Два одинаковых груза массой 
каждый подвешены на концах невесомой и нерастяжимой нити, перекинутой через невесомый блок с неподвижной осью. На один из них кладут перегрузок массой 
после чего система приходит в движение. Найдите модуль силы F, действующей на ось блока во время движения грузов. Трением пренебречь.
Какие законы Вы используете для описания движения системы грузов? Обоснуйте их применение.
Решение. Обоснование. Cистему отсчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной. Так как движение грузов поступательное, то их можно описывать моделью материальной точки. Значит, можно применять второй закон Ньютона для описания движения грузов. Нить, которая связывает тело массой М и тело массой M + m с перегрузком, является невесомой, а блок — идеальным (его масса равна нулю, трением в его оси вращения можно пренебречь). Следовательно, на оба тела действует одинаковая по модулю сила натяжения нити. Кроме того, нить нерастяжима. Поэтому оба тела движутся с одинаковым ускорением.
Перейдем к решению. Запишем, на основании второго закона Ньютона, уравнения движения для обоих грузов в проекции на вертикальную ось, направленную вниз (см. рис.):
Здесь через 
и 
обозначены проекции ускорений грузов M и 
на вертикальную ось, а через 
и 
— проекции сил натяжения нити на ту же ось.
В силу условия задачи из-за нерастяжимости нити 
а из-за невесомости блока и нити и отсутствия трения
Кроме того, в силу третьего закона Ньютона 
(здесь 
— сила, действующая на блок со стороны его оси).
Из написанных уравнений получаем:
откуда 
Подставляя числовые данные, имеем: 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Критерий 1 | |
Верно обоснована возможность использования законов (закономерностей) | 1 |
В обосновании возможности использования законов (закономерностей) допущена ошибка. ИЛИ Обоснование отсутствует. | 0 |
| Критерий 2 | |
| Приведено полное решение, включающее следующие элементы: I) записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае — второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, кинематическая связь ускорений тел и постоянство силы натяжения вдоль нити при нерастяжимости и невесомости нити, невесомости блока и отсутствии трения, а также третий закон Ньютона); II) описаны все вводимые в решение буквенные обозначения физических величин (за исключением, возможно, обозначений констант, указанных в варианте КИМ и обозначений, используемых в условии задачи); III) представлен схематический рисунок с указанием сил, поясняющий решение; IV) проведены необходимые математические преобразования (допускается вербальное указание на их проведение) и расчеты, приводящие к правильному числовому ответу (допускается решение «по частям» с промежуточными вычислениями); V) представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины. | 3 |
| Правильно записаны необходимые положения теории и физические законы, закономерности, проведены необходимые преобразования и представлен правильный ответ с указанием единиц измерения искомой величины. Но имеется один из следующих недостатков. Записи, соответствующие одному или нескольким пунктам — II, III и IV, — представлены не в полном объеме или отсутствуют. ИЛИ При полном правильном решении лишние записи, не входящие в решение (возможно, неверные), не отделены от решения (не зачеркнуты, не заключены в скобки, рамку и т. п.). ИЛИ При ПОЛНОМ решении в необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) преобразования/вычисления не доведены до конца. ИЛИ При ПОЛНОМ решении отсутствует пункт V, или в нем допущена ошибка. | 2 |
| Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев. Представлены только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо для решения задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи, и ответа. ИЛИ В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решения задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи. ИЛИ В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения задачи (или утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи. | 1 |
| Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
в течение времени t имеем, согласно кинематическим соотношениям, 
откуда:
действующая на водителя со стороны сиденья при таком разгоне, складывается по правилу параллелограмма из двух взаимно перпендикулярных оставляющих. По вертикали водитель не движется, и на основании второго закона Ньютона вертикальная проекция искомой силы равна силе тяжести: 
где m — масса водителя. Горизонтальная проекция искомой силы обеспечивает, согласно второму закону Ньютона, равноускоренное движение водителя вместе с автомобилем: 
к горизонту равен:
Желоб закреплен так, что его ребро горизонтально, а доски симметричны относительно вертикали. В желобе на боковой поверхности лежит цилиндр массой 
Коэффициент трения между досками и цилиндром равен 
К торцу цилиндра приложена горизонтально направленная сила 
Найдите модуль ускорения цилиндра.
и две равные по модулю силы реакции 
досок, направленные перпендикулярно стенкам желоба. Так как цилиндр не движется в вертикальном направлении, то, в соответствии со вторым законом Ньютона, сумма проекций этих трех сил на вертикаль равна нулю: 
где 
В горизонтальном направлении (вдоль желоба) на цилиндр действуют сила 
Предположим, что цилиндр будет двигаться по желобу. Тогда по закону Амонтона — Кулона для силы сухого трения скольжения можно записать:
Это означает, что приложенная к торцу цилиндра сила превышает силу трения покоя, то есть цилиндр и в самом деле будет скользить вдоль желоба.
Подставляя числовые данные и проверяя размерность, окончательно получим:
Груз смещают по горизонтали, растягивая пружину, затем отпускают с начальной скоростью, равной нулю. Груз движется в одном направлении и затем останавливается в положении, в котором пружина уже сжата. Максимальное растяжение пружины, при котором груз движется таким образом, равно d = 15 см. Найдите массу m груза.
(так как 
причем α — угол между вектором силы и вектором перемещения, то есть 
значит, 
).
После того, как пружину отпустили, она остановится в положении, при котором она сжата на величину 
Тогда конечная энергия системы равна потенциальной энергии сжатой пружины: 
Изменение полной энергии системы равно работе силы трения Fтр:
Трением в блоке, а также размерами блока пренебречь.
сила реакции опоры 
сила натяжения нити 
и сила трения покоя 
максимальное значение которой 
Для того чтобы он пришел в движение, должно выполняться условие 
сила натяжения нити 
модуль которой равен модулю силы 
При этом грузик в этой точке движется со скоростью 
и на него действует центростремительное ускорение 
направленное по радиусу к центру окружности и равное 
(см. рис.). Найдите F, если коэффициент трения бруска по доске 
Трением доски по опоре пренебречь.
откуда 
следовательно, 
значит, 
Подставляя выражения из (1), (2) и (3), получаем:
откуда получаем:
подвешенных на концах нитей. Определите, чему равна сила натяжения T1 нити, к которой подвешен груз m1.
откуда получаем уравнение кинематической связи: 
то и ускорения этих грузов одинаковы: 
Складывая уравнения движения этих грузов, получаем: 
то есть можно считать, что справа просто подвешен груз массой 2m2.
движутся как одно целое, их можно считать одним твердым телом M + m сложной формы. Это тело движется поступательно, как и груз 
поэтому эти тела можно описывать моделью материальной точки. В ИСО движение материальной точки описывается вторым законом Ньютона.
сложной формы. На рисунке показаны внешние силы, действующие на это тело и на груз 
(нить легкая, скользит по блоку без трения), 
(нить нерастяжима), и сложим уравнения. Получим: 
откуда 
откуда 
Решая неравенство 
относительно m, получим: 
После этого к тележке подвесили груз на перекинутой через блок невесомой и нерастяжимой нити, она стала двигаться равномерно. Найдите массу груза.
Запишем проекции на горизонтальную и вертикальную оси:
откуда:
В итоге получаем:
направленную вдоль плоскости вверх, а во втором — вниз. Во сколько раз путь, пройденный бруском до остановки на наклонной плоскости во втором случае, будет больше, чем в первом?
направлено против начальной скорости и по модулю равно 
Значит, ускорение по-прежнему направлено противоположно скорости, и брусок тормозится, но медленнее. 
и 
образуют твердое тело (форма и размеры тела неизменны, расстояние между любыми двумя точками тела в силу нерастяжимости нити остается неизменным).
и 
Работа силы 
— угловая скорость вращения штанги, 
и 
— расстояния до оси вращения для первого и второго груза соответственно.
находим:
а вверх — сила натяжения нити T, которая в силу условия задачи одинакова вдоль всей нити. На брусок массой m1 вправо действует сила T, а влево — сила трения скольжения μm1g. По вертикали на него действуют равные силы реакции опоры N и тяжести m1g.
Дж.
= 30°, коэффициент трения 
= 0,2). Чему равно минимальное значение массы M, при котором система грузов еще не выходит из первоначального состояния покоя.
и сила натяжения нити 
на брусок действуют сила тяжести 
сила натяжения нити 
сила трения 
сила реакции опоры 
В инерциальной системе отсчета, связанной с Землей, можно применять второй закон Ньютона для каждого тела. Поскольку нить легкая, а блок идеальный (его масса равна нулю, трением в оси можно пренебречь), то 
=
=T. Система находится в равновесии, если сила трения покоя достигает максимального значения и равна силе трения скольжения.
Найдем проекции на координатные оси:
и 
получаем:
и получим значение арксинуса искомого угла:
массивный диск. На каком минимальном расстоянии от центра диска можно положить на него груз, прикрепив его пружиной к центру диска, чтобы груз оставался неподвижным относительно диска? Коэффициент трения между грузом и диском 
Размерами груза пренебречь. Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на груз.
сила упругости 
и сила трения 
H. Максимальная сила трения равна 
H. Значит, пружина должна быть сжата, сила упругости направлена вправо (см. рис.), а сила трения — влево. Поскольку пружина максимально сжата, а груз при этом находится в покое относительно диска, сила трения покоя принимает максимальное значение: 
Сила упругости определяется законом Гука: 
Центростремительное ускорение груза выражается формулой 
где 
Окончательно получим:
к горизонту и тело, находящееся на ней. Если к телу приложить силу 
как показано на рисунке, то тело начнет скользить. Масса тела равна 500 г. Определите коэффициент трения тела о поверхность.
N, 
Выберем оси координат: 
— вдоль нижней грани, 
— вверх по наклонной плоскости, 
— перпендикулярно к оси 
Брусок движется равномерно. Следовательно, по второму закону Ньютона: 
и 
получаем: 
(1)
(2)
которая лежит на шероховатой горизонтальной плоскости. Брусок и доска связаны невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый и гладкий блок. Под действием горизонтальной силы 
доска движется поступательно вправо, в результате чего брусок приобретает ускорение 
Найдите массу бруска m, если коэффициент трения между бруском и доской 
а между доской и поверхностью — 
Сделайте рисунок, укажите все силы, действующие на груз и доску. 
и 
Решая совместно систему уравнений, выражаем массу бруска:
движется под действием груза M = 2 кг по наклонной плоскости с углом наклона 
так, что длина пружины L не меняется. В нерастянутом состоянии длина пружины l = 15 см. Массы маленьких грузов одинаковы и равны m = 0,25 кг. Найдите длину пружины L. Трением пренебречь. Считайте нить невесомой и нерастяжимой, а блок идеальным.
сила натяжения нити 
На первый (нижний) брусок действуют сила тяжести 
сила упругости 
на второй (верхний) брусок действуют сила тяжести 
и сила натяжения нити 
поскольку длина пружины во время движения не меняется. Заметим, что наклонная плоскость гладкая, следовательно, действием силы трения на оба бруска можно пренебречь. Нить невесома, поэтому силы натяжения по модулю одинаковы, то есть 
Нить нерастяжима, поэтому ускорения тел равны по модулю, то есть 
Поскольку пружина легкая, то 
В ИСО можно применить второй закон Ньютона.
Тогда длина растянутой пружины равна:
кг,
кг.
Н
к горизонту (см. рис.). Определите скорость груза в момент достижения им высоты поверхности стола, если первоначально груз находился на расстоянии 32 см от поверхности стола. Коэффициент трения равен 0,3. Обоснуйте применимость используемых законов к решению задачи.
сила тяжести 
и сила натяжения нити 
Движение бруска прямолинейное равноускоренное с ускорением 
и сила натяжения нити 
и 
откуда 
г,
г.
В проекции на вертикальную ось 
Отсюда находим силу реакции опоры:
сила трения 
сила реакции опоры 
На верхний брусок действуют сила тяжести 
сила упругости 
на нижний брусок действуют сила тяжести 
под действием которых бруски движутся с ускорением 
поскольку длина пружины во время движения не меняется. Нить невесома и нерастяжима, поэтому силы натяжения и ускорения тел по модулю одинаковы, то есть 
и 
Поскольку пружина легкая, то 
где x — удлинение пружины, при объединении уравнений получаем: 
Здесь 
— радиус окружности, по которой вращается грузик.
(то есть α = 0) или 
Когда 
становится с ростом ω меньше единицы, решение α = 0 теряет устойчивость, и возникает стабильное отклонение нити от вертикали, при котором 
и α = 60°. 
так что кинетическая энергия грузика равна:
Тогда ускорения грузов связаны соотношением 
Под действием горизонтальной силы 
По третьему закону Ньютона 
поэтому:
(1)
(2)
Окончательно получим: 
откуда время движения грузов:
и сила натяжения нити 
Тогда сила упругости равна 
где деформация пружины 
Поскольку подвижный блок и нить невесомы, то 
Поскольку нити нерастяжимы, то при перемещении груза m вверх на расстояние х груз М опустится вниз на расстояние 
Следовательно, 
получаем:
Найдите минимальную скорость 
с которой должен ехать мотоциклист для того, чтобы двигаться под куполом по окружности, лежащей в горизонтальной плоскости. Радиус купола 
коэффициент трения скольжения между колесами мотоцикла и внутренней поверхностью купола 
Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
имея центростремительное ускорение 
Вдоль вертикали мотоциклист не смещается. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на радиус указанной окружности и на вертикаль:
и реакции опоры 
На клин действуют сила тяжести Mg, сила трения между бруском и клином 
сила реакции опоры 
вес бруска P и приложенная горизонтальная сила F. Движение клина по горизонтальной поверхности поступательное. Следовательно, его можно описывать моделью материальной точки.
Решая совместно систему уравнений, выражаем ускорение бруска:
Откуда длина доски равна:
К нему с помощью невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через гладкий невесомый блок, прикреплен груз массой 
К бруску под углом 
Груз находится на расстоянии 
от края стола. Спустя какое время груз поднимется до поверхности стола? Изначально система покоится, коэффициент трения бруска о поверхность 
Какие физические законы Вы использовали при решении задачи? Обоснуйте их применение в данном случае.
откуда находим время подъема груза:
Тогда время движения этих грузов равно
В проекции вертикальную ось:
сила тяжести Mg, сила реакции опоры N и сила трения. На грузик действуют сила натяжения нити 
сила тяжести mg. При этом оба тела движутся равномерно, ускорение 
По второму закону Ньютона для обоих тел:
откуда находим массу груза
где радиус окружности равен 
Сделайте рисунки с указанием сил, действующих на тела в обоих случаях. Определите ускорение a первого тела.
откуда 
Тогда получаем:
направленная вертикально вниз, и сила упругости сжатой пружины 
также направленная вертикально вниз. Под действием этих сил грузики приобретают ускорение a, направленное вниз. По второму закону Ньютона для системы тел 
и сила реакции стрежня T, направленная вертикально вниз. Запишем второй закон Ньютона для этого тела: 
а скорость 
шариков после удара согласно условию горизонтальна. Поэтому 
откуда 
Коэффициент трения между бруском m и наклонной плоскостью равен 
Первоначально тела удерживают в состоянии покоя так, что нить не провисает. После того как тела одновременно отпустили без начальной скорости, груз M начал опускаться вниз. Какова будет скорость бруска m через t = 2 с после начала движения? Считайте, что к концу этого промежутка времени брусок m не коснулся блока, а груз M не опустился на пол. Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на брусок и груз при их движении. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
где 
Так как блок невесомый, то 
и 
силы нормальной реакции опоры 
и 
силы трения скольжения 
и 
силы натяжения нити 
и 
а на левый брусок ещё сила 
(см. рис.).
и 
и 
Из записанных формул, учитывая, что 
и 
найдём ускорение a, с которым скользят бруски:
