Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д30 C7 № 32086
i

На даче у школь­ни­ка на го­ри­зон­таль­ном полу тер­ра­сы сто­я­ла пласт­мас­со­вая ку­би­че­ская ем­кость для воды, ино­гда про­те­ка­ю­щей с крыши. Когда ем­кость за­пол­ни­лась на­по­ло­ви­ну, де­душ­ка по­про­сил внука вы­лить воду из нее, на­кло­нив во­круг од­но­го из ниж­них ребер куба, чтобы вода пе­ре­ли­ва­лась через со­сед­нее верх­нее ребро. Какую ра­бо­ту А со­вер­шил внук к мо­мен­ту на­ча­ла вы­те­ка­ния воды из ем­ко­сти, если про­цесс подъ­ема был очень мед­лен­ным, так что по­верх­ность воды все время оста­ва­лась го­ри­зон­таль­ной? Объем воды вна­ча­ле был равен V = 108л, квад­рат­ные стен­ки ем­ко­сти и ее днище тон­кие, од­но­род­ные, мас­сой m = 4кг каж­дая (свер­ху ем­кость от­кры­та).

Сде­лай­те ри­сун­ки с ука­за­ни­ем по­ло­же­ния цен­тров масс воды, днища и сте­нок ем­ко­сти до на­ча­ла на­кло­на ем­ко­сти и в мо­мент, когда вода на­чи­на­ет вы­ли­вать­ся.

Обос­нуй­те при­ме­ни­мость ис­поль­зу­е­мых за­ко­нов к ре­ше­нию за­да­чи.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обос­но­ва­ние.

1.  Си­сте­му от­сче­та, свя­зан­ную с Зем­лей, будем счи­тать инер­ци­аль­ной (ИСО).

2.  Будем счи­тать, что в про­цес­се мед­лен­но­го опро­ки­ды­ва­ния ем­кость с водой не при­об­ре­та­ет ки­не­ти­че­скую энер­гию, а ра­бо­та A внука идет толь­ко на уве­ли­че­ние по­тен­ци­аль­ной энер­гии си­сте­мы «ем­кость + вода».

3.  Воду будем счи­тать не­сжи­ма­е­мой жид­ко­стью.

4.  Гра­ви­та­ци­он­ное поле Земли в пре­де­лах ма­ло­го объ­е­ма си­сте­мы можно счи­тать од­но­род­ным, так что ее центр масс сов­па­да­ет с цен­тром тя­же­сти.

5.  В од­но­род­ном поле тя­же­сти по­тен­ци­аль­ную энер­гию тела будем счи­тать рав­ной нулю на уров­не пола тер­ра­сы.

Пе­рей­дем к ре­ше­нию.

1.  Для даль­ней­ших рас­че­тов не­об­хо­ди­мо опре­де­лить раз­ме­ры ку­би­че­ской ем­ко­сти, в ко­то­рой на­хо­дит­ся вода, то есть длину a ребра куба. Объем куба, со­глас­но усло­вию, вдвое боль­ше на­чаль­но­го объ­е­ма воды в нем, то есть он равен 2V = 216лит­ров = 0,216м в кубе = a в кубе от­ку­да a = 0,6м.

2.  Со­глас­но фор­му­ле для вы­чис­ле­ния по­ло­же­ния цен­тра масс си­сте­мы ма­те­ри­аль­ных точек, у каж­дой из пяти име­ю­щих­ся сте­нок куба центр масс на­хо­дит­ся в ее цен­тре, на рас­сто­я­нии дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби от ребер куба. Общий центр масс че­ты­рех бо­ко­вых сте­нок ем­ко­сти на­хо­дит­ся в цен­тре куба (точке С) на вы­со­те

CD = h_б1 = дробь: чис­ли­тель: \sum m_ih_i, зна­ме­на­тель: \sum m_i конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4m умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 4m конец дроби = дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби

над цен­тром (точ­кой D) ниж­ней грани (днища) куба, на ко­то­рой он стоит на го­ри­зон­таль­ном полу. Центр масс днища на­хо­дит­ся на полу: h_д1 = 0.

Центр масс воды (точка В1) вна­ча­ле на­хо­дит­ся, оче­вид­но, на вы­со­те

B_1D = h_в1 = дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби

над точ­кой D (см. рис. 1, плос­кость ко­то­ро­го пер­пен­ди­ку­ляр­на оси О по­во­ро­та ем­ко­сти, то есть пра­во­му ниж­не­му ребру куба).

3.  В мо­мент на­ча­ла вы­те­ка­ния воды из ем­ко­сти школь­ник по­вер­нул ее на угол альфа = 45 гра­ду­сов во­круг ниж­не­го ребра куба, так что го­ри­зон­таль­ная по­верх­ность воды до­стиг­ла спра­ва ребра от­кры­той свер­ху ем­ко­сти, а слева  — ребра, ко­то­рое вна­ча­ле было на полу тер­ра­сы. При этом объем воды в силу ее не­сжи­ма­е­мо­сти остал­ся преж­ним (см. рис. 2).

4.  При на­кло­не ем­ко­сти на угол альфа = 45 гра­ду­сов цен­тры масс C и D ча­стей куба не сме­ща­ют­ся от­но­си­тель­но него и под­ни­ма­ют­ся в вер­ти­каль­ном на­прав­ле­нии, пер­пен­ди­ку­ляр­ном полу тер­ра­сы. Опу­стив пер­пен­ди­ку­ляр из точки D на этот пол, в точку Е, на­хо­дим вы­со­ту подъ­ема цен­тра масс днища:

\Delta h_д=h_д2 минус h_д1=OD умно­жить на синус альфа = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

После по­во­ро­та от­рез­ка ОС = дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби во­круг точки О на угол альфа = 45 гра­ду­сов он при­ни­ма­ет

вер­ти­каль­ное по­ло­же­ние, так что

\Delta h_б = h_б2 – h_б1 = дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби – дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: a левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

5.  При на­кло­не ку­би­че­ской ем­ко­сти форма по­сто­ян­но­го объ­е­ма V воды ме­ня­ет­ся с пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да на тре­уголь­ную рав­но­бо­кую приз­му, центр масс ко­то­рой на­хо­дит­ся на рис. 2 в точке В2 пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан за­штри­хо­ван­но­го тре­уголь­ни­ка в се­че­нии этой приз­мы, на вы­со­те

h_в2=OB_2= левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка OC= дробь: чис­ли­тель: a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

По­это­му центр масс воды под­ни­ма­ет­ся на вы­со­ту

\Delta h_в=h_в2 минус h_в1= дробь: чис­ли­тель: a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

6.  Поле Земли можно счи­тать од­но­род­ным, и цен­тры тя­же­сти всех трех ча­стей нашей си­сте­мы сов­па­да­ют с их цен­тра­ми масс. Ра­бо­ты \Delta A_i по мед­лен­но­му подъ­ему этих ча­стей на вы­со­ты \Delta h_i равны уве­ли­че­ни­ям их по­тен­ци­аль­ных энер­гий:

\Delta A_i=\Delta E_по­тенц i=m_ig\Delta h_i.

Для чис­лен­но­го рас­че­та нам нужна еще масса воды

M=\rho V=1000 умно­жить на 108 умно­жить на 10 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =108кг.

7.  Те­перь можно найти ра­бо­ту школь­ни­ка:

A=\sum\Delta A_i=\sum m_i g\Delta h_i=mg\Delta h_д плюс 4mg\Delta h_б плюс Mg\Delta h_в=
= дробь: чис­ли­тель: mga, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 4mga левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Mga левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Сле­до­ва­тель­но,

A\approx дробь: чис­ли­тель: 4 умно­жить на 10 умно­жить на 0,6, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 2 умно­жить на 1,414 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 4 умно­жить на 4 умно­жить на 10 умно­жить на 0,6 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 1,414 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 108 умно­жить на 10 умно­жить на 0,6 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1,414, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус 0,25 пра­вая круг­лая скоб­ка \approx 8,487 плюс
плюс 19,872 плюс 143,424\approx 171,84Дж \approx 172Дж.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Кри­те­рий 1

Верно обос­но­ва­на воз­мож­ность ис­поль­зо­ва­ния за­ко­нов (за­ко­но­мер­но­стей). В дан­ном слу­чае: выбор инер­ци­аль­ной си­сте­мы от­сче­та, пре­не­бре­же­ние ки­не­ти­че­ской энер­ги­ей си­сте­мы и сжи­ма­е­мо­стью жид­ко­сти, сов­па­де­ние цен­тра масс и цен­тра тя­же­сти в од­но­род­ном поле тя­же­сти, выбор ну­ле­во­го зна­че­ния по­тен­ци­аль­ной энер­гии тела в од­но­род­ном поле тя­же­сти.

1

В обос­но­ва­нии воз­мож­но­сти ис­поль­зо­ва­ния за­ко­нов (за­ко­но­мер­но­стей) до­пу­ще­на ошиб­ка.

ИЛИ

Обос­но­ва­ние от­сут­ству­ет

0
Кри­те­рий 2
При­ве­де­но пол­ное ре­ше­ние, вклю­ча­ю­щее сле­ду­ю­щие эле­мен­ты:

I) за­пи­са­ны по­ло­же­ния тео­рии и фи­зи­че­ские за­ко­ны, за­ко­но­мер­но­сти, при­ме­не­ние ко­то­рых не­об­хо­ди­мо для ре­ше­ния за­да­чи вы­бран­ным спо­со­бом (в дан­ном слу­чае: за­ко­ны со­хра­не­ния им­пуль­са и ме­ха­ни­че­ской энер­гии при аб­со­лют­но упру­гом столк­но­ве­нии оди­на­ко­вых ма­лень­ких ша­ри­ков, а также ки­не­ма­ти­че­ские и гео­мет­ри­че­ские со­от­но­ше­ния);

II) опи­са­ны все вновь вво­ди­мые в ре­ше­нии бук­вен­ные обо­зна­че­ния фи­зи­че­ских ве­ли­чин (за ис­клю­че­ни­ем обо­зна­че­ний кон­стант, ука­зан­ных в ва­ри­ан­те КИМ, обо­зна­че­ний ве­ли­чин, ис­поль­зу­е­мых в усло­вии за­да­чи, и стан­дарт­ных обо­зна­че­ний ве­ли­чин, ис­поль­зу­е­мых при на­пи­са­нии фи­зи­че­ских за­ко­нов);

III) про­ве­де­ны не­об­хо­ди­мые ма­те­ма­ти­че­ские пре­об­ра­зо­ва­ния и рас­че­ты, при­во­дя­щие к пра­виль­но­му чис­ло­во­му от­ве­ту (до­пус­ка­ет­ся ре­ше­ние «по ча­стям» с про­ме­жу­точ­ны­ми вы­чис­ле­ни­я­ми);

IV) пред­став­лен пра­виль­ный ответ с ука­за­ни­ем еди­ниц из­ме­ре­ния ис­ко­мой ве­ли­чи­ны.

3
Пра­виль­но за­пи­са­ны все не­об­хо­ди­мые по­ло­же­ния тео­рии, фи­зи­че­ские за­ко­ны, за­ко­но­мер­но­сти, и про­ве­де­ны не­об­хо­ди­мые пре­об­ра­зо­ва­ния. Но име­ют­ся один или не­сколь­ко из сле­ду­ю­щих не­до­стат­ков. За­пи­си, со­от­вет­ству­ю­щие пунк­ту II, пред­став­ле­ны не в пол­ном объ­е­ме или от­сут­ству­ют.

И (

ИЛИ

)

В ре­ше­нии име­ют­ся лиш­ние за­пи­си, не вхо­дя­щие в ре­ше­ние (воз­мож­но, не­вер­ные), ко­то­рые не от­де­ле­ны от ре­ше­ния (не за­черк­ну­ты; не за­клю­че­ны в скоб­ки, рамку и т. п.).

И (

ИЛИ

)

В не­об­хо­ди­мых ма­те­ма­ти­че­ских пре­об­ра­зо­ва­ни­ях или вы­чис­ле­ни­ях до­пу­ще­ны ошиб­ки, и (или) в ма­те­ма­ти­че­ских пре­об­ра­зо­ва­ни­ях/вы­чис­ле­ни­ях про­пу­ще­ны ло­ги­че­ски важ­ные шаги.

И (

ИЛИ

)

От­сут­ству­ет пункт IV, или в нем до­пу­ще­на ошиб­ка (в том числе в за­пи­си еди­ниц из­ме­ре­ния ве­ли­чи­ны).

2
Пред­став­ле­ны за­пи­си, со­от­вет­ству­ю­щие од­но­му из сле­ду­ю­щих слу­ча­ев.

Пред­став­ле­ны толь­ко по­ло­же­ния и фор­му­лы, вы­ра­жа­ю­щие фи­зи­че­ские за­ко­ны, при­ме­не­ние ко­то­рых не­об­хо­ди­мо для ре­ше­ния дан­ной за­да­чи, без каких-⁠либо пре­об­ра­зо­ва­ний с их ис­поль­зо­ва­ни­ем, на­прав­лен­ных на ре­ше­ние за­да­чи.

ИЛИ

В ре­ше­нии от­сут­ству­ет ОДНА из ис­ход­ных фор­мул, не­об­хо­ди­мая для ре­ше­ния дан­ной за­да­чи (или утвер­жде­ние, ле­жа­щее в ос­но­ве ре­ше­ния), но при­сут­ству­ют ло­ги­че­ски вер­ные пре­об­ра­зо­ва­ния с име­ю­щи­ми­ся фор­му­ла­ми, на­прав­лен­ные на ре­ше­ние за­да­чи.

ИЛИ

В ОДНОЙ из ис­ход­ных фор­мул, не­об­хо­ди­мых для ре­ше­ния дан­ной за­да­чи (или в утвер­жде­нии, ле­жа­щем в ос­но­ве ре­ше­ния), до­пу­ще­на ошиб­ка, но при­сут­ству­ют ло­ги­че­ски вер­ные пре­об­ра­зо­ва­ния с име­ю­щи­ми­ся фор­му­ла­ми, на­прав­лен­ные на ре­ше­ние за­да­чи.

1
Все слу­чаи ре­ше­ния, ко­то­рые не со­от­вет­ству­ют вы­ше­ука­зан­ным кри­те­ри­ям вы­став­ле­ния оце­нок в 1, 2, 3 балла0
Мак­си­маль­ный балл4

Аналоги к заданию № 32086: 32146 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: 1.3.2 Усло­вия рав­но­ве­сия твер­до­го тела в ИСО
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026