На абсолютно гладкой горизонтальной поверхности лежит деревянное бревно, имеющее различные диаметры торцов, так, что линия, соединяющая нижние точки торцов бревна, расположена вдоль горизонтальной поверхности. Диаметр одного торца бревна больше другого. Чтобы приподнять бревно с одного конца, требуется сила 279 Н, с другого — 621 Н. Средняя плотность дерева равна 450 кг/м3. Чему равен объем бревна? Сделайте рисунок с обозначением всех действующих на бревно сил.
Какие законы Вы используете для описания движения бревна? Обоснуйте их применение к данному случаю.
Решение. Обоснование. Систему отсчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной. Бревно будем считать абсолютно твердым телом (формы и размеры тела неизменны, расстояние между любыми двумя его точками остается постоянным). На бревно действуют сила тяжести и сила, которую нужно приложить для его подъема. В данных условиях бревно не является однородным, поэтому расположение центра тяжести неизвестно. Движение абсолютно твердого тела представляет собой суперпозицию поступательного и вращательного движений. Поэтому условий равновесия ровно два; одно для поступательного, а другое − для вращательного движений. Векторная сумма внешних сил, действующих на тело равна нулю, поэтому сумма моментов этих сил относительно двух любых параллельных осей одна и та же. Для удобства оси, относительно которых будем рассматривать сумму моментов сил, проведем перпендикулярно плоскости чертежа через концы бревна.
Перейдем к решению. Допустим, что центр тяжести бревна длиной l находится на расстоянии x от края, к которому была приложена первая сила. Запишем уравнение моментов относительно левого и правого края бревна:
Сложим два уравнения и придем к следующему:
Найдем объем бревна: 
Ответ: 0,2 м3.
Примечание: К этому же результату можно было прийти, приняв во внимание, что, для того чтобы поднять бревно, надо одновременно приложить силы к обоим его концам.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Приведено полное решение, включающее следующие элементы: I) записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом; II) описаны все вновь вводимые в решении буквенные обозначения физических величин (за исключением обозначений констант, указанных в варианте КИМ, обозначений, используемых в условии задачи, и стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов); III) проведены необходимые математические преобразования и расчеты, приводящие к правильному числовому ответу (допускается решение «по частям» с промежуточными вычислениями); IV) представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины | 3 |
| Правильно записаны все необходимые положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования. Но имеются один или несколько из следующих недостатков. Записи, соответствующие пункту II, представлены не в полном объеме или отсутствуют. И ( ИЛИ ) В решении имеются лишние записи, не входящие в решение (возможно, неверные), которые не отделены от решения (не зачеркнуты; не заключены в скобки, рамку и т. п.). И ( ИЛИ ) В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги. И ( ИЛИ ) Отсутствует пункт IV, или в нем допущена ошибка | 2 |
| Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев. Представлены только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи. ИЛИ В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решения данной задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи. ИЛИ В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи | 1 |
| Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3 балла | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Система находится в равновесии, следовательно, a = 0. 
где плечо силы тяжести, действующей на шар массой 
равно 
плечо силы тяжести, действующей на шар массой 
равно 
плечо силы натяжения нити 
равно 
Заметим, что угол α равен углу β, отсюда 
Когда система не двигается, выполняется первый закон Ньютона: 
В проекции на ось OX: 
Откуда:
Коэффициент трения доски о пол равен 
Каков должен быть коэффициент 
трения доски о стену, чтобы доска оставалась в равновесии?
и горизонтальную оси 
а также равенство моментов сил, вращающих доску по часовой стрелке и против часовой стрелки, относительно ее центра (см. рис.):
и 
и 
— силы нормального давления и силы трения доски об пол и стену, соответственно.
и 
Из записанных уравнений получаем: 
Если 
будет иметь большее значение, то равновесие, очевидно, не нарушится. Таким образом, 
и 
приложенные к центрам шаров, и силы реакции опор 
и 
По третьему закону Ньютона, модули сил реакции равны соответствующим модулям сил давления стержня на опоры, поэтому 
(в соответствии с условием задачи).
— плечо силы реакции N1.
действующей на стержень со стороны шарнира. Сделайте рисунок, на котором укажите все силы, действующие на стержень.
— сила натяжения нити, 
— сила тяжести, 
и 
— вертикальная и горизонтальная составляющие силы, действующей на стержень со стороны шарнира.
(2)
(3)
Окончательно
от его левого конца, подвешены на невесомых нитях два тяжелых груза 1 и 2 с плотностями 
(слева) и 
(справа). Стержень находится в равновесии в горизонтальном положении (см. рис.). 
Какие законы Вы использовали для решения этой задачи? Обоснуйте их применимость к данному случаю.
откуда следует, что в обоих случаях 
— масса груза, V — его объем), а вверх — T, к которой во втором случае добавляется по закону Архимеда выталкивающая сила 
(здесь 
— плотность воды 
или керосина 
).
откуда с учетом связи 
получаем 
или 
аналогично получаем:
откуда
и 
окончательно получаем: 
от его левого конца, подвешены на невесомых нитях два тяжелых груза 1 и 2 с плотностями 
откуда следует, что в обоих случаях 
(здесь 
получаем 
или 
аналогично получаем:
откуда
(см. рис. в решении). 
приложена к бруску в точке A и направлена вертикально вверх, так как поверхность стола гладкая (трения нет). 
откуда 
С учетом того, что 
и 
получим отсюда 
Если к этому стержню подвесить груз массой 
на расстоянии 
от правой пружины, то стержень будет расположен горизонтально, и растяжения обеих пружин будут одинаковы (см. рис.). Жесткость левой пружины в 2 раза меньше, чем правой. Чему равна масса стержня M? Сделайте рисунок с указанием используемых в решении сил.
доска движется поступательно влево с постоянной скоростью (см. рис.). Стержень при этом неподвижен. Найдите F, если коэффициент трения стержня по доске μ = 0,2. Трением доски по опоре и трением в шарнире пренебречь.
действующей на доску, равен модулю силы трения 
действующей на стержень по третьему закону Ньютона. Кроме силы трения на стержень действуют сила реакции опоры, сила реакции шарнира, сила тяжести. Стержень будем считать абсолютно твердым телом (формы и размеры тела неизменны, расстояние между любыми двумя его точками остается неизменным). В инерциальной системе отсчета применимо правило моментов для вращающегося тела. Ось, относительно которой будем рассматривать сумму моментов сил, проведем перпендикулярно плоскости чертежа через точку крепления стержня.
По третьему закону Ньютона 
поэтому
= 0,4.
приложенная в центре кубика, сила 
не должны превышать некоторого предела, зависящего от коэффициента трения 
будут приложены к переднему нижнему ребру О кубика (см. рис.), и опрокидывающий момент сил 
Здесь b — длина ребра кубика, 
и 
и 
В положении равновесия равны нулю моменты сил, действующих на тело. Запишем уравнение для моментов сил относительно точки C и относительно точки D.
откуда получаем:
Чтобы поднять один край бревна необходима сила F1 = 350 Н. Найти силу F2, которую необходимо приложить, чтобы приподнять второй край.
Запишем уравнение моментов относительно левого и правого края бревна:
Для описания поведения шариков в инерциальной системе отсчета можно применить второй закон Ньютона. В данных условиях равнодействующая сил тяжести, реакции опоры и натяжения стержня должна быть меньше силы трения, чтобы шарики оставались в покое.
следовательно, 
получаем: 
получаем:
раза превышает силу тяжести, действующую на цилиндр. Найдите угол α между плоскостями. Сделайте рисунок, на котором укажите силы, действующие на цилиндр.
По третьему закону Ньютона сила давления шара на стенку равна силе реакции опоры N2. Тогда, применяя условие, получаем 
Значит, 
следовательно, угол α равен 30°.
где R — радиус цилиндра. Получаем:
закреплена за свой верхний конец на горизонтальной оси, вокруг которой она может вращаться в вертикальной плоскости. К нижнему концу этой палочки на тонкой легкой нити привязан алюминиевый шарик. Шарик и нижняя часть палочки погружены в сосуд с водой, причем ниже уровня воды располагается ровно половина палочки, и шарик не касается дна сосуда.
(см. рисунок в решении).
приложенная к середине погруженной части сила Архимеда 
сила натяжения нити 
и сила реакции оси 
и сила натяжения нити 
Учтем, что 
и 
где V — искомый объем шарика, 
— плотность воды, 
— плотность алюминия.
Запишем для палочки уравнение моментов относительно ее оси вращения O, считая положительным направлением вращения поворот против часовой стрелки:
где 
— плотность соснового дерева и 
и подставляя ее в уравнение моментов, получим:
от ее середины. К левому концу палочки на легких нитях подвешен за ось невесомый блок, который может вращаться вокруг нее без трения. Через блок перекинута легкая нерастяжимая нить, на концах которой закреплены грузы массами 
и 
Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на палочку и на все грузы. Груз какой массы M надо подвесить на легкой нити к правому концу палочки, чтобы она находилась в равновесии в горизонтальном положении при движении грузов m1 и m2 и вращении блока? Обоснуйте применимость используемых законов к решению задачи. 
Из условия равновесия невесомого блока следует, что 
так что теперь надо найти 
и 
поделив первое уравнение на m1, а второе — на m2 и сложив полученные уравнения, имеем:
откуда 
и 
Чему равен модуль силы, с которой стержень действует в равновесии на шарнир?
Таким образом, находим силу упругости:
перпендикулярная стенке.
откуда 
получаем:
получаем:
и 
а также сила натяжения нити 
Кроме того, на стержень действует сила 
где x — искомое расстояние от точки A до центра тяжести балки; 
Отсюда
и длиной 
прицепив его к пружинам за концы. Если к этому стержню подвесить на лёгкой нити груз на расстоянии 
от левой пружины, то стержень будет расположен горизонтально, оси пружин будут вертикальными, а растяжения обеих пружин окажутся одинаковыми (см. рисунок). Жёсткость правой пружины в 3 раза меньше, чем левой. Чему равна масса m подвешенного груза? Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на стержень и груз.
Так как растяжения пружин одинаковы, то 
где 
и 
— модули сил упругости левой и правой пружин соответственно (см. рисунок).
и 
на стержень действуют сила тяжести 
и сила 
натяжения нити, на которой подвешен груз. Тогда условия равновесия стержня имеют вид:
Из невесомости нити, следует, что 
и 
и 
и 
Так как по условию масса второго шарика больше, то плечо силы тяжести, действующей на него, меньше. Запишем правило моментов приложенных сил относительно оси, проходящей через точку O1:
откуда 
и 
Стержень образует с вертикалью угол α = 60°. Определите площадь поперечного сечения стержня S, если толщина слоя воды h = 25 см, ее плотность 
Трением в шарнире пренебречь. Укажите на рисунке силы, действующие на стержень. Какие физические законы Вы использовали при решении задачи? Обоснуйте их применение в данном случае.
l — длина стержня. Сила Архимеда, действующая на стержень 
где объем погруженной части стержня равен 
Масса стержня 
где объем стержня 
сила нормальной реакции опоры 
Запишем условие равновесия относительно поступательного движения для цилиндра в проекциях на оси Oxy: 
