Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 26 № 39269
i

Пла­сти­ли­но­вый шарик в мо­мент t  =  0 бро­са­ют с го­ри­зон­таль­ной по­верх­но­сти Земли под углом α к го­ри­зон­ту. Од­но­вре­мен­но с не­ко­то­рой вы­со­ты над по­верх­но­стью Земли на­чи­на­ет па­дать из со­сто­я­ния покоя дру­гой такой же шарик. Ша­ри­ки аб­со­лют­но не­упру­го стал­ки­ва­ют­ся в воз­ду­хе. Сразу после столк­но­ве­ния ско­рость ша­ри­ков на­прав­ле­на го­ри­зон­таль­но. Время от столк­но­ве­ния ша­ри­ков до их па­де­ния на Землю равно τ. С какой на­чаль­ной ско­ро­стью υ0 был бро­шен пер­вый шарик? Со­про­тив­ле­ни­ем воз­ду­ха пре­не­бречь.

ИЛИ

На го­ри­зон­таль­ном столе на­хо­дит­ся бру­сок мас­сой M  =  1 кг, со­еди­нен­ный не­ве­со­мой не­рас­тя­жи­мой нитью, пе­ре­ки­ну­той через глад­кий не­ве­со­мый блок, с гру­зом мас­сой m  =  500 г. На бру­сок дей­ству­ет сила \vecF, на­прав­лен­ная под углом α  =  30° к го­ри­зон­ту (см. рис.), F  =  9 Н. В мо­мент на­ча­ла дви­же­ния груз на­хо­дит­ся на рас­сто­я­нии L  =  32 см от края стола. Какую ско­рость V будет иметь груз в тот мо­мент, когда он под­ни­мет­ся до края стола, если ко­эф­фи­ци­ент тре­ния между брус­ком и сто­лом μ  =  0,3? Сде­лай­те схе­ма­ти­че­ский ри­су­нок с ука­за­ни­ем сил, дей­ству­ю­щих на бру­сок и груз. Обос­нуй­те при­ме­ни­мость за­ко­нов, ис­поль­зу­е­мых для ре­ше­ния за­да­чи.

 

ИЛИ

Не­ве­со­мый стер­жень АВ с двумя ма­лы­ми гру­зи­ка­ми мас­са­ми m1  =  100 г и m2  =  200 г, рас­по­ло­жен­ны­ми в точ­ках C и B со­от­вет­ствен­но, шар­нир­но за­креплён в точке А. Груз мас­сой M  =  200 г под­ве­шен к иде­аль­но­му блоку за не­ве­со­мую и не­рас­тя­жи­мую нить, дру­гой конец ко­то­рой со­единён с ниж­ним кон­цом стерж­ня, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Вся си­сте­ма на­хо­дит­ся в рав­но­ве­сии, если стер­жень от­клонён от вер­ти­ка­ли на угол α  =  45°, а нить со­став­ля­ет угол с вер­ти­ка­лью, рав­ный β  =  15°. Рас­сто­я­ние АС  =  b  =  25 см. Опре­де­ли­те длину l стерж­ня АВ, пре­не­бре­гая тре­ни­ем в шар­ни­ре. Сде­лай­те ри­су­нок с ука­за­ни­ем сил, дей­ству­ю­щих на груз M и стер­жень.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обос­но­ва­ние.

1.  Вы­бе­рем инер­ци­аль­ную си­сте­му отсчёта, свя­зан­ную с Землёй. За на­ча­ло отсчёта ко­ор­ди­нат при­мем пер­во­на­чаль­ное по­ло­же­ние пер­во­го ша­ри­ка.

2.  Ша­ри­ки будем счи­тать ма­те­ри­аль­ны­ми точ­ка­ми.

3.  Так как со­про­тив­ле­ни­ем воз­ду­ха можно пре­не­бречь, то дви­же­ние ша­ри­ков можно счи­тать сво­бод­ным па­де­ни­ем.

4.  Счи­та­ем время вза­и­мо­дей­ствия ша­ри­ков при не­упру­гом столк­но­ве­нии малым. Сле­до­ва­тель­но, им­пуль­сом внеш­ней силы (силы тя­же­сти) за это время можно пре­не­бречь. Зна­чит, им­пульс си­сте­мы двух ша­ри­ков при столк­но­ве­нии со­хра­ня­ет­ся.

 

Пе­рей­дем к ре­ше­нию.

1.  Пер­вый шарик на­чи­на­ет дви­же­ние из на­ча­ла ко­ор­ди­нат, а вто­рой  — из точки A. До и после столк­но­ве­ния (про­ис­хо­дя­ще­го в точке B) ша­ри­ки сво­бод­но па­да­ют. По­это­му до столк­но­ве­ния для пер­во­го ша­ри­ка

y_1 левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка = v _0 y t минус дробь: чис­ли­тель: g t в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = v _0 синус альфа умно­жить на t минус дробь: чис­ли­тель: g t в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

v _1 y левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка = v _0 синус альфа минус g t,

а для вто­ро­го ша­ри­ка

v _2 y левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка = минус g t .

2.  Ша­ри­ки стал­ки­ва­ют­ся в мо­мент t1, при этом им­пульс си­сте­мы двух ша­ри­ков со­хра­ня­ет­ся: m \vec v _1 плюс m \vec v _2=2 m \vecu_0, а ско­рость \vecu_0 ша­ри­ков после удара со­глас­но усло­вию го­ри­зон­таль­на. По­это­му

v _1 y левая круг­лая скоб­ка t_1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс v _2 y левая круг­лая скоб­ка t_1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка v _0 синус альфа минус g t_1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка минус g t_1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но t_1= дробь: чис­ли­тель: v _0 синус альфа , зна­ме­на­тель: 2 g конец дроби .

3.  Столк­но­ве­ние ша­ри­ков про­ис­хо­дит на вы­со­те

h=y_1 левая круг­лая скоб­ка t_1 пра­вая круг­лая скоб­ка = v _0 синус альфа умно­жить на t_1 минус дробь: чис­ли­тель: g t_1 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: v _0 в квад­ра­те синус в квад­ра­те альфа , зна­ме­на­тель: 2 g конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: v _0 в квад­ра­те синус в квад­ра­те альфа , зна­ме­на­тель: 8 g конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: v _0 в квад­ра­те синус в квад­ра­те альфа , зна­ме­на­тель: g конец дроби .

4.  По­сколь­ку ско­рость \vecu_0 ша­ри­ков после удара го­ри­зон­таль­на, ин­гер­вал вре­ме­ни τ от столк­но­ве­ния ша­ри­ков до их па­де­ния на Землю на­хо­дит­ся из усло­вия h = дробь: чис­ли­тель: g \tau в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , от­ку­да

\tau = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 2 h, зна­ме­на­тель: g конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на дробь: чис­ли­тель: v _0 синус альфа , зна­ме­на­тель: 2 g конец дроби .

Таким об­ра­зом,

v _0= дробь: чис­ли­тель: 2 g \tau, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на синус альфа конец дроби .

Ответ: v _0= дробь: чис­ли­тель: 2 g \tau, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на синус альфа конец дроби .

ИЛИ

За­да­чу будем ре­шать в инер­ци­аль­ной си­сте­ме от­сче­та, свя­зан­ной со сто­лом. При на­хож­де­нии уско­ре­ний тел будем при­ме­нять вто­рой закон Нью­то­на, сфор­му­ли­ро­ван­ный для ма­те­ри­аль­ных точек, по­сколь­ку тела дви­жут­ся по­сту­па­тель­но. Тре­ни­ем в оси блока и о воз­дух пре­не­бре­жем; блок будем счи­тать не­ве­со­мым. На ри­сун­ке по­ка­за­ны силы, дей­ству­ю­щие на бру­сок и груз.

По­сколь­ку нить не­рас­тя­жи­ма, уско­ре­ния брус­ка и груза равны по мо­ду­лю:

\left|\veca_1|=\left|\veca_2|=a. (1)

По­сколь­ку блок и нить не­ве­со­мы и тре­ния в блоке нет, то силы на­тя­же­ния нити, дей­ству­ю­щие на груз и бру­сок, оди­на­ко­вы по мо­ду­лю:

\left|\vecT_1|=\left|\vecT_2|=T . (2)

За­пи­шем вто­рой закон Нью­то­на в про­ек­ци­ях на оси Ox и Oy вы­бран­ной си­сте­мы ко­ор­ди­нат. Учи­ты­вая (1) и (2), по­лу­чим:

\beginaligned F ко­си­нус альфа минус T минус F_\text тр =M a , N плюс F синус альфа =M g, T минус m g=m a . \endaligned

Сила тре­ния, дей­ству­ю­щая на бру­сок, F  =  μN. Решая по­лу­чен­ную си­сте­му урав­не­ний, най­дем уско­ре­ние тел:

a= дробь: чис­ли­тель: F левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус альфа плюс \mu синус альфа пра­вая круг­лая скоб­ка минус m g минус \mu M g, зна­ме­на­тель: M плюс m конец дроби .

По­сколь­ку на­чаль­ная ско­рость груза была равна нулю, L= дробь: чис­ли­тель: V в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 a конец дроби . Окон­ча­тель­но по­лу­чим:

V= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 a L конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 L левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: F левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус альфа плюс \mu синус альфа пра­вая круг­лая скоб­ка минус m g минус \mu M g, зна­ме­на­тель: M плюс m конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та =
= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 умно­жить на 0,32 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 9 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка \tfrac ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 0,3 умно­жить на 0,5 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 0,5 умно­жить на 10 минус 0,3 умно­жить на 1 умно­жить на 10 конец ар­гу­мен­та 1 плюс 0,5 пра­вая круг­лая скоб­ка =0,7 м/с.

Ответ: 0,7 м/⁠с.

ИЛИ

Обос­но­ва­ние.

1.  Рас­смот­рим за­да­чу в си­сте­ме отсчёта, свя­зан­ной с Землёй. Будем счи­тать эту си­сте­му отсчёта инер­ци­аль­ной (ИСО).

2.  Опи­шем стер­жень мо­де­лью твёрдого тела (форма и раз­ме­ры тела не­из­мен­ны, рас­сто­я­ние между лю­бы­ми двумя точ­ка­ми тела остаётся не­из­мен­ным).

3.  Стер­жень на­хо­дит­ся в рав­но­ве­сии от­но­си­тель­но вра­ща­тель­но­го дви­же­ния, по­это­му сумма мо­мен­тов сил от­но­си­тель­но оси, про­хо­дя­щей пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ри­сун­ка через точку A, равна нулю.

4.  Груз опи­шем мо­де­лью ма­те­ри­аль­ной точки.

5.  Нить не­рас­тя­жи­ма, по­это­му, если по­ко­ит­ся груз, то по­ко­ит­ся и стер­жень.

6.  Груз на­хо­дит­ся в покое от­но­си­тель­но по­сту­па­тель­но­го дви­же­ния, сле­до­ва­тель­но, сумма сил, дей­ству­ю­щих на него, равна нулю.

7.  Нить не­ве­со­ма, блок иде­а­лен (масса блока ни­чтож­на, тре­ния нет), по­это­му мо­дуль силы на­тя­же­ния нити в любой её точке один и тот же.

 

Пе­рей­дем к ре­ше­нию.

1.  Введём де­кар­то­ву си­сте­му ко­ор­ди­нат хОу, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. По­сколь­ку груз на­хо­дит­ся в рав­но­ве­сии, со­глас­но вто­ро­му за­ко­ну Нью­то­на

T_1 минус Mg=0. \qquad левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка

2.  На стер­жень с гру­за­ми m1 и m2 дей­ству­ют силы m_1 \vecg и m_2 \vecg, а также сила на­тя­же­ния нити \vecT_2, \left|\vecT_1|=\left|\vecT_2|=|T|. Кроме того, на стер­жень дей­ству­ет сила \vecF со сто­ро­ны шар­ни­ра. За­пи­шем усло­вие ра­вен­ства нулю суммы мо­мен­тов этих сил от­но­си­тель­но оси вра­ще­ния, про­хо­дя­щей через точку A  — точку шар­нир­но­го за­креп­ле­ния стерж­ня:

m_1 g умно­жить на b синус альфа плюс m_2 g умно­жить на l синус альфа минус T умно­жить на A D=0 . \qquad левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка

3.  Решив си­сте­му урав­не­ний (1) и (2), с учётом

A D=l синус \varphi=l синус левая круг­лая скоб­ка альфа плюс бета пра­вая круг­лая скоб­ка ,

по­лу­чим:

l= дробь: чис­ли­тель: m_1 умно­жить на b синус альфа , зна­ме­на­тель: M синус левая круг­лая скоб­ка альфа плюс бета пра­вая круг­лая скоб­ка минус m_2 синус альфа конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 100 умно­жить на 25 дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , зна­ме­на­тель: 200 дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 200 дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби =55,6 см.

Ответ: 55,6 см.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Кри­те­рий 1

Верно обос­но­ва­на воз­мож­ность ис­поль­зо­ва­ния за­ко­нов (за­ко­но­мер­но­стей)

1

В обос­но­ва­нии воз­мож­но­сти ис­поль­зо­ва­ния за­ко­нов (за­ко­но­мер­но­стей) до­пу­ще­на ошиб­ка.

ИЛИ

Обос­но­ва­ние от­сут­ству­ет

0
Кри­те­рий 2
При­ве­де­но пол­ное ре­ше­ние, вклю­ча­ю­щее сле­ду­ю­щие эле­мен­ты:

I) за­пи­са­ны по­ло­же­ния тео­рии и фи­зи­че­ские за­ко­ны, за­ко­но­мер­но­сти, при­ме­не­ние ко­то­рых не­об­хо­ди­мо для ре­ше­ния за­да­чи вы­бран­ным спо­со­бом (в дан­ном слу­чае: вто­рой и тре­тий за­ко­ны Нью­то­на, вы­ра­же­ние для силы тре­ния сколь­же­ния, усло­вие рав­но­ве­сия твёрдого тела);

II) опи­са­ны все вновь вво­ди­мые в ре­ше­нии бук­вен­ные обо­зна­че­ния фи­зи­че­ских ве­ли­чин (за ис­клю­че­ни­ем обо­зна­че­ний кон­стант, ука­зан­ных в ва­ри­ан­те КИМ, обо­зна­че­ний ве­ли­чин, ис­поль­зу­е­мых в усло­вии за­да­чи, и стан­дарт­ных обо­зна­че­ний ве­ли­чин, ис­поль­зу­е­мых при на­пи­са­нии фи­зи­че­ских за­ко­нов);

III) про­ве­де­ны не­об­хо­ди­мые ма­те­ма­ти­че­ские пре­об­ра­зо­ва­ния и расчёты, при­во­дя­щие к пра­виль­но­му чис­ло­во­му от­ве­ту (до­пус­ка­ет­ся ре­ше­ние «по ча­стям» с про­ме­жу­точ­ны­ми вы­чис­ле­ни­я­ми);

IV) пред­став­лен пра­виль­ный ответ с ука­за­ни­ем еди­ниц из­ме­ре­ния ис­ко­мой ве­ли­чи­ны

3
Пра­виль­но за­пи­са­ны все не­об­хо­ди­мые по­ло­же­ния тео­рии, фи­зи­че­ские за­ко­ны, за­ко­но­мер­но­сти, и про­ве­де­ны не­об­хо­ди­мые пре­об­ра­зо­ва­ния. Но име­ют­ся один или не­сколь­ко из сле­ду­ю­щих не­до­стат­ков.

За­пи­си, со­от­вет­ству­ю­щие пунк­ту II, пред­став­ле­ны не в пол­ном объёме или от­сут­ству­ют.

И (ИЛИ)

В ре­ше­нии име­ют­ся лиш­ние за­пи­си, не вхо­дя­щие в ре­ше­ние (воз­мож­но, не­вер­ные), ко­то­рые не от­де­ле­ны от ре­ше­ния (не зачёрк­ну­ты; не за­клю­че­ны в скоб­ки, рамку и т.п.).

И (ИЛИ)

В не­об­хо­ди­мых ма­те­ма­ти­че­ских пре­об­ра­зо­ва­ни­ях или вы­чис­ле­ни­ях до­пу­ще­ны ошиб­ки, и (или) в ма­те­ма­ти­че­ских

пре­об­ра­зо­ва­ни­ях/вы­чис­ле­ни­ях про­пу­ще­ны ло­ги­че­ски важ­ные шаги.

И (ИЛИ)

От­сут­ству­ет пункт IV, или в нём до­пу­ще­на ошиб­ка (в том числе в за­пи­си еди­ниц из­ме­ре­ния ве­ли­чи­ны)

2
Пред­став­ле­ны за­пи­си, со­от­вет­ству­ю­щие од­но­му из сле­ду­ю­щих слу­ча­ев.

Пред­став­ле­ны толь­ко по­ло­же­ния и фор­му­лы, вы­ра­жа­ю­щие фи­зи­че­ские за­ко­ны, при­ме­не­ние ко­то­рых не­об­хо­ди­мо для ре­ше­ния дан­ной за­да­чи, без каких-либо пре­об­ра­зо­ва­ний с их ис­поль­зо­ва­ни­ем, на­прав­лен­ных на ре­ше­ние за­да­чи.

ИЛИ

В ре­ше­нии от­сут­ству­ет ОДНА из ис­ход­ных фор­мул, не­об­хо­ди­мая для ре­ше­ния дан­ной за­да­чи (или утвер­жде­ние, ле­жа­щее в ос­но­ве ре­ше­ния), но при­сут­ству­ют ло­ги­че­ски вер­ные пре­об­ра­зо­ва­ния с име­ю­щи­ми­ся фор­му­ла­ми, на­прав­лен­ные на ре­ше­ние за­да­чи.

ИЛИ

В ОДНОЙ из ис­ход­ных фор­мул, не­об­хо­ди­мых для ре­ше­ния дан­ной за­да­чи (или в утвер­жде­нии, ле­жа­щем в ос­но­ве ре­ше­ния), до­пу­ще­на ошиб­ка, но при­сут­ству­ют ло­ги­че­ски вер­ные пре­об­ра­зо­ва­ния с име­ю­щи­ми­ся фор­му­ла­ми, на­прав­лен­ные на ре­ше­ние за­да­чи

1
Все слу­чаи ре­ше­ния, ко­то­рые не со­от­вет­ству­ют вы­ше­ука­зан­ным кри­те­ри­ям вы­став­ле­ния оце­нок в 1, 2, 3 балла0
Мак­си­маль­ный балл4
Источник: Де­мон­стра­ци­он­ная вер­сия ЕГЭ—2025 по фи­зи­ке
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025