На зиму в подмосковном яхт-клубе катера и яхты вытаскивают на берег по бетонному «слипу», то есть по наклонной плоскости, уходящей под воду. Под плавающее судно помещают под водой легкую тележку, которая практически без трения может кататься по слипу, и при помощи лебедки и системы блоков вытаскивают судно, поднимая его над уровнем воды (см. рис.).
Найдите максимальную силу f, которую необходимо прикладывать к ручке лебедки, чтобы медленно вытащить из воды судно водоизмещением т при помощи показанной на рисунке системы простых механизмов, если лебедка дает выигрыш в силе в
раз, а угол наклона слипа к горизонту равен
рад. Трением можно пренебречь.
Примечания: водоизмещением называется масса воды, вытесняемой судном (измеряется обычно в тоннах); при углах рад можно считать
Способ 1.
Известно, что простые механизмы не дают выигрыша в работе.
Найдем работу по поднятию судна массой (и водоизмещением) m над уровнем воды. Пусть вначале судно имеет осадку h (это глубина погружения его дна от уровня воды). Начальная сила, которую прикладывают для его поднятия, равна нулю (судно плавает). В конце подъема из воды поднимающая судно сила должна равняться mg. По мере подъема прикладываемую силу нужно увеличивать по линейному закону. Поэтому средняя сила, необходимая для подъема судна на высоту h из воды, равна а работа по подъему равна
Эта же работа может быть записана следующим образом: где
— максимальная сила, прикладываемая к ручке лебедки, a L — перемещение конца этой ручки при подъеме судна из воды. Здесь коэффициент
также возникает из-за того, что сила при подъеме судна меняется от
до
Как видно из рисунка, где l — длина троса, намотанного на вал лебедки, а S — перемещение судна вдоль слипа, равное, очевидно,
Приравнивая выражения для работы, получаем
и окончательно
Способ 2.
Ясно, что максимальную силу к ручке лебедки нужно будет прикладывать тогда, когда судно окажется полностью извлеченным из воды. Поскольку лебедка дает выигрыш в силе в n раз, а система из трех подвижных блоков — еще в 8 раз, то на судно со стороны прикрепленного к нему троса будет действовать сила При медленном подъеме судна по сухой наклонной плоскости, в соответствии со вторым законом Ньютона,
откуда
Ответ: 250 Н.

