Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 30 № 6871

Тонкостенный цилиндр с воздухом закрыт снизу поршнем массой m = 3 кг, который может без трения перемещаться в цилиндре. Цилиндр плавает в вертикальном положении в воде при температуре T = 300 К (см. рис.). Когда цилиндр опустили при постоянной температуре на глубину h = 10 м (от поверхности воды до его верхней крышки), он потерял плавучесть. Найдите массу воздуха в цилиндре. Атмосферное давление равно p0 = 105 Па, масса цилиндра и воздуха в цилиндре гораздо меньше массы поршня.

Спрятать решение

Решение.

Поскольку цилиндр лёгкий, а трения между ним и поршнем нет, то при плавании воздух в цилиндре находится под атмосферным давлением p_0. Обозначим объём воздуха в цилиндре при плавании через V. Тогда, согласно уравнению Клапейрона — Менделеева, p_0V = дробь, числитель — m_{возд}, знаменатель — \mu RT , где m_{возд} — искомая масса воздуха.

Неизвестный объём V воздуха при атмосферном давлении можно найти из следующих соображений. Сила Архимеда, действующая на цилиндр с поршнем при его плавании и в момент потери плавучести, одна и та же и равна весу поршня: \rho gV_1 = mg, где \rho — плотность воды, а V_1 — объём вытесненной воды, равный объёму воздуха в цилиндре в момент потери плавучести. Согласно закону Бойля — Мариотта, при изотермическом процессе p_0V=p_1V_1. Поскольку по условию масса цилиндра пренебрежимо мала и трение между поршнем и цилиндром отсутствует, в равновесии давления на верхнюю грань цилиндра с обеих сторон одинаковы: p_1=p_0 плюс \rho gh.

Поскольку V_1= дробь, числитель — m, знаменатель — \rho , то p_0V=(p_0 плюс \rho gh) дробь, числитель — m, знаменатель — \rho равносильно дробь, числитель — m_{возд}, знаменатель — \mu RT=(p_0 плюс \rho gh) дробь, числитель — m, знаменатель — \rho и

 

m_{возд}= дробь, числитель — \mu m(p_0 плюс \rho gh), знаменатель — \rho RT = дробь, числитель — 29 умножить на 10 в степени минус 3 кг/моль умножить на 3кг умножить на (10 в степени 5 Па плюс 10 в степени 3 кг/м в степени 3 умножить на 10м/с в степени 2 умножить на 10м), знаменатель — 10 в степени 3 кг/м в степени 3 умножить на 8{, 31Дж/(моль умножить на К) умножить на 300К}\approx7г.

Ответ: 7 г.


Аналоги к заданию № 6838: 6871 Все

Спрятать решение · Прототип задания · · Курс 80 баллов ·
Гость 25.09.2015 11:37

"По­сколь­ку ци­линдр лёгкий, а тре­ния между ним и порш­нем нет, то при пла­ва­нии воз­дух в ци­лин­дре на­хо­дит­ся под ат­мо­сфер­ным дав­ле­ни­ем Обо­зна­чим объём воз­ду­ха в ци­лин­дре при пла­ва­нии через Тогда, со­глас­но урав­не­нию Кла­пей­ро­на–Мен­де­ле­е­ва, где — ис­ко­мое ко­ли­че­ство воз­ду­ха."

Это не так, поскольку мы видим, что на какую-то часть поршень погружен в воду. Поэтому давление в цилиндре будет равно Po+плотность воды *g*hводы до дна поршня.

Соответственно, когда поршень в воде полностью давление на дно поршня будет уравновешивать давление внутри поршня. И оно будет Po+плотность воды*g*hводы до дна поршня.

Антон

Поршень имеет ненулевую массу, поэтому давление газа сверху не равно давлению воды снизу. А вот цилиндр «лёгкий», поэтому давление воздуха снаружи равно давлению внутри.