На даче у школьника на горизонтальном полу террасы стояла пластмассовая кубическая емкость для воды, иногда протекающей с крыши. Когда емкость заполнилась наполовину, дедушка попросил внука вылить воду из нее, наклонив вокруг одного из нижних ребер куба, чтобы вода переливалась через соседнее верхнее ребро. Какую работу А совершил внук к моменту начала вытекания воды из емкости, если процесс подъема был очень медленным, так что поверхность воды все время оставалась горизонтальной? Объем воды вначале был равен 
квадратные стенки емкости и ее днище тонкие, однородные, массой 
каждая (сверху емкость открыта).
Сделайте рисунки с указанием положения центров масс воды, днища и стенок емкости до начала наклона емкости и в момент, когда вода начинает выливаться.
Обоснуйте применимость используемых законов к решению задачи.
Обоснование.
1. Систему отсчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной (ИСО).
2. Будем считать, что в процессе медленного опрокидывания емкость с водой не приобретает кинетическую энергию, а работа A внука идет только на увеличение потенциальной энергии системы «емкость + вода».
3. Воду будем считать несжимаемой жидкостью.
4. Гравитационное поле Земли в пределах малого объема системы можно считать однородным, так что ее центр масс совпадает с центром тяжести.
5. В однородном поле тяжести потенциальную энергию тела будем считать равной нулю на уровне пола террасы.
Перейдем к решению.
1. Для дальнейших расчетов необходимо определить размеры кубической емкости, в которой находится вода, то есть длину a ребра куба. Объем куба, согласно условию, вдвое больше начального объема воды в нем, то есть он равен 
откуда 
2. Согласно формуле для вычисления положения центра масс системы материальных точек, у каждой из пяти имеющихся стенок куба центр масс находится в ее центре, на расстоянии 
от ребер куба. Общий центр масс четырех боковых стенок емкости находится в центре куба (точке С) на высоте
Центр масс воды (точка В1) вначале находится, очевидно, на высоте
3. В момент начала вытекания воды из емкости школьник повернул ее на угол 
вокруг нижнего ребра куба, так что горизонтальная поверхность воды достигла справа ребра открытой сверху емкости, а слева — ребра, которое вначале было на полу террасы. При этом объем воды в силу ее несжимаемости остался прежним (см. рис. 2).
4. При наклоне емкости на угол центры масс C и D частей куба не смещаются относительно него и поднимаются в вертикальном направлении, перпендикулярном полу террасы. Опустив перпендикуляр из точки D на этот пол, в точку Е, находим высоту подъема центра масс днища:
После поворота отрезка 
вокруг точки О на угол он принимает
вертикальное положение, так что
5. При наклоне кубической емкости форма постоянного объема V воды меняется с прямоугольного параллелепипеда на треугольную равнобокую призму, центр масс которой находится на рис. 2 в точке В2 пересечения медиан заштрихованного треугольника в сечении этой призмы, на высоте
Поэтому центр масс воды поднимается на высоту
6. Поле Земли можно считать однородным, и центры тяжести всех трех частей нашей системы совпадают с их центрами масс. Работы 
по медленному подъему этих частей на высоты 
равны увеличениям их потенциальных энергий:
Для численного расчета нам нужна еще масса воды
7. Теперь можно найти работу школьника:
Следовательно,
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Критерий 1 | |
Верно обоснована возможность использования законов (закономерностей). В данном случае: выбор инерциальной системы отсчета, пренебрежение кинетической энергией системы и сжимаемостью жидкости, совпадение центра масс и центра тяжести в однородном поле тяжести, выбор нулевого значения потенциальной энергии тела в однородном поле тяжести. | 1 |
В обосновании возможности использования законов (закономерностей) допущена ошибка. ИЛИ Обоснование отсутствует | 0 |
| Критерий 2 | |
| Приведено полное решение, включающее следующие элементы: I) записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: законы сохранения импульса и механической энергии при абсолютно упругом столкновении одинаковых маленьких шариков, а также кинематические и геометрические соотношения); II) описаны все вновь вводимые в решении буквенные обозначения физических величин (за исключением обозначений констант, указанных в варианте КИМ, обозначений величин, используемых в условии задачи, и стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов); III) проведены необходимые математические преобразования и расчеты, приводящие к правильному числовому ответу (допускается решение «по частям» с промежуточными вычислениями); IV) представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины. | 3 |
| Правильно записаны все необходимые положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования. Но имеются один или несколько из следующих недостатков. Записи, соответствующие пункту II, представлены не в полном объеме или отсутствуют. И ( ИЛИ ) В решении имеются лишние записи, не входящие в решение (возможно, неверные), которые не отделены от решения (не зачеркнуты; не заключены в скобки, рамку и т. п.). И ( ИЛИ ) В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги. И ( ИЛИ ) Отсутствует пункт IV, или в нем допущена ошибка (в том числе в записи единиц измерения величины). | 2 |
| Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев. Представлены только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи. ИЛИ В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решения данной задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи. ИЛИ В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи. | 1 |
| Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3 балла | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
На даче у школьника на горизонтальном полу террасы стояла пластмассовая кубическая емкость для воды, иногда протекающей с крыши. Когда емкость заполнилась наполовину, дедушка попросил внука вылить воду из нее, наклонив вокруг одного из нижних ребер куба, чтобы вода переливалась через соседнее верхнее ребро. Оцените, на какую величину 
внук увеличит механическую энергию емкости с водой к моменту начала вытекания воды из емкости, если процесс подъема был очень медленным, так что поверхность воды все время оставалась горизонтальной? Объем воды вначале был равен 
квадратные стенки емкости и ее днище тонкие, однородные, массой 
каждая (сверху емкость открыта). Сделайте рисунки с указанием положения центров масс воды, днища и стенок емкости до начала наклона емкости и в момент, когда вода начинает выливаться.
Обоснуйте применимость используемых законов к решению задачи.
Обоснование.
1. Систему отсчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной (ИСО).
2. Будем считать, что в процессе медленного опрокидывания емкость с водой не приобретает кинетическую энергию, и поэтому внук, совершая работу, увеличивает только потенциальную энергию системы «емкость + вода».
3. Воду будем считать несжимаемой жидкостью.
4. Гравитационное поле Земли в пределах малого объема системы можно считать однородным, так что ее центр масс совпадает с центром тяжести.
5. В однородном поле тяжести потенциальную энергию тела будем считать равной нулю на уровне пола террасы.
Перейдем к решению.
1. Для дальнейших расчетов необходимо определить размеры кубической емкости, в которой находится вода, то есть длину a ребра куба. Объем куба, согласно условию, вдвое больше начального объема воды в нем, то есть он равен 
откуда 
2. Согласно формуле для вычисления положения центра масс системы материальных точек, у каждой из пяти имеющихся стенок куба центр масс находится в ее центре, на расстоянии от ребер куба. Общий центр масс четырех боковых стенок емкости находится в центре куба (точке С) на высоте
Центр масс воды (точка В1) вначале находится, очевидно, на высоте
3. В момент начала вытекания воды из емкости школьник повернул ее на угол вокруг нижнего ребра куба, так что горизонтальная поверхность воды достигла справа ребра открытой сверху емкости, а слева — ребра, которое вначале было на полу террасы. При этом объем воды в силу ее несжимаемости остался прежним (см. рис. 2).
4. При наклоне емкости на угол центры масс C и D частей куба не смещаются относительно него и поднимаются в вертикальном направлении, перпендикулярном полу террасы. Опустив перпендикуляр из точки D на этот пол, в точку Е, находим высоту подъема центра масс днища:
После поворота отрезка вокруг точки О на угол он принимает
вертикальное положение, так что
5. При наклоне кубической емкости форма постоянного объема V воды меняется с прямоугольного параллелепипеда на треугольную равнобокую призму, центр масс которой находится на рис. 2 в точке В2 пересечения медиан заштрихованного треугольника в сечении этой призмы, на высоте
Поэтому центр масс воды поднимается на высоту
6. Поле Земли можно считать однородным, и центры тяжести всех трех частей нашей системы совпадают с их центрами масс. При подъеме этих
частей на высоты увеличения их потенциальных энергий равны: 
Для численного расчета нам нужна еще масса воды
7. Теперь можно найти увеличение механической энергии емкости с водой, которое равно приращению потенциальной энергии системы:
Следовательно,
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Критерий 1 | |
Верно обоснована возможность использования законов (закономерностей). В данном случае: выбор инерциальной системы отсчета, пренебрежение кинетической энергией системы и сжимаемостью жидкости, совпадение центра масс и центра тяжести в однородном поле тяжести, выбор нулевого значения потенциальной энергии тела в однородном поле тяжести. | 1 |
В обосновании возможности использования законов (закономерностей) допущена ошибка. ИЛИ Обоснование отсутствует | 0 |
| Критерий 2 | |
| Приведено полное решение, включающее следующие элементы: I) записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: законы сохранения импульса и механической энергии при абсолютно упругом столкновении одинаковых маленьких шариков, а также кинематические и геометрические соотношения); II) описаны все вновь вводимые в решении буквенные обозначения физических величин (за исключением обозначений констант, указанных в варианте КИМ, обозначений величин, используемых в условии задачи, и стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов); III) проведены необходимые математические преобразования и расчеты, приводящие к правильному числовому ответу (допускается решение «по частям» с промежуточными вычислениями); IV) представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины. | 3 |
| Правильно записаны все необходимые положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования. Но имеются один или несколько из следующих недостатков. Записи, соответствующие пункту II, представлены не в полном объеме или отсутствуют. И ( ИЛИ ) В решении имеются лишние записи, не входящие в решение (возможно, неверные), которые не отделены от решения (не зачеркнуты; не заключены в скобки, рамку и т. п.). И ( ИЛИ ) В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги. И ( ИЛИ ) Отсутствует пункт IV, или в нем допущена ошибка (в том числе в записи единиц измерения величины). | 2 |
| Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев. Представлены только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи. ИЛИ В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решения данной задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи. ИЛИ В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи. | 1 |
| Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3 балла | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Наверх