Динамика
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
Груз массой 
подвесили на невесомой пружине, и он мог совершать вертикальные гармонические колебания с некоторой частотой. Затем параллельно первой пружине присоединили вторую такую же и подвесили к ним другой груз. Частота колебаний новой системы оказалась вдвое меньше, чем прежней. Чему равна масса М второго груза?
Какие законы Вы используете для описания колебательного движения маятника? Обоснуйте их применение.
Обоснование.
1. Рассмотрим задачу в системе отсчета, связанной с Землей. Будем считать эту систему отсчета инерциальной (ИСО).
2. Движение груза поступательное, поэтому можно описывать его моделью материальной точки.
3. Колебания маятника по условию гармонические, следовательно, пренебрегаем действием силы трения и сопротивления воздуха.
4. При малом удлинении можно считать, что пружина упругая и невесомая, поэтому учитываем только силу упругости, возникающую в ней и подчиняющуюся закону Гука. Колебания вертикального маятника происходят под действием двух сил — силы упругости и силы тяжести, но сила тяжести не изменяется, поэтому не влияет на изменение частоты колебаний маятника. Следовательно, можно рассматривать гармонические колебаний под действием изменяющейся по модулю и направлению силы упругости и применять формулы периода и частоты колебаний такого маятника.
Перейдем к решению. Колебания первого груза происходят с угловой частотой 
причем эта частота не зависит от действия на маятник силы тяжести, которая лишь смещает положение равновесия груза.
При параллельном соединении двух одинаковых пружин их общий коэффициент жесткости удваивается: 
(поскольку при растяжении пружин на прежнюю величину на груз действует вдвое большая возвращающая сила). Поэтому колебания второго груза будут происходить с угловой частотой, 
По условию частота колебаний второй системы вдвое меньше, чем первой 
откуда
Отсюда получаем: 
Ответ: Масса второго груза 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Критерий 1 | |
Верно обоснована возможность использования законов (закономерностей) | 1 |
В обосновании возможности использования законов (закономерностей) допущена ошибка. ИЛИ Обоснование отсутствует | 0 |
| Критерий 2 | |
| Приведено полное решение, включающее следующие элементы: I) записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом; II) описаны все вводимые в решении буквенные обозначения физических величин (за исключением, возможно, обозначений констант, указанных в варианте КИМ, и обозначений, используемых в условии задачи); III) проведены необходимые математические преобразования (допускается вербальное указание на их проведение) и расчеты, приводящие к правильному числовому ответу (допускается решение «по частям» с промежуточными вычислениями); IV) представлен правильный ответ. | 3 |
| Правильно записаны все необходимые положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования. Но имеются следующие недостатки. Записи, соответствующие пункту II, представлены не в полном объеме или отсутствуют. ИЛИ В решении лишние записи, не входящие в решение (возможно, неверные), не отделены от решения (не зачеркнуты, не заключены в скобки, рамку и т. п.). ИЛИ В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) преобразования/вычисления не доведены до конца. ИЛИ Отсутствует пункт IV, или в нем допущена ошибка. | 2 |
| Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев. Представлены только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо для решения задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи, и ответа. ИЛИ В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решения задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи. ИЛИ В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи. | 1 |
| Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3 балла. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
В системе, изображенной на рисунке, грузик массой m = 1 кг подвешен на нити, охватывающей три блока, второй конец которой привязан к оси самого правого блока (см. рис.). К этой же оси привязана другая нить, соединяющаяся с грузом массой M = 11 кг, лежащим на шероховатой горизонтальной плоскости (коэффициент трения груза о плоскость равен μ = 0,25). Найдите ускорение a1 грузика m. Считайте, что нити невесомы и нерастяжимы, свободные участки нитей вертикальны или горизонтальны, блоки невесомы, а трение в их осях отсутствует.
Какие законы Вы используете для описания движения грузика и бруска? Обоснуйте их применение.
Обоснование. Систему отсчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной. Движение грузика и бруска поступательное. Поэтому их можно считать материальными точками.
На брусок действуют силы тяжести, натяжения нити, реакции опоры и трения. Для описания его движения можно применять второй закон Ньютона. На грузик действуют сила тяжести и сила натяжения нити. Для описания его движения можно применять второй закон Ньютона.
Нить и блоки являются невесомыми, поэтому силы натяжения, действующие на брусок, на грузик, на подвижный блок, равны по модулю.
Нить является нерастяжимой, поэтому можно записать кинематические связи между ускорениями бруска и грузика.
Перейдем к решению. Для описания движения данной системы тел выбираем неподвижную систему отсчета, одна ось (y) которой направлена вертикально вниз, куда может двигаться грузик m, а другая (x) — по горизонтали справа налево, в направлении возможного движения груза массой
Обозначим силу натяжения первой нити через T, а второй — через F (см. рис.).
Тогда в проекциях на выбранные оси координат уравнения движения двух тел системы имеют вид 
и 
В силу условия задачи можно считать, что сила натяжения вдоль всей первой нити одинакова и равна T, а сила натяжения второй нити 
Если груз M сдвинется влево на расстояние x, то грузик m, очевидно, за счет укорочения трех горизонтальных участков первой нити сдвинется вниз на расстояние 
Поэтому уравнение кинематической связи для ускорений тел имеет вид: 
При движении данной системы тел, если полученное значение 
сила трения скольжения, действующая на груз M, будет равна по закону Амонтона — Кулона 
Подставляя в исходную систему уравнений эти выражения, имеем: 
и 
Или 
откуда:
Следовательно:
Так что тела действительно будут двигаться.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Критерий 1 | |
Верно обоснована возможность использования законов (закономерностей). | 1 |
В обосновании возможности использования законов (закономерностей) допущена ошибка. ИЛИ Обоснование отсутствует. | 0 |
| Критерий 2 | |
| Приведено полное решение, включающее следующие элементы: I) записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае — уравнения движения двух тел системы, уравнение кинематической связи и закон Амонтона — Кулона); II) описаны все вновь вводимые в решении буквенные обозначения физических величин (за исключением обозначений констант, указанных в варианте КИМ, обозначений величин, используемых в условии задачи и стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов); III) проведены необходимые математические преобразования, приводящие к правильному ответу; IV) представлен правильный ответ. | 3 |
| Правильно записаны все необходимые положения теории, физические законы, закономерности и проведены необходимые преобразования, но имеются следующие недостатки. Записи, соответствующие пункту II, представлены не в полном объеме или отсутствуют. ИЛИ Лишние записи, не входящие в решение (возможно, неверные), не отделены от решения (не зачеркнуты, не заключены в скобки, рамку и т. п.). ИЛИ В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) преобразования/вычисления не доведены до конца. ИЛИ Отсутствует пункт IV, или в нем допущена ошибка. | 2 |
| Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев. Представлены только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо для решения задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи, и ответа. ИЛИ В решении отсутствует одна из исходных формул, необходимая для решения задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи. ИЛИ В одной из исходных формул, необходимых для решения задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи. | 1 |
| Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Грузик массой m = 100 г неподвижно висит на легкой абсолютно упругой гибкой резинке с коэффициентом упругости k = 100 Н/м в поле силы тяжести с ускорением свободного падения g. Грузик поднимают из этого положения вертикально вверх на высоту h = 80 см, меньшую длины резинки, и отпускают без начальной скорости. Найдите время движения грузика вниз до точки его остановки. Начальной деформацией резинки при покоящемся грузике можно пренебречь.
Какие законы Вы используете для описания движения груза на резинке? Обоснуйте их применение к данному случаю.
Обоснование.
1. Рассмотрим задачу в системе отсчета, связанной с Землей. Будем считать эту систему отсчета инерциальной (ИСО).
2. Грузик движется поступательно, поэтому его можно принять за материальную точку. На первом этапе движения грузика на него действует только сила тяжести, так как сопротивлением воздуха мы пренебрегаем. Следовательно, на этом этапе грузик движется с ускорением свободного падения.
3. При малых деформациях резинки их можно считать упругими, поэтому справедлив закон Гука.
4. На втором этапе движения резинка упруго деформируется, в результате чего на грузик начинает действовать изменяющаяся по модулю и направлению сила упругости. Таким образом, второй этап движения представляет собой механические колебания груза на резинке. Т. к. сила тяжести не меняется по модулю и направлению, то она не влияет на характер колебаний грузика. В инерциальной системе отсчета возможно применение законов колебательного движения.
Перейдем к решению.
1. Введем неподвижную декартову систему координат с вертикальной осью ОХ, направленной вниз, причем начало координат поместим на уровне начального положения грузика.
2. После подъема и отпускания грузика его движение вниз в поле силы тяжести разбивается на две стадии: вначале он свободно падает с ускорением g с высоты h до точки x = 0 (поскольку начальной деформацией резинки можно пренебречь) за время
что следует из формул кинематики равноускоренного движения.
3. Затем резинка начинает растягиваться, а грузик — тормозиться вплоть до остановки в нижней точке его движения. Поскольку начальное растяжение резинки компенсирует вес грузика, то на второй стадии можно считать, что действует только упругая сила, и уравнение движения (второй закон Ньютона) в проекции на ось ОХ имеет вид:
что является уравнением гармонических колебаний с периодом
4. С учетом начальных условий закон движения грузика на втором этапе представляет собой 1/4 часть периода синусоиды и происходит за время
5. Таким образом, искомое время движения грузика вниз до точки остановки равно
6. Подставляя численные данные из условия, получаем:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Критерий 1 | |
Верно обоснована возможность использования законов (закономерностей) | 1 |
В обосновании возможности использования законов (закономерностей) допущена ошибка. ИЛИ Обоснование отсутствует | 0 |
| Критерий 2 | |
| Приведено полное решение, включающее следующие элементы: I) записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, формулы кинематики для свободного падения, уравнение гармонических колебаний и формула для их периода); II) описаны все вновь вводимые в решении буквенные обозначения физических величин (за исключением обозначений констант, указанных в варианте КИМ, обозначений, используемых в условии задачи, и стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов); III) проведены необходимые математические преобразования и расчеты, приводящие к правильному числовому ответу (допускается решение «по частям» с промежуточными вычислениями); IV) представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины | 3 |
| Правильно записаны все необходимые положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования. Но имеются один или несколько из следующих недостатков. Записи, соответствующие пункту II, представлены не в полном объеме или отсутствуют. И ( ИЛИ ) В решении имеются лишние записи, не входящие в решение (возможно, неверные), которые не отделены от решения (не зачеркнуты; не заключены в скобки, рамку и т. п.). И ( ИЛИ ) В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги. И ( ИЛИ ) Отсутствует пункт IV, или в нем допущена ошибка | 2 |
| Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев. Представлены только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо и достаточно для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи. ИЛИ В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решения данной задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи. ИЛИ В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи | 1 |
| Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3 балла | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
На гладкой плоскости, наклоненной под углом
= 30° к горизонту, лежит маленький грузик, привязанный невесомой нерастяжимой нитью длиной l = 40 см к вбитому в плоскость гвоздику (см. рис.). Найдите период малых (угол 
<< 1) колебаний грузика после его отклонения от положения равновесия вдоль плоскости в направлении, перпендикулярном нити.
Какие законы Вы используете для описания малых колебаний шарика? Обоснуйте их применение к данному случаю.
Обоснование.
1. Рассмотрим задачу в системе отсчета, связанной с Землей. Будем считать эту систему отсчета инерциальной (ИСО).
2. Шарик имеет маленький диаметр, поэтому его можно считать материальной точкой. В ИСО для шарика можно применить второй закон Ньютона.
3. Нить, к которой привязан шарик, является невесомой и нерастяжимой, поэтому сила натяжения нити является постоянной по модулю.
4. Поверхность гладкая, значит, отсутствует сила трения.
5. Колебания являются малыми, поэтому для описания движения шарика можно применять законы для гармонических колебаний маятника.
Перейдем к решению.
1. Малые колебания в системе без трения будут гармоническими, если возвращающая сила пропорциональна смещению грузика от положения равновесия. Решение задачи можно провести двумя способами: динамическим, исходя из второго закона Ньютона, и энергетическим, используя закон сохранения механической энергии. Будем использовать динамический подход.
2. Введем систему координат, у которой ось Z направлена перпендикулярно наклонной плоскости, ось Y — вверх, вдоль нити в положении равновесия, а ось X — перпендикулярно нити вдоль плоскости. Нарисуем силы, действующие на грузик (силу тяжести mg, силу нормальной реакции N и силу натяжения нити T), и изобразим вид системы сбоку, вдоль плоскости (см. рис.).
3. Вдоль оси Z грузик не движется, поэтому 
Вдоль оси Y грузик при малых колебаниях, то есть при малых смещениях вдоль оси X, практически не движется, а сила натяжения отклоняется от оси Y на малые углы ≈ 
поэтому 
≈ T ≈ 
4. Из второго закона Ньютона в проекции на ось X получаем:
≈ 
≈ 
или 
что является уравнением гармонических колебаний
с частотой 
и периодом колебаний
≈ 
≈ 1,77714 ≈ 1,78 с.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Критерий 1 | |
Верно обоснована возможность использования законов (закономерностей) | 1 |
В обосновании возможности использования законов (закономерностей) допущена ошибка. ИЛИ Обоснование отсутствует | 0 |
| Критерий 2 | |
| I) записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: второй закон Ньютона, уравнение гармонических колебаний, выражения для их частоты и периода); II) описаны все вновь вводимые в решении буквенные обозначения физических величин (за исключением обозначений констант, указанных в варианте КИМ, обозначений, используемых в условии задачи, и стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов); III) проведены необходимые математические преобразования и расчеты, приводящие к правильному числовому ответу (допускается решение «по частям» с промежуточными вычислениями); IV) представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины | 3 |
| Правильно записаны все необходимые положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования. Но имеется один или несколько из следующих недостатков. Записи, соответствующие пунктам II и III, представлены не в полном объеме или отсутствуют. И ( ИЛИ ) В решении имеются лишние записи, не входящие в решение, которые не отделены от решения и не зачеркнуты. И ( ИЛИ ) В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги. И ( ИЛИ ) Отсутствует пункт IV, или в нем допущена ошибка. | 2 |
| Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев. Представлены только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи. ИЛИ В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решения данной задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи. ИЛИ В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи. | 1 |
| Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3 балла. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
По гладкой наклонной плоскости пускают шайбу. Максимальное удаление шайбы от линии пересечения наклонной плоскости и горизонтали 68 см. Угол плоскости с горизонталью α = 30°. Угол между начальной скоростью и линией AB β = 60°. Найдите начальную скорость шайбы.
Какие законы Вы использовали для описания движения? Обоснуйте их применение к данному случаю.
Обоснование. В данных условиях шайбу можно считать материальной точкой.
На шайбу действуют две силы: сила реакции опоры и сила тяжести. При выборе удобной системы отсчета — Ox вдоль AB, Oy вдоль AC — проекция силы реакции опоры на обе оси равна нулю.
Поэтому можно рассматривать движение шайбы только под действием силы тяжести с ускорением свободного падения, направленного вертикально вниз и равного 10 м/с2. Проекция этого ускорения на ось 0x равна нулю, поэтому для описания движения вдоль данной оси можно применять законы прямолинейного равномерного движения. Проекция этого ускорения на ось 0y равна 
поэтому для описания движения по данной оси можно применять законы прямолинейного равноускоренного движения.
Перейдем к решению. Расположим координатные оси: Ox вдоль AB, Oy вдоль AC. На шайбу действуют две силы — сила тяжести и реакция опоры. По второму закону Ньютона
Сила реакции опоры перпендикулярна наклонной плоскости, поэтому после проецирования на выбранные оси получаем
Пусть t — время, за которое шайба достигнет максимального удаления от AB, тогда
Поскольку 
получаем
Ответ: 3 м/с
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Критерий 1 | |
Верно обоснована возможность использования законов (закономерностей) | 1 |
В обосновании возможности использования законов (закономерностей) допущена ошибка. ИЛИ Обоснование отсутствует | 0 |
| Критерий 2 | |
| Приведено полное решение, включающее следующие элементы: I) записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом; II) описаны все вновь вводимые в решении буквенные обозначения физических величин (за исключением обозначений констант, указанных в варианте КИМ, обозначений величин, используемых в условии задачи, и стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов); III) проведены необходимые математические преобразования и расчеты, приводящие к правильному числовому ответу (допускается решение «по частям» с промежуточными вычислениями); IV) представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины | 3 |
| Правильно записаны все необходимые положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования. Но имеются один или несколько из следующих недостатков. Записи, соответствующие пункту II, представлены не в полном объеме или отсутствуют. И ( ИЛИ ) В решении имеются лишние записи, не входящие в решение (возможно, неверные), которые не отделены от решения (не зачеркнуты; не заключены в скобки, рамку и т. п.). И ( ИЛИ ) В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги. И ( ИЛИ ) Отсутствует пункт IV, или в нем допущена ошибка (в том числе в записи единиц измерения величины) | 2 |
| Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев. Представлены только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи. ИЛИ В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решения данной задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи. ИЛИ В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи | 1 |
| Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3 балла | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Пройти тестирование по этим заданиям
Наверх