Тип 24 № 6871 
Молекулярная физика. Термодинамика (расчетная задача высокого уровня). МКТ, механическое равновесие
i
Тонкостенный цилиндр с воздухом закрыт снизу поршнем массой m = 3 кг, который может без трения перемещаться в цилиндре. Цилиндр плавает в вертикальном положении в воде при температуре T = 300 К (см. рис.). Когда цилиндр опустили при постоянной температуре на глубину h = 10 м (от поверхности воды до его верхней крышки), он потерял плавучесть. Найдите массу воздуха в цилиндре. Атмосферное давление равно p0 = 105 Па, масса цилиндра и воздуха в цилиндре гораздо меньше массы поршня.
Решение. Поскольку цилиндр легкий, а трения между ним и поршнем нет, то при плавании воздух в цилиндре находится под атмосферным давлением 
Обозначим объем воздуха в цилиндре при плавании через 
Тогда, согласно уравнению Клапейрона — Менделеева, 
где 
— искомая масса воздуха.
Неизвестный объем V воздуха при атмосферном давлении можно найти из следующих соображений. Сила Архимеда, действующая на цилиндр с поршнем при его плавании и в момент потери плавучести, одна и та же и равна весу поршня: 
где 
— плотность воды, а 
— объем вытесненной воды, равный объему воздуха в цилиндре в момент потери плавучести. Согласно закону Бойля — Мариотта, при изотермическом процессе 
Поскольку по условию масса цилиндра пренебрежимо мала и трение между поршнем и цилиндром отсутствует, в равновесии давления на верхнюю грань цилиндра с обеих сторон одинаковы: 
Поскольку 
то 
и
Ответ: 7 г.
Спрятать критерииКритерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Приведено полное решение, включающее следующие элементы: I) записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае — формула для внутренней энергии идеального газа, условие установления равновесия в сосуде); II) описаны все вновь вводимые в решении буквенные обозначения физических величин (за исключением обозначений констант, указанных в варианте КИМ, обозначений величин, используемых в условии задачи и стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов); III) проведены необходимые математические преобразования, приводящие к правильному ответу; IV) представлен правильный ответ. | 3 |
| Правильно записаны все необходимые положения теории, физические законы, закономерности и проведены необходимые преобразования, но имеются следующие недостатки. Записи, соответствующие пункту II, представлены не в полном объеме или отсутствуют. ИЛИ Лишние записи, не входящие в решение (возможно, неверные), не отделены от решения (не зачеркнуты, не заключены в скобки, рамку и т. п.). ИЛИ В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) преобразования/вычисления не доведены до конца. ИЛИ Отсутствует пункт IV, или в нем допущена ошибка. | 2 |
| Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев. Представлены только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо для решения задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи, и ответа. ИЛИ В решении отсутствует одна из исходных формул, необходимая для решения задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи. ИЛИ В одной из исходных формул, необходимых для решения задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи. | 1 |
| Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3 балла. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: 7 г.
"Поскольку цилиндр лёгкий, а трения между ним и поршнем нет, то при плавании воздух в цилиндре находится под атмосферным давлением Обозначим объём воздуха в цилиндре при плавании через Тогда, согласно уравнению Клапейрона–Менделеева, где — искомое количество воздуха."
Это не так, поскольку мы видим, что на какую-то часть поршень погружен в воду. Поэтому давление в цилиндре будет равно Po+плотность воды *g*hводы до дна поршня.
Соответственно, когда поршень в воде полностью давление на дно поршня будет уравновешивать давление внутри поршня. И оно будет Po+плотность воды*g*hводы до дна поршня.
Поршень имеет ненулевую массу, поэтому давление газа сверху не равно давлению воды снизу. А вот цилиндр «лёгкий», поэтому давление воздуха снаружи равно давлению внутри.