На диаграмме представлены изменения давления и объема идеального одноатомного газа. Какое количество теплоты было получено или отдано газом при переходе из состояния 1 в состояние 3?
Решение. При переходе из начального в конечное состояние объем газа увеличился, газ совершил работу А. Выполняется первый закон термодинамики: переданное газу количество теплоты Q равно сумме изменения внутренней энергии газа 
и работы А, совершенной газом.
Внутренняя энергия идеального газа в
Работа А при переходе газа из состояния 1 в состояние 3 равна площади фигуры под графиком диаграммы в координатах
В результате получаем количество теплоты:
Положительное значение величины Q означает, что газ получил количество теплоты.
Ответ: 700 Дж.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Приведено полное решение, включающее следующие элементы: I) записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом; II) описаны все вновь вводимые в решении буквенные обозначения физических величин (за исключением обозначений констант, указанных в варианте КИМ, обозначений, используемых в условии задачи, и стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов); III) представлены необходимые математические преобразования и расчеты (подстановка числовых данных в конечную формулу), приводящие к правильному числовому ответу (допускается решение «по частям» с промежуточными вычислениями); IV) представлен правильный ответ. | 3 |
| Правильно записаны все необходимые положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования, но имеется один или несколько из следующих недостатков. Записи, соответствующие пункту II, представлены не в полном объеме или отсутствуют. И (ИЛИ) В решении имеются лишние записи, не входящие в решение (возможно, неверные), которые не отделены от решения и не зачеркнуты. И (ИЛИ) В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги. И (ИЛИ) Отсутствует пункт IV, или в нем допущена ошибка. | 2 |
| Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев. Представлены только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо и достаточно для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи. ИЛИ В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решения данной задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи. ИЛИ В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи. | 1 |
| Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Дж.
в результате чего его температура изменилась на некоторую величину 
Во втором опыте, предоставив азоту возможность изобарно расширяться, сообщили ему количество теплоты 
в результате чего его температура изменилась также на 
— изменение объема газа).
В этой формуле стоит 5/2 вместо привычных 3/2, это отражает тот факт, что у двухатомных молекул 5 степеней свободы (два вращения + три поступательных движения) в отличие от одноатомных молекул, у которых есть только три поступательных движения. (Замечание: для многоатомных молекул (состоящих из трех и более атомов) справедлива формула 
так как для них есть шесть степеней свободы: три вращения + три поступательных движения.)
и 
где 
и 
Па — объем и давление газа в состоянии 1. Найдите количество теплоты, сообщенное газу в данном процессе 1–2–3.
а на изохорическом участке 2–3 она равна нулю: 
Как видно из рисунка, 
и суммарная работа в процессе 1–2–3 равна 
Согласно уравнению Клапейрона — Менделеева для одного моля идеального газа имеем 
так что 
Изменение внутренней энергии газа в процессе 1–2–3 равно, таким образом, 
и 
Количество теплоты, которое при этом отдается холодильнику, равно 
за счет работы A, совершаемой над рабочим веществом цикла, и теплому телу, которым в данном случае является окружающая среда, отдается количество теплоты 
причем все соотношения количеств теплоты, работы и температур остаются такими же, как при работе идеальной тепловой машины в прямом направлении.
диаграмме. Начальная температура газа равна 
= 300 К. Определите работу газа при переходе из состояния 2 в состояние 3, если k = 2.
где 
и 
— объем
Отсюда следует, что объем газа в состоянии 2 равен 
поэтому работа газа на участке 2−3 равна 
Согласно уравнению Клапейрона-Менделеева 
откуда 
Напишем уравнение Менделеева — Клапейрона для второго и третьего состояний газа:
получаем 
Тогда:
Дж. Участок 3–1 — адиабата. Количество теплоты, отданное газом за цикл холодильнику, равно 
Дж. Количество вещества газа в ходе процесса не меняется. Найдите работу 
газа на адиабате.
кроме того его температура растет, а значит, 
и 
следовательно, газ получает тепло. 
Следовательно, газ отдает тепло холодильнику. 
Работе газа на диаграмме 
соответствует площадь под графиком процесса: 
Используя уравнение Клаперойна — Менделеева 
для изменения внутренней энергии на участке 1–2 имеем: 
полученное и отданное одним молем идеального одноатомного газа при его переводе из состояния 1 в состояние 2 при помощи процесса, который изображается на pV-диаграмме прямой линией (см. рис.). Известны следующие параметры начального и конечного состояний газа: V1 = 10 л, V2 = 41,6 л, p1 = 4,15 · 105 Па, T2 = 500 К.
Работа газа в данном процессе равна площади трапеции: 
Согласно уравнению состояния идеального газа, то есть уравнению Клапейрона — Менделеева, неизвестное давление 
где 
— полезная работа, совершаемая тепловой машиной за цикл, Q — количество теплоты, переданное тепловой машине за весь цикл. Будем обозначать работу, теплоту и изменение внутренней энергии рабочего тела на каждом участке соответственно буквами 
и 
отрицательна, поэтому 
Тогда:
Тогда 
Тогда 
откуда:
равна сумме работ на всех участках: 
Количество теплоты, переданное тепловой машине в цикле, равно сумме всех положительных теплот: 
Поэтому КПД тепловой машины будет:
откуда 
По первому закону термодинамики теплота, полученная газом, вычисляется по формуле:
Подставляя значения, получаем:
а ее изменение:
Количество теплоты Q34, отданное при изохорном охлаждении на участке 3–4, равно уменьшению внутренней энергии газа этом участке:
Отсюда находим: 
откуда 
Следовательно:
где 
— изменение внутренней энергии газа, 
— совершенная газом работа. Из уравнения Клапейрона — Менделеева 
следует, что:
молей одноатомного идеального газа равна 
и пропорциональна температуре, то в процессе 1–2–3 с одинаковой начальной и конечной температурой ее суммарное изменение ΔU123 = 0.
Согласно первому началу термодинамики 
где 
(одноатомный газ).
поэтому:
получаем:
причем, в замкнутом цикле начальная и конечная температуры совпадают, поэтому за цикл 
Работа газа при изобарном процессе 
изменение внутренней энергии 
Тогда с учетом уравнения Клапейрона — Менделеева 
Здесь мы считаем все величины положительными, а знаки разных вкладов учитываем при написании уравнений.
откуда 
где 
Это очень выгодно по сравнению с простыми электрообогревателями, КПД которых равен единице!
Затем этот же газ адиабатически расширяется так, что 
Отношение модулей работ в изобарном и адиабатическом процессах 
Найдите k.
Из уравнения Менделеева — Клапейрона для первого и второго состояния газа 
и 
получаем:
откуда:
откуда 
следовательно, k = 4.
Затем газ адиабатически расширяется, при этом его температура изменяется до значения 
Найдите работу газа А2 при адиабатном расширении. Количество вещества в процессах остается неизменным.
где р — давление гелия в этом процессе, ΔV — изменение его объема.
и его работы 
равна 
Откуда получаем:
При кипении масса пара увеличивается, температура пара равна температуре кипения и остается постоянной пока весь бензол не выкипит, давление по условию также постоянно. Значит, выполняется соотношение 
бензола. Найдем работу, которую совершает пар:
откуда 
этого газа?
откуда 
откуда:
газ обменялся с другими телами в данном процессе? Известно, что p0 = 105 Па и V0 = 10 л.
где 
и 
— изменение внутренней энергии и работа газа в данном процессе 1–2–3.
Таким образом, как следует из диаграммы процесса:
гелия при температуре t = 17 °C. Если сообщить гелию количество теплоты Q = 3 кДж, то сосуд лопнет. Какую максимальную разность давлений внутри сосуда и снаружи него он выдерживает? Атмосферное давление p0 = 105 Па.
Значит, гелий нагреется до температуры 
давление во втором состоянии будет равно 
Разность давлений снаружи и изнутри равна 
при температуре кипения t = 80 °C. При сообщении бензолу количества теплоты Q часть его превращается в пар, который при изобарном расширении совершает работу А. Удельная теплота парообразования бензола L = 396 · 103 Дж/кг, его молярная масса M = 78 · 10−3 кг/моль. Какая часть подведенного к бензолу количества теплоты переходит в работу? Объемом жидкого бензола пренебречь.
где p — атмосферное давление, 
где M = 78 · 10−3 кг/моль — молярная масса бензола, T = 80 + 273 = 353 K — температура кипения бензола. Отсюда 
бензола, пропорционально удельной теплоте парообразования L: 
давление увеличивается в 2 раза. 
или 
или 
откуда T3 = 4T1.
и 
Найдем работу за цикл 
Для изохорного процесса 
При адиабатном процессе из первого закона термодинамики 
следует, что 
а изменение внутренней энергии 
Для изобарного процесса 
Учитывая, что из уравнения Клапейрона — Менделеева 
Таким образом, работа газа за цикл:
но при этом 
а 
то от нагревателя получена теплота 
то с учетом уравнения Менделеева — Клапейрона 
откуда:
и 
где p0 и V0 — некоторые постоянные величины давления и объема. Какую работу А1234 совершил газ в этом процессе при переходе из состояния 1 в состояние 4, в котором температура газа приняла максимальное значение? Известно, что температура газа в состоянии 2 была равна T2 = 150 К.
и 
работа не совершается: А23 = 0.
) на диаграмме равна работе газа, выраженной в единицах 
поскольку в точке 2 как раз x = 1, V = V0, и y = 1, p = p0, а T = T2.
и 
при xm = 3.
и (для ν = 1 моль) 
плотность воды.
пулеметных лент.
этого цикла.
совершенной газом за цикл, к количеству теплоты Q +, полученному за цикл. Работа численно равна площади цикла на pV-диаграмме: 
а теплота 
где в силу условия равенства единице числа молей газа величина Ci — это молярная теплоемкость идеального одноатомного газа на данном участке цикла.
и 
так что:
и на изобарном участке 2–3, где:
Найдите давление газа 
в конечном состоянии 2 процесса, если 
где 
— изменение внутренней энергии, а 
— работа газа в процессе.
так что 
и 
В эти пары внутрь цилиндра внесли тонкостенный медный стакан массой 
и объемом 
давно заполненный льдом с температурой 
Плотность льда равна 
Какая масса m паров воды сконденсируется при установлении теплового равновесия в системе?
и расходуемая на нагревание медного стакана и плавление льда в нем (здесь L — удельная теплота парообразования воды, равная 2,3 · 106 Дж/кг).
пары воды в нем все время остаются насыщенными, то процесс нагревания стакана со льдом будет происходить до тех пор, пока сам стакан и вода в нем, получившаяся при плавлении льда, не нагреются до 100 °C. После этого вода в стакане будет находиться в равновесии с насыщенным паром, и процесс его конденсации на стакане закончится.
в стакане, равно 
где 
— удельная теплота плавления льда.
— удельная теплоемкость воды, равная 4,2 · 103 Дж/(кг · К).
Используя найденные выражения для всех количеств теплоты, окончательно получаем искомую массу сконденсировавшегося пара: 
одноатомного идеального газа (p и V — давление и объем газа, 
и 
— постоянные величины). Чему равен КПД этого цикла?
В соответствии с первым законом термодинамики 
Для изохорного процесса 
для изобарного 
Изменение внутренней энергии 
преобразуем последнее выражение:
подведенной к рабочему телу за один цикл работы двигателя:
довели до температуры кипения. Затем начался процесс кипения, и вся эта вода испарилась. На какую величину 
и плотности 
данной в таблицах: 
воды и табличной удельной теплоты её парообразования 
при нормальном атмосферном давлении 
и температуре кипения 
Получаем: 
подчиняющимся уравнению Менделеева — Клапейрона. 
При расширении газ совершает положительную работу, при нагревании внутренняя энергия газа увеличивается, следовательно, газ получает положительное количество теплоты от нагревателя.
При изобарном процессе работа газа равна 
а изменение внутренней энергии одноатомного идеального газа 
где 
– изменение температуры газа.
а полученная теплота 
поскольку на участке 2–3 работа не совершается. При адиабатном сжатии по условию 
при этом работа газа отрицательна, потому что объем газа уменьшается. Тогда получаем, что работа газа за цикл равна 
и 
Тогда газ совершает положительную работу 
Изменение внутренней энергии одноатомного идеального газа в этом процессе 
откуда 
следовательно, температура газа уменьшается. При изохорном процессе работа газа равна нулю, при уменьшении температуры изменение внутренней энергии идеального газа 
отрицательное. По первому закону термодинамики 
отрицательно, то есть в этом процессе газ теплоту отдает холодильнику 
найдем количество теплоты, отданное холодильнику:
и температурой 
а затем второй вдул туда же объём V2 = 2 л воздуха с относительной влажностью 
и с той же температурой. Какова будет относительная влажность воздуха 
в пакете после его остывания до комнатной температуры 
Давления насыщенных паров воды при температурах t1 и t2 равны, соответственно, 
и 
Изменением объёма пакета при остывании воздуха пренебречь.
паров: 
откуда 
так что вначале надо определить полную массу m воды в пакете после смешивания двух порций влажного воздуха: 
найдём массу насыщенных паров воды в нём при температуре T2, учитывая сложение давлений паров по закону Дальтона: 
и 
В состоянии 1 газ находится при нормальных условиях (давление 
температура 
В состоянии 3 давление 
а объём 
Найдите, какое количество теплоты 
получает газ за один цикл работы двигателя.
к количеству теплоты 
полученному за цикл от нагревателя: 
получаем, что 
его температура также уменьшается. Тогда газ совершает отрицательную работу, его внутренняя энергия уменьшается. По первому закону термодинамики 
то есть газ теплоту отдает.
его температура также увеличивается. Тогда газ не совершает работу, его внутренняя энергия увеличивается. По первому закону термодинамики 
то есть газ теплоту получает.
При этом газ совершает положительную работу 
его внутренняя энергия увеличивается 
Согласно первому закону термодинамики газ получает от нагревателя количество теплоты
температура газа уменьшается. Тогда газ работу не совершает, а его внутренняя энергия уменьшается 
По первому закону термодинамики газ отдает холодильнику количество теплоты
Газ теплоту отдает холодильнику.
Газ теплоту получает от нагревателя.
и 
количество теплоты, отданное холодильнику, равно 
на 
и тем фактом, что работа газа в некотором процессе численно равна площади под участком графика, изображающего данный процесс на pV-диаграмме.
—
—
где m — масса угля, сгорающего за один цикл работы двигателя.
получаем: 
Отсюда масса M угля, сгорающего за N циклов работы двигателя, равна 
