Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 25 № 42079
i

Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC рас­по­ло­жен около тон­кой со­би­ра­ю­щей линзы с фо­кус­ным рас­сто­я­ни­ем F  =  3 см так, что катет AB лежит на глав­ной оп­ти­че­ской оси линзы (см. рис.). Рас­сто­я­ние от оп­ти­че­ско­го цен­тра O линзы до вер­ши­ны A остро­го угла этого тре­уголь­ни­ка равно OA  =  3F, длина ка­те­та BC равна F. Чему равно рас­сто­я­ние OB, если пло­щадь фи­гу­ры, яв­ля­ю­щей­ся изоб­ра­же­ни­ем тре­уголь­ни­ка ABC в линзе, в k  =  18 раз мень­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

1.  Обо­зна­чим рас­сто­я­ния от линзы до пред­ме­та и от линзы до изоб­ра­же­ния через a и b со­от­вет­ствен­но. Тогда по фор­му­ле тон­кой линзы  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: a конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: b конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: F конец дроби , от­ку­да  b = дробь: чис­ли­тель: aF, зна­ме­на­тель: a минус F конец дроби . При этом если вы­со­та пред­ме­та равна h, то вы­со­та изоб­ра­же­ния равна  H = дробь: чис­ли­тель: b, зна­ме­на­тель: a конец дроби h = дробь: чис­ли­тель: hF, зна­ме­на­тель: a минус F конец дроби .

2.  Пусть точки A1, B1 и C1 яв­ля­ют­ся изоб­ра­же­ни­я­ми точек A, B и C со­от­вет­ствен­но (см. рис.). Обо­зна­чим OB  =  nF. Тогда для точки A рас­сто­я­ние a1  =  3F и  OA_1 = b_1 = дробь: чис­ли­тель: 3F умно­жить на F, зна­ме­на­тель: 3F минус F конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 F, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Для точек B и C рас­сто­я­ние a2  =  nF (n  — ис­ко­мый па­ра­метр) и  OB_1 = b_2 = дробь: чис­ли­тель: nF умно­жить на F, зна­ме­на­тель: nF минус F конец дроби = дробь: чис­ли­тель: nF, зна­ме­на­тель: n минус 1 конец дроби мень­ше b_1, по­сколь­ку  n боль­ше 3. Таким же будет и рас­сто­я­ние от плос­ко­сти линзы до точки C1.

3.  Таким об­ра­зом, тре­уголь­ник A1B1C1 яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным. Длина ка­те­та B1C1 равна

 B_1C_1 = дробь: чис­ли­тель: BC умно­жить на F, зна­ме­на­тель: a_2 минус F конец дроби = дробь: чис­ли­тель: F умно­жить на F, зна­ме­на­тель: nF минус F конец дроби = дробь: чис­ли­тель: F, зна­ме­на­тель: n минус 1 конец дроби .

Со­глас­но усло­вию  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на AB умно­жить на AC = k умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на A_1B_1 умно­жить на A_1C_1, от­ку­да

 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка a_2 минус a_1 пра­вая круг­лая скоб­ка F = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка nF минус 3F пра­вая круг­лая скоб­ка F = k умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка b_1 минус b_2 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: F, зна­ме­на­тель: n минус 1 конец дроби = k умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3F, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: nF, зна­ме­на­тель: n минус 1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: F, зна­ме­на­тель: n минус 1 конец дроби .

4.  С учётом того, что  n боль­ше 3, из по­лу­чен­но­го урав­не­ния на­хо­дим:  n = 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та = 4. Сле­до­ва­тель­но, OB  =  4F  =  12 см.

 

Ответ: OB  =  4F  =  12 см.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы

При­ве­де­но пол­ное ре­ше­ние, вклю­ча­ю­щее сле­ду­ю­щие эле­мен­ты:

I) за­пи­са­ны по­ло­же­ния тео­рии и фи­зи­че­ские за­ко­ны, за­ко­но­мер­но­сти, при­ме­не­ние ко­то­рых не­об­хо­ди­мо для ре­ше­ния за­да­чи вы­бран­ным спо­со­бом;

II) опи­са­ны все вновь вво­ди­мые в ре­ше­нии бук­вен­ные обо­зна­че­ния фи­зи­че­ских ве­ли­чин (за ис­клю­че­ни­ем обо­зна­че­ний кон­стант, ука­зан­ных в ва­ри­ан­те КИМ, обо­зна­че­ний, ис­поль­зу­е­мых в усло­вии за­да­чи, и стан­дарт­ных обо­зна­че­ний ве­ли­чин, ис­поль­зу­е­мых при на­пи­са­нии фи­зи­че­ских за­ко­нов);

III) пред­став­ле­ны не­об­хо­ди­мые ма­те­ма­ти­че­ские пре­об­ра­зо­ва­ния и расчёты, при­во­дя­щие к пра­виль­но­му чис­ло­во­му от­ве­ту (до­пус­ка­ет­ся ре­ше­ние «по ча­стям» с про­ме­жу­точ­ны­ми вы­чис­ле­ни­я­ми);

IV) пред­став­лен пра­виль­ный ответ с ука­за­ни­ем еди­ниц из­ме­ре­ния ис­ко­мой ве­ли­чи­ны

3

Пра­виль­но за­пи­са­ны все не­об­хо­ди­мые по­ло­же­ния тео­рии, фи­зи­че­ские за­ко­ны, за­ко­но­мер­но­сти, и про­ве­де­ны не­об­хо­ди­мые пре­об­ра­зо­ва­ния, но име­ет­ся один или не­сколь­ко из сле­ду­ю­щих не­до­стат­ков.

За­пи­си, со­от­вет­ству­ю­щие пунк­ту II, пред­став­ле­ны не в пол­ном объёме или от­сут­ству­ют.

И (ИЛИ)

В ре­ше­нии име­ют­ся лиш­ние за­пи­си, не вхо­дя­щие в ре­ше­ние (воз­мож­но, не­вер­ные), ко­то­рые не от­де­ле­ны от ре­ше­ния и не зачёрк­ну­ты.

И (ИЛИ)

В не­об­хо­ди­мых ма­те­ма­ти­че­ских пре­об­ра­зо­ва­ни­ях или вы­чис­ле­ни­ях до­пу­ще­ны ошиб­ки, и (или) в ма­те­ма­ти­че­ских пре­об­ра­зо­ва­ни­ях/вы­чис­ле­ни­ях про­пу­ще­ны ло­ги­че­ски важ­ные шаги.

И (ИЛИ)

От­сут­ству­ет пункт IV, или в нём до­пу­ще­на ошиб­ка (в том числе в за­пи­си еди­ниц из­ме­ре­ния ве­ли­чи­ны)

2

Пред­став­ле­ны за­пи­си, со­от­вет­ству­ю­щие од­но­му из сле­ду­ю­щих слу­ча­ев.

Пред­став­ле­ны толь­ко по­ло­же­ния и фор­му­лы, вы­ра­жа­ю­щие фи­зи­че­ские за­ко­ны, при­ме­не­ние ко­то­рых не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но для ре­ше­ния дан­ной за­да­чи, без каких-либо пре­об­ра­зо­ва­ний с их ис­поль­зо­ва­ни­ем, на­прав­лен­ных на ре­ше­ние за­да­чи.

ИЛИ

В ре­ше­нии от­сут­ству­ет ОДНА из ис­ход­ных фор­мул, не­об­хо­ди­мая для ре­ше­ния дан­ной за­да­чи (или утвер­жде­ние, ле­жа­щее в ос­но­ве ре­ше­ния), но при­сут­ству­ют ло­ги­че­ски вер­ные пре­об­ра­зо­ва­ния с име­ю­щи­ми­ся фор­му­ла­ми, на­прав­лен­ные на ре­ше­ние за­да­чи.

ИЛИ

В ОДНОЙ из ис­ход­ных фор­мул, не­об­хо­ди­мых для ре­ше­ния дан­ной за­да­чи (или в утвер­жде­нии, ле­жа­щем в ос­но­ве ре­ше­ния), до­пу­ще­на ошиб­ка, но при­сут­ству­ют ло­ги­че­ски вер­ные пре­об­ра­зо­ва­ния с име­ю­щи­ми­ся фор­му­ла­ми, на­прав­лен­ные на ре­ше­ние за­да­чи

1

Все слу­чаи ре­ше­ния, ко­то­рые не со­от­вет­ству­ют вы­ше­ука­зан­ным

кри­те­ри­ям вы­став­ле­ния оце­нок в 1, 2, 3 балла

0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 42051: 42079 Все

Источник: Стат­Град: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по фи­зи­ке 14.03.2025, ва­ри­ант ФИ2410402
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: 3.6.7 Фор­му­ла тон­кой линзы. Уве­ли­че­ние, да­ва­е­мое лин­зой