Небольшое тело начинает скользить без начальной скорости с высоты H = 2,16 м по жёсткому наклонному жёлобу, имеющему горизонтальный участок, который затем переходит в полуокружность радиусом
(см. рисунок). Жёлоб закреплён в вертикальной плоскости, все его участки плавно состыкованы. Через какое время после отрыва от жёлоба модуль скорости тела будет минимальным? Трение отсутствует. Обоснуйте применимость законов, использованных для решения задачи.
Обоснование
1. Задачу будем решать в инерциальной системе отсчёта, связанной с жёлобом.
2. Будем считать тело материальной точкой, так как его размерами можно пренебречь.
3. Для определения точки отрыва тела от жёлоба будем применять второй закон Ньютона, справедливый в выбранной инерциальной системе отсчета.
4. Поскольку трение между телом и жёлобом отсутствует, для движущегося по жёлобу тела выполняется закон сохранения механической энергии.
5. Так как трение о воздух отсутствует, после отрыва от жёлоба тело полетит по параболе, и можно применять кинематические уравнения, описывающие движение тела, брошенного под углом к горизонту.
Решение
1. Докажем, что тело не может дойти до наивысшей точки A той части жёлоба, которая имеет вид полуокружности. Действительно, эта точка расположена на высоте H, и поэтому, согласно закону сохранения механической энергии, тело в этой точке должно иметь нулевую скорость. При этом будет равно нулю и центростремительное ускорение тела. Но это противоречит второму закону Ньютона, поскольку не равна нулю сумма сил, действующих на тело в рассматриваемой точке A. Следовательно, тело оторвётся от жёлоба раньше, в некоторой точке B.
2. Пусть точка O — центр полуокружности. Обозначим угол, который составляет с горизонталью отрезок OB, через α, а скорость тела в точке B через V. Тогда по закону сохранения механической энергии
3. В точке отрыва тела от жёлоба сила нормальной реакции, действующая на тело со стороны жёлоба, равна нулю. Поэтому второй закон Ньютона, записанный в точке B для тела, движущегося по окружности радиусом 
имеет вид: 
Из записанных уравнений находим, что 
и 
4. Направим ось Y вертикально вверх, а ось X горизонтально в плоскости жёлоба. Тогда в момент отрыва от жёлоба вектор скорости тела составляет с осью Y угол α. Проекция скорости тела на ось X остаётся постоянной, а проекция скорости тела на ось Y изменяется с течением времени t по закону 
Поэтому модуль скорости тела после отрыва от жёлоба будет минимальным в момент t0 достижения телом максимальной высоты, когда проекция Vy обратится в ноль: 
С учётом того, что 
получаем:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Критерий 1 | |
Верно обоснована возможность использования законов (закономерностей) | 1 |
В обосновании возможности использования законов (закономерностей) допущена ошибка. ИЛИ Обоснование отсутствует | 0 |
| Критерий 2 | |
| Приведено полное решение, включающее следующие элементы: I) записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: второй и третий законы Ньютона, выражение для силы трения скольжения, условие равновесия твёрдого тела); II) описаны все вновь вводимые в решении буквенные обозначения физических величин (за исключением обозначений констант, указанных в варианте КИМ, обозначений величин, используемых в условии задачи, и стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов); III) проведены необходимые математические преобразования и расчёты, приводящие к правильному числовому ответу (допускается решение «по частям» с промежуточными вычислениями); IV) представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины | 3 |
| Правильно записаны все необходимые положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования. Но имеются один или несколько из следующих недостатков. Записи, соответствующие пункту II, представлены не в полном объёме или отсутствуют. И (ИЛИ) В решении имеются лишние записи, не входящие в решение (возможно, неверные), которые не отделены от решения (не зачёркнуты; не заключены в скобки, рамку и т.п.). И (ИЛИ) В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги. И (ИЛИ) Отсутствует пункт IV, или в нём допущена ошибка (в том числе в записи единиц измерения величины) | 2 |
| Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев. Представлены только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи. ИЛИ В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решения данной задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи. ИЛИ В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи | 1 |
| Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3 балла | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Небольшое тело начинает скользить без начальной скорости с высоты H = 0,54 м по жёсткому наклонному жёлобу, имеющему горизонтальный участок, который затем переходит в полуокружность радиусом
(см. рисунок). Жёлоб закреплён в вертикальной плоскости, все его участки плавно состыкованы. Через какое время после отрыва от жёлоба тело поднимется на максимальную высоту? Трение отсутствует. Обоснуйте применимость законов, использованных для решения задачи.
Обоснование
1. Задачу будем решать в инерциальной системе отсчёта, связанной с жёлобом.
2. Будем считать тело материальной точкой, так как его размерами можно пренебречь.
3. Для определения точки отрыва тела от жёлоба будем применять второй закон Ньютона, справедливый в выбранной инерциальной системе отсчета.
4. Поскольку трение между телом и жёлобом отсутствует, для движущегося по жёлобу тела выполняется закон сохранения механической энергии.
5. Так как трение о воздух отсутствует, после отрыва от жёлоба тело полетит по параболе, и можно применять кинематические уравнения, описывающие движение тела, брошенного под углом к горизонту.
Решение
1. Докажем, что тело не может дойти до наивысшей точки A той части жёлоба, которая имеет вид полуокружности. Действительно, эта точка расположена на высоте H, и поэтому, согласно закону сохранения механической энергии, тело в этой точке должно иметь нулевую скорость. При этом будет равно нулю и центростремительное ускорение тела. Но это противоречит второму закону Ньютона, поскольку не равна нулю сумма сил, действующих на тело в рассматриваемой точке A. Следовательно, тело оторвётся от жёлоба раньше, в некоторой точке B.
2. Пусть точка O — центр полуокружности. Обозначим угол, который составляет с горизонталью отрезок OB, через α, а скорость тела в точке B через V. Тогда по закону сохранения механической энергии
3. В точке отрыва тела от жёлоба сила нормальной реакции, действующая на тело со стороны жёлоба, равна нулю. Поэтому второй закон Ньютона, записанный в точке B для тела, движущегося по окружности радиусом имеет вид: 
Из записанных уравнений находим, что и 
4. Направим ось Y вертикально вверх. Тогда в момент отрыва от жёлоба вектор скорости тела составляет с этой осью угол α. Проекция скорости тела на ось Y изменяется с течением времени t по закону В момент t0 достижения телом максимальной высоты проекция Vy обратится в ноль: С учётом того, что получаем:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Критерий 1 | |
Верно обоснована возможность использования законов (закономерностей) | 1 |
В обосновании возможности использования законов (закономерностей) допущена ошибка. ИЛИ Обоснование отсутствует | 0 |
| Критерий 2 | |
| Приведено полное решение, включающее следующие элементы: I) записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: второй и третий законы Ньютона, выражение для силы трения скольжения, условие равновесия твёрдого тела); II) описаны все вновь вводимые в решении буквенные обозначения физических величин (за исключением обозначений констант, указанных в варианте КИМ, обозначений величин, используемых в условии задачи, и стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов); III) проведены необходимые математические преобразования и расчёты, приводящие к правильному числовому ответу (допускается решение «по частям» с промежуточными вычислениями); IV) представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины | 3 |
| Правильно записаны все необходимые положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования. Но имеются один или несколько из следующих недостатков. Записи, соответствующие пункту II, представлены не в полном объёме или отсутствуют. И (ИЛИ) В решении имеются лишние записи, не входящие в решение (возможно, неверные), которые не отделены от решения (не зачёркнуты; не заключены в скобки, рамку и т.п.). И (ИЛИ) В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги. И (ИЛИ) Отсутствует пункт IV, или в нём допущена ошибка (в том числе в записи единиц измерения величины) | 2 |
| Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев. Представлены только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи. ИЛИ В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решения данной задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи. ИЛИ В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи | 1 |
| Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3 балла | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Наверх