ской энер­гии при аб­со­лют­но упру­гом столк­но­ве­нии оди­на­ко­вых ма­лень­ких ша­ри­ков, а также ки­не­ма­ти­че­ские и гео­мет­ри­че­ские со­от­но­ше­ния);

II) опи­са­ны все вновь вво­ди­мые в ре­ше­нии бук­вен­ные обо­зна­че­ния фи­зи­че­ских ве­ли­чин (за ис­клю­че­ни­ем обо­зна­че­ний кон­стант, ука­зан­ных в ва­ри­ан­те КИМ, обо­зна­че­ний ве­ли­чин, ис­поль­зу­е­мых в усло­вии за­да­чи, и стан­дарт­ных обо­зна­че­ний ве­ли­чин, ис­поль­зу­е­мых при на­пи­са­нии фи­зи­че­ских за­ко­нов);

III) про­ве­де­ны не­об­хо­ди­мые ма­те­ма­ти­че­ские пре­об­ра­зо­ва­ния и рас­че­ты, при­во­дя­щие к пра­виль­но­му чис­ло­во­му от­ве­ту (до­пус­ка­ет­ся ре­ше­ние «по ча­стям» с про­ме­жу­точ­ны­ми вы­чис­ле­ни­я­ми);

IV) пред­став­лен пра­виль­ный ответ с ука­за­ни­ем еди­ниц из­ме­ре­ния ис­ко­мой ве­ли­чи­ны.

3
Пра­виль­но за­пи­са­ны все не­об­хо­ди­мые по­ло­же­ния тео­рии, фи­зи­че­ские за­ко­ны, за­ко­но­мер­но­сти, и про­ве­де­ны не­об­хо­ди­мые пре­об­ра­зо­ва­ния. Но име­ют­ся один или не­сколь­ко из сле­ду­ю­щих не­до­стат­ков. За­пи­си, со­от­вет­ству­ю­щие пунк­ту II, пред­став­ле­ны не в пол­ном объ­е­ме или от­сут­ству­ют.

И (

ИЛИ

)

В ре­ше­нии име­ют­ся лиш­ние за­пи­си, не вхо­дя­щие в ре­ше­ние (воз­мож­но, не­вер­ные), ко­то­рые не от­де­ле­ны от ре­ше­ния (не за­черк­ну­ты; не за­клю­че­ны в скоб­ки, рамку и т. п.).

И (

ИЛИ

)

В не­об­хо­ди­мых ма­те­ма­ти­че­ских пре­об­ра­зо­ва­ни­ях или вы­чис­ле­ни­ях до­пу­ще­ны ошиб­ки, и (или) в ма­те­ма­ти­че­ских пре­об­ра­зо­ва­ни­ях/вы­чис­ле­ни­ях про­пу­ще­ны ло­ги­че­ски важ­ные шаги.

И (

ИЛИ

)

От­сут­ству­ет пункт IV, или в нем до­пу­ще­на ошиб­ка (в том числе в за­пи­си еди­ниц из­ме­ре­ния ве­ли­чи­ны).

2
Пред­став­ле­ны за­пи­си, со­от­вет­ству­ю­щие од­но­му из сле­ду­ю­щих слу­ча­ев.

Пред­став­ле­ны толь­ко по­ло­же­ния и фор­му­лы, вы­ра­жа­ю­щие фи­зи­че­ские за­ко­ны, при­ме­не­ние ко­то­рых не­об­хо­ди­мо для ре­ше­ния дан­ной за­да­чи, без каких-⁠либо пре­об­ра­зо­ва­ний с их ис­поль­зо­ва­ни­ем, на­прав­лен­ных на ре­ше­ние за­да­чи.

ИЛИ

В ре­ше­нии от­сут­ству­ет ОДНА из ис­ход­ных фор­мул, не­об­хо­ди­мая для ре­ше­ния дан­ной за­да­чи (или утвер­жде­ние, ле­жа­щее в ос­но­ве ре­ше­ния), но при­сут­ству­ют ло­ги­че­ски вер­ные пре­об­ра­зо­ва­ния с име­ю­щи­ми­ся фор­му­ла­ми, на­прав­лен­ные на ре­ше­ние за­да­чи.

ИЛИ

В ОДНОЙ из ис­ход­ных фор­мул, не­об­хо­ди­мых для ре­ше­ния дан­ной за­да­чи (или в утвер­жде­нии, ле­жа­щем в ос­но­ве ре­ше­ния), до­пу­ще­на ошиб­ка, но при­сут­ству­ют ло­ги­че­ски вер­ные пре­об­ра­зо­ва­ния с име­ю­щи­ми­ся фор­му­ла­ми, на­прав­лен­ные на ре­ше­ние за­да­чи.

1
Все слу­чаи ре­ше­ния, ко­то­рые не со­от­вет­ству­ют вы­ше­ука­зан­ным кри­те­ри­ям вы­став­ле­ния оце­нок в 1, 2, 3 балла0
Мак­си­маль­ный балл4

Аналоги к заданию № 31904: 31949 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: 1.3.2 Усло­вия рав­но­ве­сия твер­до­го тела в ИСО
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025